Zeitintegration

Die numerische Zeitintegration gewöhnlicher und partieller
Differentialgleichungen ist an der Fakultät für Mathematik ein
großes Forschungsgebiet, insbesondere in dem kürzlich gestarteten
Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenphänomene. Das
Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren für Probleme
zu entwickeln, für die man keine analytische Lösung angeben kann.
Patrick Krämer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren
für Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der
Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die
Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die
Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur
Schrödingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung
atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im
Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen
können nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit
den Teilchen unter Berücksichtigung relativistischer Effekte
beschrieben werden.


Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle
betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen
aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon
Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese
Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten
Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu
wählen.


Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht
jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen.
Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch
berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und
anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation
multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr
effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens
auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame
Oszillationen aufweist und damit deutlich größere
Zeitschrittweiten zulässt.


Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math
Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung
(HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek
durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in
einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines
Mathematikers vorstellt.
Literatur und Zusatzinformationen

E. Faou, K. Schratz: Asymptotic preserving schemes for the
Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit regime,
Numerische Mathematik 126.3: 441-469, 2014.

N. Masmoudi, K. Nakanishi: Nonrelativistic limit from
Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Dirac to Poisson-Schrödinger,
International Mathematics Research Notices 2003.13: 697-734,
2003.

Schwabl, Franz. Quantenmechanik für Fortgeschrittene (qm ii),
Springer-Verlag, 2008.

Podcasts

J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter
und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät
für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/cooking-math

J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
http://modellansatz.de/splitting