Numerical gauge/gravity duality

In der vorliegenden Dissertation werden elektrische Eigenschaften
stark gekoppelter Systeme in Anwesenheit von Störungen untersucht.
Dies erfolgt anhand der Dualität zwischen Eich- und
Gravitationstheorien, die eine Beschreibung solcher Systeme mittels
einer schwach gekoppelten Gravitationstheorie ermöglicht. Besondere
Aufmerksamkeit wird hierbei der Berechnung von Ladungsdichten und
Leitfähigkeiten gewidmet, sowie der Untersuchung der von den
Störungen hervorgerufenen Auswirkungen auf diese. Unseren
Rechnungen liegt die AdS/CFT-Korrespondenz zugrunde. Diese besagt,
dass konforme Quantenfeldtheorien im flachen Minkowskiraum
höherdimensionalen Stringtheorien im Anti-de-Sitter Raum
gleichzusetzen sind. Einen besonders interessanten Grenzfall stellt
der Limes dar, in dem die Quantenfeldtheorie einer sehr stark
gekoppelten mit vielen internen Freiheitsgraden ausgestatteten
Eichsymmetrie unterliegt. Die duale Stringtheorie kann in diesem
Falle zu einer klassischen Gravitationstheorie im Anti-de-Sitter
Raum vereinfacht werden. Ein relevantes Merkmal, aus dem der große
praktische Wert der Dualität entspringt, liegt hierbei in der
Tatsache, dass aus schwach gekoppelten Gravitationstheorien
stammende Ergebnisse im Rahmen stark gekoppelter
Quantenfeldtheorien interpretierbar sind. Angesichts des hohen
technischen Schwierigkeitsgrades, den stark gekoppelte Theorien
aufweisen, macht diese Eigenschaft die Dualität zu einem mächtigen
mathematischen Werkzeug hinsichtlich eines besseren Verständnisses
der Physik letzterer. Trotz fehlendem formellem Beweis ihrer
allgemeinen Gültigkeit hat die AdS/CFT-Korrespondenz im Laufe der
letzten Jahre wichtige Fortschritte in diesem Zusammenhang zuwege
gebracht. Hervorzuheben sind Berechnungen von
Transportkoeffizienten stark gekoppelter Theorien wie Viskositäten,
Leitfähigkeiten und Diffusionskonstanten. Störungen treten in
realen physikalischen Systemen immer auf. Jedoch ist wenig über
deren Auswirkungen auf stark gekoppelte Materie bekannt. Die
AdS/CFT-Korrespondenz ebnet den Weg zu einem besseren Verständnis
hiervon. Um den Einfluss von Unreinheiten auf die oben genannten
Transporteigenschaften stark gekoppelter Systeme mithilfe der
AdS/CFT-Korrespondenz zu untersuchen muss die Abhängigkeit der
Felder von mindestens zwei Koordinaten vorausgesetzt werden. Die
zugehörigen Bewegungsgleichungen sind partielle
Differentialgleichungen, deren analytische Handhabung technisch
nicht durchführbar ist. Rechnergestützte numerische Methoden
stellen die einzige Möglichkeit dar, diesem Problem beizukommen.
Besonders geeignet hierfür erweisen sich die sogenannten
Spektralmethoden, deren Anwendung auf Rechnungen im Rahmen der
AdS/CFT-Korrespondenz in Detail erläutert wird. In der vorliegenden
Arbeit bedienen wir uns der oben erwähnten Methoden, um numerische
Lösungen von Gravitationstheorien zu ermitteln, die aufgrund der
Dualität inhomogenen stark gekoppelten Systemen fundamentaler
Teilchen entsprechen. Die Störungen, deren Auswirkungen auf die
Transporteigenschaften des dualen Systems zu untersuchen sind,
werden durch eine nichttriviale räumliche Struktur von
physikalischen Größen der Gravitationstheorie eingeführt. Diese
wird in einer ersten Ausführung von einem stufigen raumabhängigen
Massenprofil dargestellt, das eine lokalisierte Störung in Form
einer Grenzoberfläche bildet. Der Analyse der resultierenden
Ladungsdichten und Leitfähigkeiten kann entnommen werden, dass die
Präsenz der Grenzoberfläche eine Lokalisierung der Ladungsdichte in
derer unmittelbaren Umgebung bewirkt. Des Weiteren wird eine lokale
Erhöhung der Leitfähigkeit bei niedrigen Frequenzen in der zur
Grenzoberfläche parallelen Richtung festgestellt. In der
senkrechten Richtung nimmt die Leitfähigkeit bei niedrigen
Frequenzen einen konstanten Wert an und wird in Vergleich zur
parallelen Richtung abgeschwächt. Das Hochfrequenzverhalten der
Leitfähigkeiten in beiden Richtungen wird nicht von der
Inhomogenität gestört und weist keine Unterschiede auf. In einem
zweiten Fall wird die nichttriviale räumliche Struktur in Form
einer zufälligen Raumabhängigkeit des chemischen Potenzials entlang
einer Richtung eingeführt, die die Störungen in der lokalen Energie
der Ladungsträger nachbildet. Dabei wird festgestellt, dass diese
Art von delokalisierten Störungen ein globales Anwachsen der
Ladungsdichte des Systems herbeiführt. Die Leitfähigkeit wird von
den Störungen abgeschwächt und ihr Verhalten weist qualitative
Übereinstimmung mit Modellen der Transporteigenschaften von Graphen
in der Physik der kondensierten Materie.