Um Zahlensysteme, Zweierpotenzen und vor allem Binärzahlen geht es
in der einhunderteinundachzigsten Episode des IT-Berufe-Podcasts.
Der Inhalt ist auch als Video bei YouTube verfügbar. TL;DR Ich
zeige dir, wie du mit Zweierpotenzen zwischen Binärzahlen und
Dezimalzahlen rechnest und die möglichen Werte einer Bitfolge
bestimmst. Mit n Bit lassen sich 2^n Kombinationen darstellen,
wodurch du etwa die Zahl der Adressen in einem Subnetz oder die
Farben eines Bildes berechnen kannst. Beispiele aus Zeichencodes
und Netzwerkadressen machen deutlich, wo dir dieses Wissen als
IT-Azubi begegnet. Fürs Kopfrechnen lasse ich meine IT-Azubis
häufige Zweierpotenzen lernen; bei größeren Werten reicht für viele
Aufgaben die ungefähre Größenordnung. Kapitelmarken [00:00:00]
Einführung: Zweierpotenzen in der IT-Ausbildung [00:01:46]
Anwendungsfälle und Ablauf [00:02:56] Zahlen, Ziffern und
Zahlensysteme [00:04:42] Römische Zahlen und ihre Rechenregeln
[00:09:21] Dezimalsystem: Stellenwerte und die Null [00:13:19]
Binärsystem: Basis 2 und der Begriff Bit [00:16:45]
Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen umrechnen [00:19:24] Das
Oktalsystem [00:20:22] Zweierpotenzen und binäre Stellenwerte
[00:22:35] Dezimalzahlen als Binärzahlen schreiben [00:24:59]
Zweierpotenzen fürs Kopfrechnen lernen [00:27:47] Anzahl möglicher
Werte mit n Bit [00:32:15] Hostadressen beim Subnetting berechnen
[00:33:51] ASCII und ISO-8859-1 [00:36:09] TCP-Ports und 16 Bit
[00:39:22] RGB-Farbtiefe mit 24 Bit [00:41:36] IPv4-Adressen mit 32
Bit [00:43:04] MAC-Adressen und hexadezimale Schreibweise
[00:47:10] 64-Bit-CPUs und IPv6 mit 128 Bit [00:50:15]
Zweierpotenzen im Überblick und Base64 [00:52:36] Weitere
Beispiele: Bildformate, Audio und Datentypen [00:53:30] Große
Zweierpotenzen überschlagen [00:54:46] Größenvergleiche mit großen
Zahlen [00:57:22] IPv6, MD5 und UUIDs mit 128 Bit [00:57:50] Wie
viele Bit für alle Atome im Universum? [00:59:32] Video und
Newsletter zur IT-Ausbildung Zahlensysteme, Zweierpotenzen und
Binärzahlen Zweierpotenzen und Binärzahlen begegnen uns in der
IT-Ausbildung an vielen Stellen. In dieser Episode erkläre ich die
Funktionsweise von Zahlensystemen (Binär, Oktal, Dezimal,
Hexadezimal) und gebe Beispiele für den Praxiseinsatz. Das Video zu
dieser Episode findest du bei YouTube hier: Zahlensysteme,
Zweierpotenzen und Binärzahlen. Zahlen vs. Ziffern Zahlen werden
aus einzelnen Ziffern zusammengesetzt. Die Dezimalzahl 123 besteht
z.B. aus den Ziffern 1, 2 und 3. Die bekannten Zahlensysteme haben
unterschiedlich viele Ziffern: Dualsystem: 0 und 1 Oktalsystem: 0
bis 7 Dezimalsystem: 0 bis 9 (unsere bekannten arabischen Ziffern)
Hexadezimalsystme: 0 bis 9 und A bis F Römische Zahlen Das römische
Zahlsystem hat auch mehrere Ziffern: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C =
100 D = 500 M = 1.000 Anders als in den anderen Zahlensystemen
werden die einzelnen Ziffern hier einfach aufaddiert. So entspricht
die Zahl III der Dezimalzahl 3, da I + I + I = 3. Außerdem können
Ziffern abhängig von ihrer Platzierung in der Zahl eine
unterschiedliche Bedeutung haben. MCM entspricht z.B. der
Dezimalzahl 1900, da das C vor dem M von diesem abgezogen werden
muss, also 1000 - 100 = 900 ergibt. MCM = M + (M - C) = 1000 +
(1000 - 100) = 1900. Dezimalsystem und andere gebräuchliche
Zahlensysteme In den anderen Zahlensystemen, die wir in der
Informatik häufig verwenden (nämlich Dualsystem, Oktalsystem,
Dezimalsystem und Hexadezimalsystem), stehen die Ziffern einer Zahl
immer für einen Faktor, der mit der Wertigkeit seiner Stelle
multipliziert wird. Die Dezimalzahl 123 steht für 1 * 100 + 2 * 10
+ 3 * 1. Die Wertigkeit der Stelle ergibt sich aus ihrer Potenz mit
der Basis des Zahlsystems. Die Basen der Zahlensysteme sind:
Dual/Binär: 2 Oktal: 8 Dezimal: 10 Hexadezimal: 16 Nun werden die
Stellen der Zahlen von rechts nach links beginnend mit 0 immer um 1
im Exponenten erhöht, um die Wertigkeit der Stelle zu berechnen.
Beispiel im Dezimalsystem: 10 ^ 0 = 1 10 ^ 1 = 10 10 ^ 2 = 100 10 ^
3 = 1.000 10 ^ 4 = 10.000 ... Dualsystem Im Dualsystem oder
Binärsystem ist die Basis 2, die Wertigkeiten der Stellen der
Zahlen lauten also: 2 ^ 0 = 1 2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 =
16 2 ^ 5 = 32 ... Sie steigen also deutlich langsamer an als im
Dezimalsystem. Mit jeder Stelle verdoppelt sich die Wertigkeit (im
Vergleich zur Verzahnfachung im Dezimalsystem). Um den gleichen
Zahlwert darstellen zu können, sind also deutlich mehr Ziffern
nötig. Das wird noch deutlicher beim Hexadezimalsystem: Mit einer
Ziffer können 16 verschiedene Werte dargestellt werden, also acht
Mal so viele wie im Dualsystem. Beispiel: Die Dezimalzahl 256 wird
im Hexadezimalsystem als 100 (1 * 256 + 0 * 16 + 0 * 1) notiert,
aber im Dualsystem als 100000000, hat dort also dreimal so viele
Ziffern. Im Dualsystem gibt es die Ziffern 0 und 1, die somit die
"binary digits" (binäre Ziffern) darstellen. Abgekürzt wird daraus
Bit (binary digit). Kombinationsmöglichkeiten Oft stellen wir uns
die Frage, wie viele Kombinationsmöglichkeiten - also
unterschiedliche Zahlen - es für eine gegebene Anzahl an Stellen
geben kann. Im Dualsystem haben wir pro Stelle zwei Möglichkeiten:
0 und 1, also ein Bit. Für eine Zahl mit einer Stelle ergeben sich
also zwei Möglichkeiten: 0 und 1. Für eine Zahl mit zwei Stellen
verdoppelt sich die Anzahl der Möglichkeiten: 00 01 10 11 Und mit
jeder weiteren Stelle verdoppeln sich die Möglichkeiten wieder, da
vor jede bisherige Kombination wieder 0 oder 1 geschrieben werden
kann: 000 001 010 011 100 101 110 111 Die Anzahl der
Kombinationsmöglichkeiten oder unterschiedlichen Zahlen für eine
gegebene Anzahl an Stellen lässt sich berechnen als Potenz aus
Basis des Zahlsystems hoch der Stellenzahl. Für eine 5-stellige
Dualzahl sind 2 ^ 5 = 32 Kombinationen möglich, für eine 3-stellige
Oktalzahl 8 ^ 3 = 512. Beispiele für Zweierpotenzen Da in der IT
das Dualsystem sehr wichtig ist - denn Computer können nur mit
Nullen und Einsen rechnen - begegnen uns in der Praxis häufig immer
wieder Zweierpotenzen, da die Basis des Zahlsystems nunmal 2 ist.
Daher ist es wichtig, zumindest grob überschlagen zu können, wie
viele Kombinationsmöglichkeiten es für eine gegebene Anzahl an Bits
gibt. Ein paar wichtige Zweierpotenzen sollte man auch auswendig
lernen, damit man nicht jedes Mal wieder nachrechnen muss: 8 Bit =
256 Möglichkeiten: ein Byte, Farbtiefe von GIF-Bildern, Größe eines
RGB-Kanals, Länge der Codierung ISO-8859-1 16 Bit = 65.536
Möglichkeiten: Samplingtiefe bei CD-Qualität, Größe eines
Netzwerkports, Länge eines Shorts 24 Bit = ca. 16,7 Mio.
Möglichkeiten: Standardfarbtiefe von JPG- oder PNG-Dateien (ohne
Alpha-Kanal) 32 Bit = ca. 4,3 Mrd. Möglichkeiten: Länge eines
Integers, Länge einer IPv4-Adresse, lange Zeit die übliche
Verarbeitungsbreite von CPUs 48 Bit (2 * 24 Bit = ca. 16,7 Mio. *
16,7 Mio. Möglichkeiten): Länge einer MAC-Adresse 64 Bit: Länge
eines Longs, übliche Verarbeitungsbreite moderner CPUs 128 Bit:
Länge einer IPv6-Adresse Zweierpotenzen im Vergleich Zum Abschluss
habe ich hier noch eine Liste aller Zweierpotenzen bis 128 mit
einigen Anwendungsfällen bzw. Namen. Die Beispiele passen natürlich
nicht hundertprozentig (z.B. gibt es nicht exakt 2 ^ 33 Menschen
auf der Erde und 2 ^ 20 ist nicht genau eine Million), aber
vermitteln einen Eindruck ihrer Größe im Verhältnis zu den anderen
Zahlen und helfen beim Überschlagen von Ergebnissen. 2 ^ 1 = 2: 1
Bit 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 2 ^ 5 = 32 2 ^ 6 = 64: BASE64 2
^ 7 = 128: ASCII 2 ^ 8 = 256: Byte, ISO-8859-1, GIF-Farben 2 ^ 9 =
512 2 ^ 10 = 1.024 2 ^ 11 = 2.048 2 ^ 12 = 4.096 2 ^ 13 = 8.192 2 ^
14 = 16.384 2 ^ 15 = 32.768 2 ^ 16 = 65.536: UTF-16, Samplingtiefe
CD, Größe Netzwerkport 2 ^ 17 = 131.072 2 ^ 18 = 262.144 2 ^ 19 =
524.288 2 ^ 20 = 1.048.576: Million 2 ^ 21 = 2.097.152 2 ^ 22 =
4.194.304 2 ^ 23 = 8.388.608 2 ^ 24 = 16.777.216: Farbtiefe JPG 2 ^
25 = 33.554.432 2 ^ 26 = 67.108.864 2 ^ 27 = 134.217.728 2 ^ 28 =
268.435.456 2 ^ 29 = 536.870.912 2 ^ 30 = 1.073.741.824: Milliarde
2 ^ 31 = 2.147.483.648 2 ^ 32 = 4.294.967.296: Farben + Alpha PNG,
Integer, IPv4 2 ^ 33 = 8.589.934.592: Anzahl Menschen 2 ^ 34 =
17.179.869.184 2 ^ 35 = 34.359.738.368 2 ^ 36 = 68.719.476.736 2 ^
37 = 137.438.953.472: Elon Musks Vermögen, Sterne in unserer
Galaxie 2 ^ 38 = 274.877.906.944 2 ^ 39 = 549.755.813.888 2 ^ 40 =
1.099.511.627.776: Billion 2 ^ 41 = 2.199.023.255.552 2 ^ 42 =
4.398.046.511.104 2 ^ 43 = 8.796.093.022.208 2 ^ 44 =
17.592.186.044.416 2 ^ 45 = 35.184.372.088.832 2 ^ 46 =
70.368.744.177.664 2 ^ 47 = 140.737.488.355.328 2 ^ 48 =
281.474.976.710.656: MAC 2 ^ 49 = 562.949.953.421.312 2 ^ 50 =
1.125.899.906.842.620: Billiarde 2 ^ 51 = 2.251.799.813.685.250 2 ^
52 = 4.503.599.627.370.500 2 ^ 53 = 9.007.199.254.740.990 2 ^ 54 =
18.014.398.509.482.000 2 ^ 55 = 36.028.797.018.964.000 2 ^ 56 =
72.057.594.037.927.900 2 ^ 57 = 144.115.188.075.856.000 2 ^ 58 =
288.230.376.151.712.000 2 ^ 59 = 576.460.752.303.423.000 2 ^ 60 =
1.152.921.504.606.850.000: Trillion 2 ^ 61 =
2.305.843.009.213.690.000 2 ^ 62 = 4.611.686.018.427.390.000 2 ^ 63
= 9.223.372.036.854.780.000 2 ^ 64 = 18.446.744.073.709.600.000:
Long 2 ^ 65 = 36.893.488.147.419.100.000: Kombinationsmöglichkeiten
Rubik's Cube 2 ^ 66 = 73.786.976.294.838.200.000 2 ^ 67 =
147.573.952.589.676.000.000 2 ^ 68 = 295.147.905.179.353.000.000 2
^ 69 = 590.295.810.358.706.000.000: Quadratmillimeter Erdoberfläche
2 ^ 70 = 1.180.591.620.717.410.000.000: Trilliarde, Liter Wasser
auf der Erde 2 ^ 71 = 2.361.183.241.434.820.000.000 2 ^ 72 =
4.722.366.482.869.650.000.000 2 ^ 73 =
9.444.732.965.739.290.000.000 2 ^ 74 =
18.889.465.931.478.600.000.000 2 ^ 75 =
37.778.931.862.957.200.000.000 2 ^ 76 =
75.557.863.725.914.300.000.000: Anzahl Sterne im sichtbaren
Universum, Anzahl Sandkörner in der Sahara 2 ^ 77 =
151.115.727.451.829.000.000.000 2 ^ 78 =
302.231.454.903.657.000.000.000 2 ^ 79 =
604.462.909.807.315.000.000.000 2 ^ 80 = 1.208.925.819.614.630....
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