Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen – IT-Berufe-Podcast #181

Um Zahlensysteme, Zweierpotenzen und vor allem Binärzahlen geht
es in der einhunderteinundachzigsten Episode des
IT-Berufe-Podcasts. Der Inhalt ist auch als Video bei YouTube
verfügbar.
Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen

Zweierpotenzen und Binärzahlen begegnen uns in der IT-Ausbildung
an vielen Stellen. In dieser Episode erkläre ich die
Funktionsweise von Zahlensystemen (Binär, Oktal, Dezimal,
Hexadezimal) und gebe Beispiele für den Praxiseinsatz.


Das Video zu dieser Episode findest du bei YouTube hier:
Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen.
Zahlen vs. Ziffern

Zahlen werden aus einzelnen
Ziffern zusammengesetzt. Die Dezimalzahl 123
besteht z.B. aus den Ziffern 1, 2 und 3. Die bekannten
Zahlensysteme haben unterschiedlich viele Ziffern:


Dualsystem: 0 und 1

Oktalsystem: 0 bis 7

Dezimalsystem: 0 bis 9 (unsere bekannten arabischen Ziffern)

Hexadezimalsystme: 0 bis 9 und A bis F

Römische Zahlen

Das römische Zahlsystem hat auch mehrere Ziffern:


I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000



Anders als in den anderen Zahlensystemen werden die einzelnen
Ziffern hier einfach aufaddiert. So entspricht die Zahl III der
Dezimalzahl 3, da I + I + I = 3.


Außerdem können Ziffern abhängig von ihrer Platzierung in der
Zahl eine unterschiedliche Bedeutung haben. MCM entspricht z.B.
der Dezimalzahl 1900, da das C vor dem M von diesem abgezogen
werden muss, also 1000 - 100 = 900 ergibt. MCM = M + (M - C) =
1000 + (1000 - 100) = 1900.
Dezimalsystem und andere gebräuchliche Zahlensysteme

In den anderen Zahlensystemen, die wir in der Informatik häufig
verwenden (nämlich Dualsystem, Oktalsystem, Dezimalsystem und
Hexadezimalsystem), stehen die Ziffern einer Zahl immer für einen
Faktor, der mit der Wertigkeit seiner
Stelle multipliziert wird. Die Dezimalzahl 123 steht für
1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1.


Die Wertigkeit der Stelle ergibt sich aus ihrer Potenz mit der
Basis des Zahlsystems. Die Basen der
Zahlensysteme sind:


Dual/Binär: 2

Oktal: 8

Dezimal: 10

Hexadezimal: 16



Nun werden die Stellen der Zahlen von rechts nach links beginnend
mit 0 immer um 1 im Exponenten erhöht, um die Wertigkeit der
Stelle zu berechnen. Beispiel im Dezimalsystem:


10 ^ 0 = 1

10 ^ 1 = 10

10 ^ 2 = 100

10 ^ 3 = 1.000

10 ^ 4 = 10.000

…

Dualsystem

Im Dualsystem oder Binärsystem
ist die Basis 2, die Wertigkeiten der Stellen der Zahlen lauten
also:


2 ^ 0 = 1

2 ^ 1 = 2

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 16

2 ^ 5 = 32

…



Sie steigen also deutlich langsamer an als im Dezimalsystem. Mit
jeder Stelle verdoppelt sich die Wertigkeit (im
Vergleich zur Verzahnfachung im Dezimalsystem). Um den gleichen
Zahlwert darstellen zu können, sind also deutlich mehr
Ziffern nötig. Das wird noch deutlicher beim
Hexadezimalsystem: Mit einer Ziffer können 16 verschiedene Werte
dargestellt werden, also acht Mal so viele wie im Dualsystem.


Beispiel: Die Dezimalzahl 256 wird im Hexadezimalsystem als 100
(1 * 256 + 0 * 16 + 0 * 1) notiert, aber im Dualsystem als
100000000, hat dort also dreimal so viele Ziffern.


Im Dualsystem gibt es die Ziffern 0 und 1, die somit die „binary
digits“ (binäre Ziffern) darstellen. Abgekürzt wird daraus
Bit (binary digit).
Kombinationsmöglichkeiten

Oft stellen wir uns die Frage, wie viele
Kombinationsmöglichkeiten – also unterschiedliche Zahlen – es für
eine gegebene Anzahl an Stellen geben kann. Im Dualsystem haben
wir pro Stelle zwei Möglichkeiten: 0 und 1, also ein Bit. Für
eine Zahl mit einer Stelle ergeben sich also zwei Möglichkeiten:
0 und 1. Für eine Zahl mit zwei Stellen verdoppelt sich die
Anzahl der Möglichkeiten:


00

01

10

11



Und mit jeder weiteren Stelle verdoppeln sich die Möglichkeiten
wieder, da vor jede bisherige Kombination wieder 0 oder 1
geschrieben werden kann:


000

001

010

011

100

101

110

111



Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten oder unterschiedlichen
Zahlen für eine gegebene Anzahl an Stellen lässt sich berechnen
als Potenz aus Basis des Zahlsystems hoch der
Stellenzahl. Für eine 5-stellige Dualzahl sind 2 ^ 5 =
32 Kombinationen möglich, für eine 3-stellige Oktalzahl 8 ^ 3 =
512.
Beispiele für Zweierpotenzen

Da in der IT das Dualsystem sehr wichtig ist – denn Computer
können nur mit Nullen und Einsen rechnen – begegnen uns in der
Praxis häufig immer wieder Zweierpotenzen, da
die Basis des Zahlsystems nunmal 2 ist. Daher ist es wichtig,
zumindest grob überschlagen zu können, wie viele
Kombinationsmöglichkeiten es für eine gegebene Anzahl an Bits
gibt. Ein paar wichtige Zweierpotenzen sollte man auch
auswendig lernen, damit man nicht jedes Mal
wieder nachrechnen muss:


8 Bit = 256 Möglichkeiten: ein Byte, Farbtiefe von
GIF-Bildern, Größe eines RGB-Kanals, Länge der Codierung
ISO-8859-1

16 Bit = 65.536 Möglichkeiten: Samplingtiefe bei CD-Qualität,
Größe eines Netzwerkports, Länge eines Shorts

24 Bit = ca. 16,7 Mio. Möglichkeiten: Standardfarbtiefe von
JPG- oder PNG-Dateien (ohne Alpha-Kanal)

32 Bit = ca. 4,3 Mrd. Möglichkeiten: Länge eines Integers,
Länge einer IPv4-Adresse, lange Zeit die übliche
Verarbeitungsbreite von CPUs

48 Bit (2 * 24 Bit = ca. 16,7 Mio. * 16,7 Mio.
Möglichkeiten): Länge einer MAC-Adresse

64 Bit: Länge eines Longs, übliche Verarbeitungsbreite
moderner CPUs

128 Bit: Länge einer IPv6-Adresse

Zweierpotenzen im Vergleich

Zum Abschluss habe ich hier noch eine Liste aller Zweierpotenzen
bis 128 mit einigen Anwendungsfällen bzw. Namen. Die Beispiele
passen natürlich nicht hundertprozentig (z.B. gibt es nicht exakt
2 ^ 33 Menschen auf der Erde und 2 ^ 20 ist nicht genau eine
Million), aber vermitteln einen Eindruck ihrer Größe im
Verhältnis zu den anderen Zahlen und helfen beim Überschlagen von
Ergebnissen.


2 ^ 1 = 2: 1 Bit

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 16

2 ^ 5 = 32

2 ^ 6 = 64: BASE64

2 ^ 7 = 128: ASCII

2 ^ 8 = 256: Byte, ISO-8859-1, GIF-Farben

2 ^ 9 = 512

2 ^ 10 = 1.024

2 ^ 11 = 2.048

2 ^ 12 = 4.096

2 ^ 13 = 8.192

2 ^ 14 = 16.384

2 ^ 15 = 32.768

2 ^ 16 = 65.536: UTF-16, Samplingtiefe CD, Größe Netzwerkport

2 ^ 17 = 131.072

2 ^ 18 = 262.144

2 ^ 19 = 524.288

2 ^ 20 = 1.048.576: Million

2 ^ 21 = 2.097.152

2 ^ 22 = 4.194.304

2 ^ 23 = 8.388.608

2 ^ 24 = 16.777.216: Farbtiefe JPG

2 ^ 25 = 33.554.432

2 ^ 26 = 67.108.864

2 ^ 27 = 134.217.728

2 ^ 28 = 268.435.456

2 ^ 29 = 536.870.912

2 ^ 30 = 1.073.741.824: Milliarde

2 ^ 31 = 2.147.483.648

2 ^ 32 = 4.294.967.296: Farben + Alpha PNG, Integer, IPv4

2 ^ 33 = 8.589.934.592: Anzahl Menschen

2 ^ 34 = 17.179.869.184

2 ^ 35 = 34.359.738.368

2 ^ 36 = 68.719.476.736

2 ^ 37 = 137.438.953.472: Elon Musks Vermögen, Sterne in
unserer Galaxie

2 ^ 38 = 274.877.906.944

2 ^ 39 = 549.755.813.888

2 ^ 40 = 1.099.511.627.776: Billion

2 ^ 41 = 2.199.023.255.552

2 ^ 42 = 4.398.046.511.104

2 ^ 43 = 8.796.093.022.208

2 ^ 44 = 17.592.186.044.416

2 ^ 45 = 35.184.372.088.832

2 ^ 46 = 70.368.744.177.664

2 ^ 47 = 140.737.488.355.328

2 ^ 48 = 281.474.976.710.656: MAC

2 ^ 49 = 562.949.953.421.312

2 ^ 50 = 1.125.899.906.842.620: Billiarde

2 ^ 51 = 2.251.799.813.685.250

2 ^ 52 = 4.503.599.627.370.500

2 ^ 53 = 9.007.199.254.740.990

2 ^ 54 = 18.014.398.509.482.000

2 ^ 55 = 36.028.797.018.964.000

2 ^ 56 = 72.057.594.037.927.900

2 ^ 57 = 144.115.188.075.856.000

2 ^ 58 = 288.230.376.151.712.000

2 ^ 59 = 576.460.752.303.423.000

2 ^ 60 = 1.152.921.504.606.850.000: Trillion

2 ^ 61 = 2.305.843.009.213.690.000

2 ^ 62 = 4.611.686.018.427.390.000

2 ^ 63 = 9.223.372.036.854.780.000

2 ^ 64 = 18.446.744.073.709.600.000: Long

2 ^ 65 = 36.893.488.147.419.100.000:
Kombinationsmöglichkeiten Rubik’s Cube

2 ^ 66 = 73.786.976.294.838.200.000

2 ^ 67 = 147.573.952.589.676.000.000

2 ^ 68 = 295.147.905.179.353.000.000

2 ^ 69 = 590.295.810.358.706.000.000: Quadratmillimeter
Erdoberfläche

2 ^ 70 = 1.180.591.620.717.410.000.000: Trilliarde, Liter
Wasser auf der Erde

2 ^ 71 = 2.361.183.241.434.820.000.000

2 ^ 72 = 4.722.366.482.869.650.000.000

2 ^ 73 = 9.444.732.965.739.290.000.000

2 ^ 74 = 18.889.465.931.478.600.000.000

2 ^ 75 = 37.778.931.862.957.200.000.000

2 ^ 76 = 75.557.863.725.914.300.000.000: Anzahl Sterne im
sichtbaren Universum, Anzahl Sandkörner in der Sahara

2 ^ 77 = 151.115.727.451.829.000.000.000

2 ^ 78 = 302.231.454.903.657.000.000.000

2 ^ 79 = 604.462.909.807.315.000.000.000

2 ^ 80 = 1.208.925.819.614.630.000.000.000: Quadrillion

2 ^ 81 = 2.417.851.639.229.260.000.000.000

2 ^ 82 = 4.835.703.278.458.520.000.000.000

2 ^ 83 = 9.671.406.556.917.030.000.000.000

2 ^ 84 = 19.342.813.113.834.100.000.000.000

2 ^ 85 = 38.685.626.227.668.100.000.000.000

2 ^ 86 = 77.371.252.455.336.300.000.000.000

2 ^ 87 = 154.742.504.910.673.000.000.000.000

2 ^ 88 = 309.485.009.821.345.000.000.000.000

2 ^ 89 = 618.970.019.642.690.000.000.000.000

2 ^ 90 = 1.237.940.039.285.380.000.000.000.000: Quadrilliarde

2 ^ 91 = 2.475.880.078.570.760.000.000.000.000

2 ^ 92 = 4.951.760.157.141.520.000.000.000.000

2 ^ 93 = 9.903.520.314.283.040.000.000.000.000

2 ^ 94 = 19.807.040.628.566.100.000.000.000.000

2 ^ 95 = 39.614.081.257.132.200.000.000.000.000

2 ^ 96 = 79.228.162.514.264.300.000.000.000.000

2 ^ 97 = 158.456.325.028.529.000.000.000.000.000

2 ^ 98 = 316.912.650.057.057.000.000.000.000.000

2 ^ 99 = 633.825.300.114.115.000.000.000.000.000

2 ^ 100 = 1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000:
Quintillion

2 ^ 101 = 2.535.301.200.456.460.000.000.000.000.000

2 ^ 102 = 5.070.602.400.912.920.000.000.000.000.000

2 ^ 103 = 10.141.204.801.825.800.000.000.000.000.000

2 ^ 104 = 20.282.409.603.651.700.000.000.000.000.000

2 ^ 105 = 40.564.819.207.303.300.000.000.000.000.000

2 ^ 106 = 81.129.638.414.606.700.000.000.000.000.000

2 ^ 107 = 162.259.276.829.213.000.000.000.000.000.000

2 ^ 108 = 324.518.553.658.427.000.000.000.000.000.000

2 ^ 109 = 649.037.107.316.853.000.000.000.000.000.000

2 ^ 110 = 1.298.074.214.633.710.000.000.000.000.000.000:
Quintilliarde

2 ^ 111 = 2.596.148.429.267.410.000.000.000.000.000.000

2 ^ 112 = 5.192.296.858.534.830.000.000.000.000.000.000

2 ^ 113 = 10.384.593.717.069.700.000.000.000.000.000.000

2 ^ 114 = 20.769.187.434.139.300.000.000.000.000.000.000

2 ^ 115 = 41.538.374.868.278.600.000.000.000.000.000.000

2 ^ 116 = 83.076.749.736.557.200.000.000.000.000.000.000

2 ^ 117 = 166.153.499.473.114.000.000.000.000.000.000.000:
Kombinationsmöglichkeiten Skatkarten

2 ^ 118 = 332.306.998.946.229.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 119 = 664.613.997.892.458.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 120 = 1.329.227.995.784.920.000.000.000.000.000.000.000:
Sextillion

2 ^ 121 = 2.658.455.991.569.830.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 122 = 5.316.911.983.139.660.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 123 = 10.633.823.966.279.300.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 124 = 21.267.647.932.558.700.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 125 = 42.535.295.865.117.300.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 126 = 85.070.591.730.234.600.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 127 = 170.141.183.460.469.000.000.000.000.000.000.000.000

2 ^ 128 =
340.282.366.920.938.000.000.000.000.000.000.000.000: IPv6,
MD5-Länge, UUID

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