Wilde Singularitäten

Anja Randecker befasst sich in ihrer Forschung mit so genannten
wilden Singularitäten, die im Zusammenhang mit
Translationsflächen auftreten, und erklärt im Gespräch mit Gudrun
Thäter die Faszination dieser mathematischen Konstruktionen.


Translationsflächen sind im klassischen Fall Polygone in der
Ebene, die an ihren Kanten topologisch verklebt werden. Beim
Quadrat erhält man beispielsweise einen Donut, oder auch Torus:
(Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public
Domain):


Lokal betrachtet verhält sich eine Translationsfläche wie eine
Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine mathematische
Kartenabbildung, von einem kleinen Gebiet der Fläche in ein
Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale
Gestalt der Fläche verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der
Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der
Erstellung von Landkarten, was lokal zwar sehr gut funktioniert,
aber bei größeren Flächen müssen die Kartenprojektionen starke
Verzerrungen in Kauf nehmen.


Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei Fünfecken (eins
steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel
zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem
Punkt. Dann erhält man ein Objekt, das wie zwei zusammengebackene
Donuts aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt
wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert
sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit
eine Singularität - genauer eine konische Singularität. Hier hat
der Punkt eine Umgebung, die isometrisch zu einer Überlagerung
einer Kreisschreibe ist, da wir endliche viele Polygone in der
Ebene verklebt haben.


Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die
Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so können
die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das führt
dann zu den so genannten wilden Singularitäten. Diese werden erst
seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei
dynamischen Systemen auf Translationsflächen vor. Hier möchte man
in der aktuellen Forschung Begriffe der Konvergenz und damit eine
Topologie auf einem Raum der Translationsflächen einführen, um
das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum
beschreiben und analysieren zu können.


Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularitäten etwas ähnliches
wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen
Singularitäten zugeordnet werden kann. Zunächst ist deren
Umgebung überraschenderweise wegzusammenhängend. Die Umgebung
kann aber auch unendliches Geschlecht besitzen, wie Anja
Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche
viele Löcher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der
Donut.
Literatur und Zusatzinformationen

A. Zorich: Flat surfaces, Frontiers in number theory,
physics, and geometry I: 439-585, 2006.

A. Randecker: Skript zur Vortragsreihe Unendliche
Translationsflächen, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut
für Technologie (KIT), 2014.

J. P. Bowman, F. Valdez: Wild singularities of flat surfaces,
Israel Journal of Mathematics, 197(1), 69-97, 2013.

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