Dämpfung viskoser Flüssigkeiten

Gudrun und Karoline Disser trafen sich am Rand eines
Seminarvortrages an der TU in Darmstadt. Dort arbeitet Karoline
am internationalen Graduiertenkolleg Mathematical Fluid Dynamics
als Postdoc. Der Forschungsgegenstand, über den die beiden
schließlich ins Gespräch kamen, ist die Bewegung starrer Körper,
in denen eine Flüssigkeit eingeschlossen ist.


Ein recht anschauliches Beispiel hierfür ist die Frage, wie man
herausfinden kann, ob ein Ei schon gekocht oder noch roh ist.
Wenn man es auf einer glatten Fläche aufrecht stehend rotieren
lässt, bleibt das gekochte Ei fast aufrecht, während sich das
rohe Ei schnell hinlegt und weiter um eine kurze Achse rotiert.
Die Flüssigkeit verhindert die Präzession um die lange Achse.


Allgemeiner ausgedrückt untersucht Karoline Trägheitsbewegungen
gekoppelter Systeme, die aus einem starren Körper bestehen mit
einem Hohlraum, der vollständig mit einer viskosen Flüssigkeit
gefüllt ist. Sie zeigt mathematisch, dass bei beliebigen
Anfangsdaten mit endlicher kinetischer Energie, jede
korrespondierende schwache Lösung im Laufe der Zeit in eine
gleichmäßige Rotation übergeht. Darüber hinaus ist diese Rotation
nur um die Trägheitsachse mit dem größeren Trägheitsmoment
stabil. Anschaulich ist das bei einem symmetrischen Körper oft
die geometrisch kürzeste Achse.


Unabhängig von der Geometrie und den Parametern zeigt dies, dass
- wenn das System genug Zeit hat - das Vorhandensein von
Flüssigkeit Präzession des Körpers verhindert.


Die theoretischen Untersuchungen wurden durch numerische
Simulationen begleitet. In diesem Video zu einem Experiement
eines mit Flüssigkeit gefülltem starrem Körpers wird der Effekt
illustriert, dass wenn er zuerst um die lange Achse angedreht
wird, in der freien Bewegung schnell zu einer Rotation um eine
kurze Achse findet.


Interessant ist auch der Fall, wenn sich das flüssige Material
nicht ähnlich wie Wasser verhält, sondern ein sogenanntes
Nichtnewtonsches Fluid ist. Hierfür gibt es viele Anwendungen -
zum Beispiel, wenn auch elastische Verformungen möglich sind. Das
heißt konkret: In den partiellen Differentialgleichungen treten
noch mehr nichtlineare Terme auf als im Fall der Navier-Stokes
Gleichungen für wasserähnliche Stoffe. Für diese Terme müssen
neue Techniken entwickelt werden.

Literatur und weiterführende Informationen

K. Disser: Strong Solutions for the Interaction of a Rigid
Body and a Viscoelastic Fluid, Journal of Mathematical Fluid
Mechanics 15(4), 2012.

K. Disser e.a.: L^p -theory for strong solutions to
fluid-rigid body interaction in Newtonian and generalized
Newtonian fluids, Transactions of the American Mathematical
Society 365(3), 2013.

K. Disser: Asymptotic behaviour of a rigid body with a cavity
filled by a viscous liquid, arXiv:1405.6221, 2014.

K. Disser e.a.: Inertial Motions of a Rigid Body with a
Cavity Filled with a Viscous Liquid, Archive for Rational
Mechanics and Analysis 221(1):1-40, 2016.


Podcasts

H. Wilson: Viscoelastic Fluids, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 92, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

M. Steinhauer: Reguläre Strömungen, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 113, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.