Um Zahlensysteme, Zweierpotenzen und vor allem Binärzahlen geht es
in der einhunderteinundachzigsten Episode des IT-Berufe-Podcasts.
Der Inhalt ist auch als Video bei YouTube verfügbar. Zahlensysteme,
Zweierpotenzen und Binärzahlen Zweierpotenzen und Binärzahlen
begegnen uns in der IT-Ausbildung an vielen Stellen. In dieser
Episode erkläre ich die Funktionsweise von Zahlensystemen (Binär,
Oktal, Dezimal, Hexadezimal) und gebe Beispiele für den
Praxiseinsatz. Das Video zu dieser Episode findest du bei YouTube
hier: Zahlensysteme, Zweierpotenzen und Binärzahlen. Zahlen vs.
Ziffern Zahlen werden aus einzelnen Ziffern zusammengesetzt. Die
Dezimalzahl 123 besteht z.B. aus den Ziffern 1, 2 und 3. Die
bekannten Zahlensysteme haben unterschiedlich viele Ziffern:
Dualsystem: 0 und 1 Oktalsystem: 0 bis 7 Dezimalsystem: 0 bis 9
(unsere bekannten arabischen Ziffern) Hexadezimalsystme: 0 bis 9
und A bis F Römische Zahlen Das römische Zahlsystem hat auch
mehrere Ziffern: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M =
1.000 Anders als in den anderen Zahlensystemen werden die einzelnen
Ziffern hier einfach aufaddiert. So entspricht die Zahl III der
Dezimalzahl 3, da I + I + I = 3. Außerdem können Ziffern abhängig
von ihrer Platzierung in der Zahl eine unterschiedliche Bedeutung
haben. MCM entspricht z.B. der Dezimalzahl 1900, da das C vor dem M
von diesem abgezogen werden muss, also 1000 - 100 = 900 ergibt. MCM
= M + (M - C) = 1000 + (1000 - 100) = 1900. Dezimalsystem und
andere gebräuchliche Zahlensysteme In den anderen Zahlensystemen,
die wir in der Informatik häufig verwenden (nämlich Dualsystem,
Oktalsystem, Dezimalsystem und Hexadezimalsystem), stehen die
Ziffern einer Zahl immer für einen Faktor, der mit der Wertigkeit
seiner Stelle multipliziert wird. Die Dezimalzahl 123 steht für 1 *
100 + 2 * 10 + 3 * 1. Die Wertigkeit der Stelle ergibt sich aus
ihrer Potenz mit der Basis des Zahlsystems. Die Basen der
Zahlensysteme sind: Dual/Binär: 2 Oktal: 8 Dezimal: 10 Hexadezimal:
16 Nun werden die Stellen der Zahlen von rechts nach links
beginnend mit 0 immer um 1 im Exponenten erhöht, um die Wertigkeit
der Stelle zu berechnen. Beispiel im Dezimalsystem: 10 ^ 0 = 1 10 ^
1 = 10 10 ^ 2 = 100 10 ^ 3 = 1.000 10 ^ 4 = 10.000 ... Dualsystem
Im Dualsystem oder Binärsystem ist die Basis 2, die Wertigkeiten
der Stellen der Zahlen lauten also: 2 ^ 0 = 1 2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2
^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 2 ^ 5 = 32 ... Sie steigen also deutlich
langsamer an als im Dezimalsystem. Mit jeder Stelle verdoppelt sich
die Wertigkeit (im Vergleich zur Verzahnfachung im Dezimalsystem).
Um den gleichen Zahlwert darstellen zu können, sind also deutlich
mehr Ziffern nötig. Das wird noch deutlicher beim
Hexadezimalsystem: Mit einer Ziffer können 16 verschiedene Werte
dargestellt werden, also acht Mal so viele wie im Dualsystem.
Beispiel: Die Dezimalzahl 256 wird im Hexadezimalsystem als 100 (1
* 256 + 0 * 16 + 0 * 1) notiert, aber im Dualsystem als 100000000,
hat dort also dreimal so viele Ziffern. Im Dualsystem gibt es die
Ziffern 0 und 1, die somit die "binary digits" (binäre Ziffern)
darstellen. Abgekürzt wird daraus Bit (binary digit).
Kombinationsmöglichkeiten Oft stellen wir uns die Frage, wie viele
Kombinationsmöglichkeiten - also unterschiedliche Zahlen - es für
eine gegebene Anzahl an Stellen geben kann. Im Dualsystem haben wir
pro Stelle zwei Möglichkeiten: 0 und 1, also ein Bit. Für eine Zahl
mit einer Stelle ergeben sich also zwei Möglichkeiten: 0 und 1. Für
eine Zahl mit zwei Stellen verdoppelt sich die Anzahl der
Möglichkeiten: 00 01 10 11 Und mit jeder weiteren Stelle verdoppeln
sich die Möglichkeiten wieder, da vor jede bisherige Kombination
wieder 0 oder 1 geschrieben werden kann: 000 001 010 011 100 101
110 111 Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten oder
unterschiedlichen Zahlen für eine gegebene Anzahl an Stellen lässt
sich berechnen als Potenz aus Basis des Zahlsystems hoch der
Stellenzahl. Für eine 5-stellige Dualzahl sind 2 ^ 5 = 32
Kombinationen möglich, für eine 3-stellige Oktalzahl 8 ^ 3 = 512.
Beispiele für Zweierpotenzen Da in der IT das Dualsystem sehr
wichtig ist - denn Computer können nur mit Nullen und Einsen
rechnen - begegnen uns in der Praxis häufig immer wieder
Zweierpotenzen, da die Basis des Zahlsystems nunmal 2 ist. Daher
ist es wichtig, zumindest grob überschlagen zu können, wie viele
Kombinationsmöglichkeiten es für eine gegebene Anzahl an Bits gibt.
Ein paar wichtige Zweierpotenzen sollte man auch auswendig lernen,
damit man nicht jedes Mal wieder nachrechnen muss: 8 Bit = 256
Möglichkeiten: ein Byte, Farbtiefe von GIF-Bildern, Größe eines
RGB-Kanals, Länge der Codierung ISO-8859-1 16 Bit = 65.536
Möglichkeiten: Samplingtiefe bei CD-Qualität, Größe eines
Netzwerkports, Länge eines Shorts 24 Bit = ca. 16,7 Mio.
Möglichkeiten: Standardfarbtiefe von JPG- oder PNG-Dateien (ohne
Alpha-Kanal) 32 Bit = ca. 4,3 Mrd. Möglichkeiten: Länge eines
Integers, Länge einer IPv4-Adresse, lange Zeit die übliche
Verarbeitungsbreite von CPUs 48 Bit (2 * 24 Bit = ca. 16,7 Mio. *
16,7 Mio. Möglichkeiten): Länge einer MAC-Adresse 64 Bit: Länge
eines Longs, übliche Verarbeitungsbreite moderner CPUs 128 Bit:
Länge einer IPv6-Adresse Zweierpotenzen im Vergleich Zum Abschluss
habe ich hier noch eine Liste aller Zweierpotenzen bis 128 mit
einigen Anwendungsfällen bzw. Namen. Die Beispiele passen natürlich
nicht hundertprozentig (z.B. gibt es nicht exakt 2 ^ 33 Menschen
auf der Erde und 2 ^ 20 ist nicht genau eine Million), aber
vermitteln einen Eindruck ihrer Größe im Verhältnis zu den anderen
Zahlen und helfen beim Überschlagen von Ergebnissen. 2 ^ 1 = 2: 1
Bit 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = 16 2 ^ 5 = 32 2 ^ 6 = 64: BASE64 2
^ 7 = 128: ASCII 2 ^ 8 = 256: Byte, ISO-8859-1, GIF-Farben 2 ^ 9 =
512 2 ^ 10 = 1.024 2 ^ 11 = 2.048 2 ^ 12 = 4.096 2 ^ 13 = 8.192 2 ^
14 = 16.384 2 ^ 15 = 32.768 2 ^ 16 = 65.536: UTF-16, Samplingtiefe
CD, Größe Netzwerkport 2 ^ 17 = 131.072 2 ^ 18 = 262.144 2 ^ 19 =
524.288 2 ^ 20 = 1.048.576: Million 2 ^ 21 = 2.097.152 2 ^ 22 =
4.194.304 2 ^ 23 = 8.388.608 2 ^ 24 = 16.777.216: Farbtiefe JPG 2 ^
25 = 33.554.432 2 ^ 26 = 67.108.864 2 ^ 27 = 134.217.728 2 ^ 28 =
268.435.456 2 ^ 29 = 536.870.912 2 ^ 30 = 1.073.741.824: Milliarde
2 ^ 31 = 2.147.483.648 2 ^ 32 = 4.294.967.296: Farben + Alpha PNG,
Integer, IPv4 2 ^ 33 = 8.589.934.592: Anzahl Menschen 2 ^ 34 =
17.179.869.184 2 ^ 35 = 34.359.738.368 2 ^ 36 = 68.719.476.736 2 ^
37 = 137.438.953.472: Elon Musks Vermögen, Sterne in unserer
Galaxie 2 ^ 38 = 274.877.906.944 2 ^ 39 = 549.755.813.888 2 ^ 40 =
1.099.511.627.776: Billion 2 ^ 41 = 2.199.023.255.552 2 ^ 42 =
4.398.046.511.104 2 ^ 43 = 8.796.093.022.208 2 ^ 44 =
17.592.186.044.416 2 ^ 45 = 35.184.372.088.832 2 ^ 46 =
70.368.744.177.664 2 ^ 47 = 140.737.488.355.328 2 ^ 48 =
281.474.976.710.656: MAC 2 ^ 49 = 562.949.953.421.312 2 ^ 50 =
1.125.899.906.842.620: Billiarde 2 ^ 51 = 2.251.799.813.685.250 2 ^
52 = 4.503.599.627.370.500 2 ^ 53 = 9.007.199.254.740.990 2 ^ 54 =
18.014.398.509.482.000 2 ^ 55 = 36.028.797.018.964.000 2 ^ 56 =
72.057.594.037.927.900 2 ^ 57 = 144.115.188.075.856.000 2 ^ 58 =
288.230.376.151.712.000 2 ^ 59 = 576.460.752.303.423.000 2 ^ 60 =
1.152.921.504.606.850.000: Trillion 2 ^ 61 =
2.305.843.009.213.690.000 2 ^ 62 = 4.611.686.018.427.390.000 2 ^ 63
= 9.223.372.036.854.780.000 2 ^ 64 = 18.446.744.073.709.600.000:
Long 2 ^ 65 = 36.893.488.147.419.100.000: Kombinationsmöglichkeiten
Rubik's Cube 2 ^ 66 = 73.786.976.294.838.200.000 2 ^ 67 =
147.573.952.589.676.000.000 2 ^ 68 = 295.147.905.179.353.000.000 2
^ 69 = 590.295.810.358.706.000.000: Quadratmillimeter Erdoberfläche
2 ^ 70 = 1.180.591.620.717.410.000.000: Trilliarde, Liter Wasser
auf der Erde 2 ^ 71 = 2.361.183.241.434.820.000.000 2 ^ 72 =
4.722.366.482.869.650.000.000 2 ^ 73 =
9.444.732.965.739.290.000.000 2 ^ 74 =
18.889.465.931.478.600.000.000 2 ^ 75 =
37.778.931.862.957.200.000.000 2 ^ 76 =
75.557.863.725.914.300.000.000: Anzahl Sterne im sichtbaren
Universum, Anzahl Sandkörner in der Sahara 2 ^ 77 =
151.115.727.451.829.000.000.000 2 ^ 78 =
302.231.454.903.657.000.000.000 2 ^ 79 =
604.462.909.807.315.000.000.000 2 ^ 80 =
1.208.925.819.614.630.000.000.000: Quadrillion 2 ^ 81 =
2.417.851.639.229.260.000.000.000 2 ^ 82 =
4.835.703.278.458.520.000.000.000 2 ^ 83 =
9.671.406.556.917.030.000.000.000 2 ^ 84 =
19.342.813.113.834.100.000.000.000 2 ^ 85 =
38.685.626.227.668.100.000.000.000 2 ^ 86 =
77.371.252.455.336.300.000.000.000 2 ^ 87 =
154.742.504.910.673.000.000.000.000 2 ^ 88 =
309.485.009.821.345.000.000.000.000 2 ^ 89 =
618.970.019.642.690.000.000.000.000 2 ^ 90 =
1.237.940.039.285.380.000.000.000.000: Quadrilliarde 2 ^ 91 =
2.475.880.078.570.760.000.000.000.000 2 ^ 92 =
4.951.760.157.141.520.000.000.000.000 2 ^ 93 =
9.903.520.314.283.040.000.000.000.000 2 ^ 94 =
19.807.040.628.566.100.000.000.000.000 2 ^ 95 =
39.614.081.257.132.200.000.000.000.000 2 ^ 96 =
79.228.162.514.264.300.000.000.000.000 2 ^ 97 =
158.456.325.028.529.000.000.000.000.000 2 ^ 98 =
316.912.650.057.057.000.000.000.000.000 2 ^ 99 =
633.825.300.114.115.000.000.000.000.000 2 ^ 100 =
1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000: Quintillion 2 ^ 101 =
2.535.301.200.456.460.000.000.000.000.000 2 ^ 102 =
5.070.602.400.912.920.000.000.000.000.000 2 ^ 103 =
10.141.204.801.825.800.000.000.000.000.000 2 ^ 104 =
20.282.409.603.651.700.000.000.000.000.000 2 ^ 105 =
40.564.819.207.303.300.000.000.000.000.000 2 ^ 106 =
81.129.638.414.606.700.000.000.000.000.000 2 ^ 107 =
162.259.276.829.213.000.000.000.000.000.000 2 ^ 108 =
324.518.553.658.427.000.000.000.000.000.000 2 ^ 109 =
649.037.107.316.853.000.000.000.000.000.000 2 ^ 110 =
1.298.074.214.633.710.000.000.000.000.000.000: Quintilliarde 2 ^
111 = 2.596.148.429.267.410.000.000.000.000.000.000 2 ^ 112 =
5.192.296.858.534.830.000.000.000.000.000.000 2 ^ 113 =
10.384.593.717.069.700.000.000.000.000.000.000 2 ^ 114 =
20.769.187.434.139.300.000.000.000.000.000.000 2 ^ 115 =
41.538.374.868.278....
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