Modellansatz Archiv
256 Episoden
20 Minuten
To separate one single instrument from the acoustic sound of a whole orchestra- just by knowing its exact position- gives a good idea of the concept of wave splitting, the research topic of Marie Kray. Interestingly, an approach for solving this problem was found by the investigation of side-effects of absorbing boundary conditions (ABC) for time-dependent wave problems- the perfectly matched layers are an important example for ABCs.
Marie Kray works in the Numerical Analysis group of Prof. Grote in Mathematical Department of the University of Basel. She did her PhD 2012 in the Laboratoire Jacques-Louis Lions in Paris and got her professional education in Strasbourg and Orsay.
Since boundaries occur at the surface of volumes, the boundary manifold has one spatial dimension less than the actual regarded physical domain. Therefore, the treatment of normal derivatives as in the Neumann boundary condition needs special care.
The implicit Crank-Nicolson method turned out to be a good numerical scheme for integrating the time derivative, and an upwinding scheme solved the discretized hyperbolic problem for the space dimension.
An alternative approach to separate the signals from several point sources or scatterers is to apply global integral boundary conditions and to assume a time-harmonic representation.
The presented methods have important applications in medical imaging: A wide range of methods work well for single scatterers, but Tumors often tend to spread to several places. This serverely impedes inverse problem reconstruction methods such as the TRAC method, but the separation of waves enhances the use of these methods on problems with several scatterers.
Literature and additional material
F. Assous, M. Kray, F. Nataf, E. Turkel: Time-reversed absorbing condition: application to inverse problems, Inverse Problems, 27(6), 065003, 2011.
F. Assous, M. Kray, F. Nataf: Time reversal techniques for multitarget identification, in Ultrasonics Symposium (IUS), IEEE International (pp. 143-145). IEEE, 2013.
M. Grote, M. Kray, F. Nataf, F. Assous: Wave splitting for time-dependent scattered field separation, Comptes Rendus Mathematique, 353(6), 523-527, 2015.
Marie Kray works in the Numerical Analysis group of Prof. Grote in Mathematical Department of the University of Basel. She did her PhD 2012 in the Laboratoire Jacques-Louis Lions in Paris and got her professional education in Strasbourg and Orsay.
Since boundaries occur at the surface of volumes, the boundary manifold has one spatial dimension less than the actual regarded physical domain. Therefore, the treatment of normal derivatives as in the Neumann boundary condition needs special care.
The implicit Crank-Nicolson method turned out to be a good numerical scheme for integrating the time derivative, and an upwinding scheme solved the discretized hyperbolic problem for the space dimension.
An alternative approach to separate the signals from several point sources or scatterers is to apply global integral boundary conditions and to assume a time-harmonic representation.
The presented methods have important applications in medical imaging: A wide range of methods work well for single scatterers, but Tumors often tend to spread to several places. This serverely impedes inverse problem reconstruction methods such as the TRAC method, but the separation of waves enhances the use of these methods on problems with several scatterers.
Literature and additional material
F. Assous, M. Kray, F. Nataf, E. Turkel: Time-reversed absorbing condition: application to inverse problems, Inverse Problems, 27(6), 065003, 2011.
F. Assous, M. Kray, F. Nataf: Time reversal techniques for multitarget identification, in Ultrasonics Symposium (IUS), IEEE International (pp. 143-145). IEEE, 2013.
M. Grote, M. Kray, F. Nataf, F. Assous: Wave splitting for time-dependent scattered field separation, Comptes Rendus Mathematique, 353(6), 523-527, 2015.
20 Minuten
Wie können wir die globale Erwärmung stoppen? Viola Caspari hat dazu eine spieltheoretische Masterarbeit abgeschlossen. Ihr Interesse galt sogenannten trembling-hand perfekten Gleichgewichten. Dies sind Nash Gleichgewichte mit der besonderen Eigenschaft, dass auch kleine Änderungen in den Daten die Eigenschaft, dass es sich um ein Nash-Gleichgewicht handelt, nicht ändert. Es sind also Strategiekombinationen, die für Entscheidungsfindungen besonders hilfreich sein können. Das Gefangenendilemma ist eines der grundlegenden theoretischen Beispiele aus der Spielttheorie, an dem man verschiedene Strategien illustrieren kann.
Als Anwendungsfall behandelte Sie die Verteilung öffentlicher Güter mit unsicherem Schwellwert. Der Hintergrund hierfür sind die laufenden Verhandlungen zwischen allen Staaten, die dazu führen sollen, dass eine mittlere Erwärmung um 2 Grad Kelvin oder mehr vermieden werden kann. Die Erwärmung ist direkt gekoppelt an den CO2-Ausstoß der Staaten. Und natürlich haben alle Staaten Einfluss darauf, wie ihre CO2-Bilanz aussieht. Sie können beispielsweise Geld investieren, um Kohlekraftwerke durch erneuerbare Energieerzeuger abzulösen oder Filter in Schornsteine einbauen, und vieles mehr.
Im Modell werden aus den Staaten also Spieler mit verschiedenen Strategien als Handlungsoptionen. Jede Strategie ist mit Kosten verbunden aber auch mit dem Nutzen in Form von eingesparten CO2-Ausstoß. Diese Relationen variieren auch nach der Größe der Wirtschaft der Länder. Gesucht sind nun Handlungsempfehlungen, die dafür sorgen, dass die Staaten solche Absprachen treffen, dass die Schwelle für die katastrophale Klimaveränderung aussbleibt und sich auch an diese Absprachen halten.
Eine gute Methode hierfür ist die Einigung auf trembling-hand perfekte Nash-Gleichgewichte, weil hier eine Änderung der eigenen Strategie nur zur Verschlechterung für einen selbst führt. Der Egoismus dient also als Antrieb, sich an getroffene Abmachungen zu halten.
Literatur und Zusatzinformationen
C. Feige, K.-M. Ehrhart, J. Krämer: Voting on contributions to a threshold public goods game - an experimental investigation, KIT Working Paper 60, August 2014.
S. Berninghaus, K.-M. Ehrhart, W. Güth: Strategische Spiele, eine Einführung in die Spieltheorie, Springer-Lehrbuch, Springer, Berlin, 3., verb. Aufl., 2010.
R. Selten: Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games, International Journal of Game Theory, 4(1):25–55, 1975.
Als Anwendungsfall behandelte Sie die Verteilung öffentlicher Güter mit unsicherem Schwellwert. Der Hintergrund hierfür sind die laufenden Verhandlungen zwischen allen Staaten, die dazu führen sollen, dass eine mittlere Erwärmung um 2 Grad Kelvin oder mehr vermieden werden kann. Die Erwärmung ist direkt gekoppelt an den CO2-Ausstoß der Staaten. Und natürlich haben alle Staaten Einfluss darauf, wie ihre CO2-Bilanz aussieht. Sie können beispielsweise Geld investieren, um Kohlekraftwerke durch erneuerbare Energieerzeuger abzulösen oder Filter in Schornsteine einbauen, und vieles mehr.
Im Modell werden aus den Staaten also Spieler mit verschiedenen Strategien als Handlungsoptionen. Jede Strategie ist mit Kosten verbunden aber auch mit dem Nutzen in Form von eingesparten CO2-Ausstoß. Diese Relationen variieren auch nach der Größe der Wirtschaft der Länder. Gesucht sind nun Handlungsempfehlungen, die dafür sorgen, dass die Staaten solche Absprachen treffen, dass die Schwelle für die katastrophale Klimaveränderung aussbleibt und sich auch an diese Absprachen halten.
Eine gute Methode hierfür ist die Einigung auf trembling-hand perfekte Nash-Gleichgewichte, weil hier eine Änderung der eigenen Strategie nur zur Verschlechterung für einen selbst führt. Der Egoismus dient also als Antrieb, sich an getroffene Abmachungen zu halten.
Literatur und Zusatzinformationen
C. Feige, K.-M. Ehrhart, J. Krämer: Voting on contributions to a threshold public goods game - an experimental investigation, KIT Working Paper 60, August 2014.
S. Berninghaus, K.-M. Ehrhart, W. Güth: Strategische Spiele, eine Einführung in die Spieltheorie, Springer-Lehrbuch, Springer, Berlin, 3., verb. Aufl., 2010.
R. Selten: Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games, International Journal of Game Theory, 4(1):25–55, 1975.
26 Minuten
Anja Randecker befasst sich in ihrer Forschung mit so genannten wilden Singularitäten, die im Zusammenhang mit Translationsflächen auftreten, und erklärt im Gespräch mit Gudrun Thäter die Faszination dieser mathematischen Konstruktionen.
Translationsflächen sind im klassischen Fall Polygone in der Ebene, die an ihren Kanten topologisch verklebt werden. Beim Quadrat erhält man beispielsweise einen Donut, oder auch Torus: (Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public Domain):
Lokal betrachtet verhält sich eine Translationsfläche wie eine Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine mathematische Kartenabbildung, von einem kleinen Gebiet der Fläche in ein Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale Gestalt der Fläche verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der Erstellung von Landkarten, was lokal zwar sehr gut funktioniert, aber bei größeren Flächen müssen die Kartenprojektionen starke Verzerrungen in Kauf nehmen.
Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei Fünfecken (eins steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem Punkt. Dann erhält man ein Objekt, das wie zwei zusammengebackene Donuts aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit eine Singularität - genauer eine konische Singularität. Hier hat der Punkt eine Umgebung, die isometrisch zu einer Überlagerung einer Kreisschreibe ist, da wir endliche viele Polygone in der Ebene verklebt haben.
Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so können die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das führt dann zu den so genannten wilden Singularitäten. Diese werden erst seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei dynamischen Systemen auf Translationsflächen vor. Hier möchte man in der aktuellen Forschung Begriffe der Konvergenz und damit eine Topologie auf einem Raum der Translationsflächen einführen, um das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum beschreiben und analysieren zu können.
Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularitäten etwas ähnliches wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen Singularitäten zugeordnet werden kann. Zunächst ist deren Umgebung überraschenderweise wegzusammenhängend. Die Umgebung kann aber auch unendliches Geschlecht besitzen, wie Anja Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche viele Löcher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der Donut.
Literatur und Zusatzinformationen
A. Zorich: Flat surfaces, Frontiers in number theory, physics, and geometry I: 439-585, 2006.
A. Randecker: Skript zur Vortragsreihe Unendliche Translationsflächen, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
J. P. Bowman, F. Valdez: Wild singularities of flat surfaces, Israel Journal of Mathematics, 197(1), 69-97, 2013.
Modellansatz Podcast Modell040: Topologie
Modellansatz Podcast Modell042: Teichmüllerkurven
Translationsflächen sind im klassischen Fall Polygone in der Ebene, die an ihren Kanten topologisch verklebt werden. Beim Quadrat erhält man beispielsweise einen Donut, oder auch Torus: (Animation von Kieff zum Verkleben, veröffentlicht als Public Domain):
Lokal betrachtet verhält sich eine Translationsfläche wie eine Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine mathematische Kartenabbildung, von einem kleinen Gebiet der Fläche in ein Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale Gestalt der Fläche verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der Erstellung von Landkarten, was lokal zwar sehr gut funktioniert, aber bei größeren Flächen müssen die Kartenprojektionen starke Verzerrungen in Kauf nehmen.
Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei Fünfecken (eins steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem Punkt. Dann erhält man ein Objekt, das wie zwei zusammengebackene Donuts aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit eine Singularität - genauer eine konische Singularität. Hier hat der Punkt eine Umgebung, die isometrisch zu einer Überlagerung einer Kreisschreibe ist, da wir endliche viele Polygone in der Ebene verklebt haben.
Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so können die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das führt dann zu den so genannten wilden Singularitäten. Diese werden erst seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei dynamischen Systemen auf Translationsflächen vor. Hier möchte man in der aktuellen Forschung Begriffe der Konvergenz und damit eine Topologie auf einem Raum der Translationsflächen einführen, um das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum beschreiben und analysieren zu können.
Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularitäten etwas ähnliches wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen Singularitäten zugeordnet werden kann. Zunächst ist deren Umgebung überraschenderweise wegzusammenhängend. Die Umgebung kann aber auch unendliches Geschlecht besitzen, wie Anja Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche viele Löcher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der Donut.
Literatur und Zusatzinformationen
A. Zorich: Flat surfaces, Frontiers in number theory, physics, and geometry I: 439-585, 2006.
A. Randecker: Skript zur Vortragsreihe Unendliche Translationsflächen, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
J. P. Bowman, F. Valdez: Wild singularities of flat surfaces, Israel Journal of Mathematics, 197(1), 69-97, 2013.
Modellansatz Podcast Modell040: Topologie
Modellansatz Podcast Modell042: Teichmüllerkurven
37 Minuten
Wie bringt man einem Roboter das Gehen bei? Cornelius Kuhs hat sich dieser Frage am Humanoiden Fünf-Segment-Läufer am Institut für Technische Mechanik gestellt, und hat die Bewegungen am Modell von Differentialgleichungen auf die Energieeffizienz des Bewegungsablaufs studiert. Die Energieeffizienz bezieht sich hier auf die spezifischen Transportkosten, das ist hier die aufgebrachte Energie geteilt durch das Produkt von Gewicht und zurückgelegter Distanz.
Die Bewegungsabläufe sind jedoch nicht durch analytisches Lösen der Differentialgleichungen des Modells zu bestimmen, hier wurden verschiedene Ansätze ausgetestet, die dann mittels mathematischer Optimierung auf einen möglichst geringen Energieverbrauch verbessert werden. Dabei sind viele physikalische Randbedingungen, wie der Position des Bodens, und technische Bedingungen, die beispielsweise das Umknicken des Kniegelenks verhindern, schon im Modell eingebaut. Darüber hinaus gibt es aber auch weitere Eigenschaften und Einschränkungen, die verschiedene Lösungen mehr oder weniger nützlich erscheinen lassen.
Aus mathematischer Sicht sind die Eigenschaften der Zielfunktion, die in der Optimierung betrachtet wird, sehr interessant: Diese sind oft nur stückweise differenzierbar, was aber bei der Differenzenquotienten keine Probleme macht- außer es tritt ein Pol auf. Mit der Berechenbarkeit von Ableitungen stehen sehr effiziente Gradienten-basierte Optimierungsverfahren zur Verfügung, jedoch ist die Zielfunktion nicht ableitbar, so werden die erwünschten Konvergenzeigenschaften eventuell nicht erreicht.
Ebenso interessant ist der Bereich der numerischen Integration, da auch hier Schwierigkeiten bei geringer Ableitbarkeit der Integranden auftreten können: Effiziente Verfahren höherer Ordnung werden nur dann schneller zum Ergebnis führen, wenn es stückweise höhere Ableitungen der Funktionen gibt, die auch beschränkt bleiben. Ebenso gibt es die Frage der Schrittweite oder der Diskretisierung in der numerischen Differenziation.
Diese Fragestellungen führen auf das Gebiet der numerischen Stabilität: Hier stellt man sich nicht die Frage, ob der Roboter steht, sondern ob überhaupt ein Ergebnis berechenbar oder das Berechnete glaubhaft oder mit mehr Rechenkapazität überhaupt genauer berechnet werden kann.
Literatur und Zusatzinformationen
E. Westervelt, J. Grizzle, C. Chevallereau, J. Choi, B. Morris: Feedback control of dynamic bipedal robot locomotion, CRC press, 2007.
F. Bauer: Optimierung der Energieeffizienz zweibeiniger Roboter durch elastische Kopplungen, KIT Scientific Publishing, 2014.
Die Bewegungsabläufe sind jedoch nicht durch analytisches Lösen der Differentialgleichungen des Modells zu bestimmen, hier wurden verschiedene Ansätze ausgetestet, die dann mittels mathematischer Optimierung auf einen möglichst geringen Energieverbrauch verbessert werden. Dabei sind viele physikalische Randbedingungen, wie der Position des Bodens, und technische Bedingungen, die beispielsweise das Umknicken des Kniegelenks verhindern, schon im Modell eingebaut. Darüber hinaus gibt es aber auch weitere Eigenschaften und Einschränkungen, die verschiedene Lösungen mehr oder weniger nützlich erscheinen lassen.
Aus mathematischer Sicht sind die Eigenschaften der Zielfunktion, die in der Optimierung betrachtet wird, sehr interessant: Diese sind oft nur stückweise differenzierbar, was aber bei der Differenzenquotienten keine Probleme macht- außer es tritt ein Pol auf. Mit der Berechenbarkeit von Ableitungen stehen sehr effiziente Gradienten-basierte Optimierungsverfahren zur Verfügung, jedoch ist die Zielfunktion nicht ableitbar, so werden die erwünschten Konvergenzeigenschaften eventuell nicht erreicht.
Ebenso interessant ist der Bereich der numerischen Integration, da auch hier Schwierigkeiten bei geringer Ableitbarkeit der Integranden auftreten können: Effiziente Verfahren höherer Ordnung werden nur dann schneller zum Ergebnis führen, wenn es stückweise höhere Ableitungen der Funktionen gibt, die auch beschränkt bleiben. Ebenso gibt es die Frage der Schrittweite oder der Diskretisierung in der numerischen Differenziation.
Diese Fragestellungen führen auf das Gebiet der numerischen Stabilität: Hier stellt man sich nicht die Frage, ob der Roboter steht, sondern ob überhaupt ein Ergebnis berechenbar oder das Berechnete glaubhaft oder mit mehr Rechenkapazität überhaupt genauer berechnet werden kann.
Literatur und Zusatzinformationen
E. Westervelt, J. Grizzle, C. Chevallereau, J. Choi, B. Morris: Feedback control of dynamic bipedal robot locomotion, CRC press, 2007.
F. Bauer: Optimierung der Energieeffizienz zweibeiniger Roboter durch elastische Kopplungen, KIT Scientific Publishing, 2014.
41 Minuten
Prof. Francisco Sayas from the Department of Mathematical Sciences of the University of Delaware in Newark has been visiting our faculty in June 2015. He is an expert in the simulation of scattering of transient acoustic waves.
Scattering is a phenomenon in the propagation of waves. An interesting example from our everyday experience is when sound waves hit obstacles the wave field gets distorted. So, in a way, we can "hear" the obstacle.
Sound waves are scalar, namely, changes in pressure. Other wave types scatter as well but can have a more complex structure. For example, seismic waves are elastic waves and travel at two different speeds as primary and secondary waves.
As mathematician, one can abandon the application completely and say a wave is defined as a solution of a Wave Equation. Hereby, we also mean finding these solution in different appropriate function spaces (which represent certain properties of the class of solutions), but it is a very global look onto different wave properties and gives a general idea about waves. The equations are treated as an entity of their own right. Only later in the process it makes sense to compare the results with experiments and to decide if the equations fit or are too simplified.
Prof. Sayas startet out in a "save elliptic world" with well-established and classical theories such as the mapping property between data and solutions. But for the study of wave equations, today there is no classical or standard method, but very many different tools are used to find different types of results, such as the preservation of energy. Sometimes it is obvious, that the results cannot be optimal (or sharp) if e.g. properties like convexity of obstacles do not play any role in getting results. And many questions are still wide open. Also, the numerical methods must be well designed.
Up to now, transient waves are the most challenging and interesting problem for Prof. Sayas. They include all frequencies and propagate in time. So it is difficult to find the correct speed of propagation and also dispersion enters the configuration. On the one hand, the existence and regularity together with other properties of solutions have to be shown, but on the other hand, it is necessary to calculate the propagation process for simulations - i.e. the solutions - numerically.
There are many different numerical schemes for bounded domains. Prof. Sayas prefers FEM and combines them with boundary integral equations as representative for the outer domain effects. The big advantage of the boundary integral representation is that it is physical correct but unfortunately, it is very complicated and all points on the boundary are interconnected.
Finite Elements fit well to a black box approach which leads to its popularity among engineers. The regularity of the boundary can be really low if one chooses Galerkin methods. The combination of both tools is a bit tricky since the solver for the Wave Equations needs data on the boundary which it has to get from the Boundary element code and vice versa. Through this coupling it is already clear that in the coding the integration of the different tools is an important part and has to be done in a way that all users of the code which will improve it in the future can understand what is happening.
Prof. Sayas is fascinated by his research field. This is also due to its educational aspect: the challenging mathematics, the set of tools still mainly unclear together with the intensive computational part of his work. The area is still wide open and one has to explain mathematics to other people interested in the results.
In his carreer he started out with studying Finite Elements at the University in Zaragoza and worked on boundary elements with his PhD-supervisor from France. After some time he was looking for a challenging new topic and found his field in which he can combine both fields. He has worked three years at the University of Minnesota (2007-2010) and decided to find his future at a University in the U.S.. In this way he arrived at the University of Delaware and is very satisfied with the opportunities in his field of research and the chances for young researchers.
Literature and additional material
deltaBEM - Easy to Implement Boundary Integral Equations, open source software developed by Team Pancho at the Department of Mathematical Sciences in Delaware.
A. R. Laliena, F. J. Sayas: Theoretical aspects of the application of convolution quadrature to scattering of acoustic waves, Numerische Mathematik, 112(4), 637-678, 2009.
F. J. Sayas: Energy estimates for Galerkin semidiscretizations of time domain boundary integral equations, Numerische Mathematik, 124(1), 121-149, 2013.
Modellansatz Podcast 003: Unsichtbarkeit (in German)
Scattering is a phenomenon in the propagation of waves. An interesting example from our everyday experience is when sound waves hit obstacles the wave field gets distorted. So, in a way, we can "hear" the obstacle.
Sound waves are scalar, namely, changes in pressure. Other wave types scatter as well but can have a more complex structure. For example, seismic waves are elastic waves and travel at two different speeds as primary and secondary waves.
As mathematician, one can abandon the application completely and say a wave is defined as a solution of a Wave Equation. Hereby, we also mean finding these solution in different appropriate function spaces (which represent certain properties of the class of solutions), but it is a very global look onto different wave properties and gives a general idea about waves. The equations are treated as an entity of their own right. Only later in the process it makes sense to compare the results with experiments and to decide if the equations fit or are too simplified.
Prof. Sayas startet out in a "save elliptic world" with well-established and classical theories such as the mapping property between data and solutions. But for the study of wave equations, today there is no classical or standard method, but very many different tools are used to find different types of results, such as the preservation of energy. Sometimes it is obvious, that the results cannot be optimal (or sharp) if e.g. properties like convexity of obstacles do not play any role in getting results. And many questions are still wide open. Also, the numerical methods must be well designed.
Up to now, transient waves are the most challenging and interesting problem for Prof. Sayas. They include all frequencies and propagate in time. So it is difficult to find the correct speed of propagation and also dispersion enters the configuration. On the one hand, the existence and regularity together with other properties of solutions have to be shown, but on the other hand, it is necessary to calculate the propagation process for simulations - i.e. the solutions - numerically.
There are many different numerical schemes for bounded domains. Prof. Sayas prefers FEM and combines them with boundary integral equations as representative for the outer domain effects. The big advantage of the boundary integral representation is that it is physical correct but unfortunately, it is very complicated and all points on the boundary are interconnected.
Finite Elements fit well to a black box approach which leads to its popularity among engineers. The regularity of the boundary can be really low if one chooses Galerkin methods. The combination of both tools is a bit tricky since the solver for the Wave Equations needs data on the boundary which it has to get from the Boundary element code and vice versa. Through this coupling it is already clear that in the coding the integration of the different tools is an important part and has to be done in a way that all users of the code which will improve it in the future can understand what is happening.
Prof. Sayas is fascinated by his research field. This is also due to its educational aspect: the challenging mathematics, the set of tools still mainly unclear together with the intensive computational part of his work. The area is still wide open and one has to explain mathematics to other people interested in the results.
In his carreer he started out with studying Finite Elements at the University in Zaragoza and worked on boundary elements with his PhD-supervisor from France. After some time he was looking for a challenging new topic and found his field in which he can combine both fields. He has worked three years at the University of Minnesota (2007-2010) and decided to find his future at a University in the U.S.. In this way he arrived at the University of Delaware and is very satisfied with the opportunities in his field of research and the chances for young researchers.
Literature and additional material
deltaBEM - Easy to Implement Boundary Integral Equations, open source software developed by Team Pancho at the Department of Mathematical Sciences in Delaware.
A. R. Laliena, F. J. Sayas: Theoretical aspects of the application of convolution quadrature to scattering of acoustic waves, Numerische Mathematik, 112(4), 637-678, 2009.
F. J. Sayas: Energy estimates for Galerkin semidiscretizations of time domain boundary integral equations, Numerische Mathematik, 124(1), 121-149, 2013.
Modellansatz Podcast 003: Unsichtbarkeit (in German)
1 Stunde 40 Minuten
Seit 2002 veranstaltet der Entropia e.V. in Karlsruhe jährlich die Gulaschprogrammiernacht, das ist ein mehrtägiger Kongress, wo Nerds, Häcksen und Maker ihre Projekte vorstellen, Erfahrungen austauschen und Vorträgen lauschen. Die GPN15 fand Anfang Juni 2015 im ZKM und der HfG Karlsruhe statt. Hier hat Marius Musch in einem Vortrag eine Einführung in die Steganographie gegeben, und spricht nun mit Sebastian Ritterbusch im Podcast.
Bei der Steganographie geht es darum, eine geheime Nachricht so zu versenden, dass niemand außer dem gewünschten Empfänger die Existenz dieser Nachricht überhaupt vermutet. Der Begriff kommt aus dem griechischen und bedeutet in etwa "geheimes Schreiben". So wurden schon in der Antike erste simple Formen der Steganographie verwendet. Statt wie üblich die Nachricht in der Wachs auf einer Wachstafel zu kratzen, wurde die geheime Nachricht in das Holz darunter geritzt und wieder Wachs darüber gegossen. Anschließend konnte eine harmlose Nachricht in das Wachs geschrieben werden und die geheime Nachricht war verdeckt darunter.
Mit der Zeit wurden die Verfahren dann raffinierter, so wurde im Zweiten Weltkrieg aus einem japanischen Kriegsgefangenenlager eine scheinbar harmlose Postkarte verschickt. Liest man aber nur die ersten beiden Wörter jeder Zeile ergibt sich ein völlig neues Bild und es werden die Truppenverluste der Amerikaner kommuniziert. In in einem anderen Fall vereitelte amerikanische Kriegsgefangene Jeremiah Denton die Propagandaversuche in Vietnam während des Kalten Krieges. Während eines TV-Interviews blinzelte er wiederholt das Wort T-O-R-T-U-R-E in Morsecode.
In der heutigen Zeit ist es natürlich naheliegend die Steganographie in der digitalen statt der analogen Welt einzusetzen. So kann man zum Beispiel schon in (Plain-)Text eine geheime Nachricht verstecken. Viele Texteditoren zeigen standardmäßig Leerzeichen und Tabs am Zeilenende (trailing whitespace) nicht an. Dies macht sich das Tool SNOW (steganographic nature of whitespace) zu nutze, um geheime Nachrichten zu verstecken, oder man schreibt gleich komplette Programme in der etwas verrückten Programmiersprache Whitespace.
Deutlich verbreiteter und effektiver ist es aber als Tarn-Medium (das so genannter Cover) ein Bild zu nehmen. Bilder haben viele nützliche Eigenschaften, insbesondere dass geringe Änderungen für das menschliche Auge unsichtbar bleiben. Aber auch ihre Größe ist vorteilhaft da ein Bild leicht um den Faktor 1000 größer ist, als die darin zu versteckende Nachricht.
Bei einem Grauwertbild wird typischerweise ein Byte pro Pixel verwendet, also die Helligkeit jedes Bildpunktes wird durch einen Wert zwischen 0 für Schwarz und 255 für Weiß repräsentiert. Dieses Byte besteht wiederum aus 8 Bits, zum Beispiel der Folge 11110000 für den Wert 120. In der Steganographie kann man sich zu Nutze machen, dass das hinterste Bit (least significant bit) nur sehr wenig zum eigentlichen Farbwert beträgt. Es entscheidet nur ob die Zahl gerade oder ungerade ist und wenn der Wert geändert wird, fällt einem Menschen dieser geringe Helligkeitsunterschied gar nicht auf. Somit kann man nun seine geheime Nachricht von den ASCII-Werten in Binärzahlen konvertieren und anschließend in den least significant Bits (LSBs) einbetten. Man braucht also 8 Pixel pro Buchstabe. Weitere Verfahren gibt es auf Basis spezieller Eigenschaften von Datenformaten wie GIF, PNG oder JPEG.
Bei der Steganographie gibt es aber auch einiges zu beachten. Besonders wichtig ist es die Nachricht vor dem Einbetten zu verschlüsseln. Zum einen kann uns ein Angreifer, der das Verfahren kennt und die Nachricht extrahiert, sie trotzdem nicht lesen. Zum anderen lässt sich ein gut verschlüsselter Ciphertext nicht von echtem Zufall unterscheiden, um Angriffe zu erschweren. Hat man aber Zugriff auf das Orginalbild, so wird der Unterschied und damit die Nachricht offensichtlich- hier sind besonders umgekehrte Bildersuchen hilfreich.
Im realen Einsatz sind meist Wasserzeichen, die Verfahren der Steganographie verwenden. Anders als bei der Steganographie, wo das Cover völlig irrelevant für die geheime Nachricht war, bezieht sich bei den Wasserzeichen die versteckte Nachricht auf das Cover. So bestätigt das Wasserzeichen auf einem Geldschein die Authentizität eben dieses Scheines. Es gibt aber auch Wasserzeichen die lange unbekannt waren. Zum Beispiel gibt es einige Drucker bekannter Hersteller, die in die ausgedruckten Seiten ein kaum sichtbares gelbes Punktemuster einbauen. In diesem Wasserzeichen steht sowohl das Datum des Druckes als auch die Seriennummer des Druckers. Auf Geldscheinen gibt es gelben Punkte in der EURion-Konstellation, die von Kopierern, Scannern und Software erkannt werden. Aber auch Spieler von Onlinerollenspielen wie World of Warcraft sind vor Wasserzeichen nicht sicher. So wurde 2012 in einem Forum bemerkt, dass die Screenshots aus dem Spiel per Wasserzeichen den Accountname und die Server-IP des Spielers beinhalten.
Allerdings hinterlässt die Steganographie auch immer zwangsweise ihre Spuren, da das Bild manipuliert werden muss. Um die oben beschriebene LSB-Methode durch eine Steganalyse zu erkennen, reicht es sich das Histogramm des Bildes anzuschauen, denn durch das Verfahren ergeben sich treppenartige Abstufungen. Dies wiederum versucht das Tool Outguess zu vermeiden, indem es die LSB Änderungen geschickt über die Datei verteilt und das Histogramm unauffällig bleibt. Beliebte Angriffsmethoden sind auch die Autokorrelation und die FFT über das Wiener-Chintschin-Theorem, womit eine sehr effiziente Berechnung möglich wird.
Das aktuelle Folgenbild des Podcasts zeigt ein Bild mit steganographisch versteckter Nachricht, das Marius für einen Capture the Flag-Wettbewerb auf der GPN14 im letzten Jahr erstellt hatte und jetzt erklärt.
Auch auf der GPN15 gab es dieses Jahr wieder einen Capture the Flag Wettbewerb, veranstaltet von den Squareroots aus Mannheim und KITCTF aus Karlsruhe. Auch dieses Jahr lag der Fokus auf IT-Sicherheit: Die teilnehmenden Teams erhalten eine virtuelle Maschine (Vulnbox) mit mehreren verwundbaren Diensten, die sie analysizeren, die Ausnutzbarkeit prüfen und letztlich absichern sollen. Ein zentraler Gameserver verteilt sogenannte Flaggen an alle Teams, das sind lange zufällige Zeichenketten. Diese Flaggen gilt es zu verteidigen und durch Finden und Ausnutzen von Sicherheitslücken in den Diensten der anderen Teams zu stehlen und für Punkte beim Veranstalter einzureichen.
Beim CTF auf der GPN15 gab es 11 teilnehmende Teams, die sich über einen Zeitraum von 5 1/2 Stunden insgesamt 7600 Flaggen gestohlen haben. Wer mehr über CTFs erfahren möchte, sollte insbesondere den CTF Field Guide lesen. Eine Übersicht über anstehende Veranstaltungen und die verschiedenen Teams findet man unter CTF Time.
Literatur und Zusatzinformationen
N. F. Johnson, J. Sushil: Exploring steganography, Computer 31.2,: 26-34, 1998.
I. Cox, M. Miller, J. Bloom, J. Fridrich, T. Kalker: Digital watermarking and steganography, Morgan Kaufmann, 2007.
M. Musch: Seeing the unseen, Vortrag auf der GPN15, 2015.
Bei der Steganographie geht es darum, eine geheime Nachricht so zu versenden, dass niemand außer dem gewünschten Empfänger die Existenz dieser Nachricht überhaupt vermutet. Der Begriff kommt aus dem griechischen und bedeutet in etwa "geheimes Schreiben". So wurden schon in der Antike erste simple Formen der Steganographie verwendet. Statt wie üblich die Nachricht in der Wachs auf einer Wachstafel zu kratzen, wurde die geheime Nachricht in das Holz darunter geritzt und wieder Wachs darüber gegossen. Anschließend konnte eine harmlose Nachricht in das Wachs geschrieben werden und die geheime Nachricht war verdeckt darunter.
Mit der Zeit wurden die Verfahren dann raffinierter, so wurde im Zweiten Weltkrieg aus einem japanischen Kriegsgefangenenlager eine scheinbar harmlose Postkarte verschickt. Liest man aber nur die ersten beiden Wörter jeder Zeile ergibt sich ein völlig neues Bild und es werden die Truppenverluste der Amerikaner kommuniziert. In in einem anderen Fall vereitelte amerikanische Kriegsgefangene Jeremiah Denton die Propagandaversuche in Vietnam während des Kalten Krieges. Während eines TV-Interviews blinzelte er wiederholt das Wort T-O-R-T-U-R-E in Morsecode.
In der heutigen Zeit ist es natürlich naheliegend die Steganographie in der digitalen statt der analogen Welt einzusetzen. So kann man zum Beispiel schon in (Plain-)Text eine geheime Nachricht verstecken. Viele Texteditoren zeigen standardmäßig Leerzeichen und Tabs am Zeilenende (trailing whitespace) nicht an. Dies macht sich das Tool SNOW (steganographic nature of whitespace) zu nutze, um geheime Nachrichten zu verstecken, oder man schreibt gleich komplette Programme in der etwas verrückten Programmiersprache Whitespace.
Deutlich verbreiteter und effektiver ist es aber als Tarn-Medium (das so genannter Cover) ein Bild zu nehmen. Bilder haben viele nützliche Eigenschaften, insbesondere dass geringe Änderungen für das menschliche Auge unsichtbar bleiben. Aber auch ihre Größe ist vorteilhaft da ein Bild leicht um den Faktor 1000 größer ist, als die darin zu versteckende Nachricht.
Bei einem Grauwertbild wird typischerweise ein Byte pro Pixel verwendet, also die Helligkeit jedes Bildpunktes wird durch einen Wert zwischen 0 für Schwarz und 255 für Weiß repräsentiert. Dieses Byte besteht wiederum aus 8 Bits, zum Beispiel der Folge 11110000 für den Wert 120. In der Steganographie kann man sich zu Nutze machen, dass das hinterste Bit (least significant bit) nur sehr wenig zum eigentlichen Farbwert beträgt. Es entscheidet nur ob die Zahl gerade oder ungerade ist und wenn der Wert geändert wird, fällt einem Menschen dieser geringe Helligkeitsunterschied gar nicht auf. Somit kann man nun seine geheime Nachricht von den ASCII-Werten in Binärzahlen konvertieren und anschließend in den least significant Bits (LSBs) einbetten. Man braucht also 8 Pixel pro Buchstabe. Weitere Verfahren gibt es auf Basis spezieller Eigenschaften von Datenformaten wie GIF, PNG oder JPEG.
Bei der Steganographie gibt es aber auch einiges zu beachten. Besonders wichtig ist es die Nachricht vor dem Einbetten zu verschlüsseln. Zum einen kann uns ein Angreifer, der das Verfahren kennt und die Nachricht extrahiert, sie trotzdem nicht lesen. Zum anderen lässt sich ein gut verschlüsselter Ciphertext nicht von echtem Zufall unterscheiden, um Angriffe zu erschweren. Hat man aber Zugriff auf das Orginalbild, so wird der Unterschied und damit die Nachricht offensichtlich- hier sind besonders umgekehrte Bildersuchen hilfreich.
Im realen Einsatz sind meist Wasserzeichen, die Verfahren der Steganographie verwenden. Anders als bei der Steganographie, wo das Cover völlig irrelevant für die geheime Nachricht war, bezieht sich bei den Wasserzeichen die versteckte Nachricht auf das Cover. So bestätigt das Wasserzeichen auf einem Geldschein die Authentizität eben dieses Scheines. Es gibt aber auch Wasserzeichen die lange unbekannt waren. Zum Beispiel gibt es einige Drucker bekannter Hersteller, die in die ausgedruckten Seiten ein kaum sichtbares gelbes Punktemuster einbauen. In diesem Wasserzeichen steht sowohl das Datum des Druckes als auch die Seriennummer des Druckers. Auf Geldscheinen gibt es gelben Punkte in der EURion-Konstellation, die von Kopierern, Scannern und Software erkannt werden. Aber auch Spieler von Onlinerollenspielen wie World of Warcraft sind vor Wasserzeichen nicht sicher. So wurde 2012 in einem Forum bemerkt, dass die Screenshots aus dem Spiel per Wasserzeichen den Accountname und die Server-IP des Spielers beinhalten.
Allerdings hinterlässt die Steganographie auch immer zwangsweise ihre Spuren, da das Bild manipuliert werden muss. Um die oben beschriebene LSB-Methode durch eine Steganalyse zu erkennen, reicht es sich das Histogramm des Bildes anzuschauen, denn durch das Verfahren ergeben sich treppenartige Abstufungen. Dies wiederum versucht das Tool Outguess zu vermeiden, indem es die LSB Änderungen geschickt über die Datei verteilt und das Histogramm unauffällig bleibt. Beliebte Angriffsmethoden sind auch die Autokorrelation und die FFT über das Wiener-Chintschin-Theorem, womit eine sehr effiziente Berechnung möglich wird.
Das aktuelle Folgenbild des Podcasts zeigt ein Bild mit steganographisch versteckter Nachricht, das Marius für einen Capture the Flag-Wettbewerb auf der GPN14 im letzten Jahr erstellt hatte und jetzt erklärt.
Auch auf der GPN15 gab es dieses Jahr wieder einen Capture the Flag Wettbewerb, veranstaltet von den Squareroots aus Mannheim und KITCTF aus Karlsruhe. Auch dieses Jahr lag der Fokus auf IT-Sicherheit: Die teilnehmenden Teams erhalten eine virtuelle Maschine (Vulnbox) mit mehreren verwundbaren Diensten, die sie analysizeren, die Ausnutzbarkeit prüfen und letztlich absichern sollen. Ein zentraler Gameserver verteilt sogenannte Flaggen an alle Teams, das sind lange zufällige Zeichenketten. Diese Flaggen gilt es zu verteidigen und durch Finden und Ausnutzen von Sicherheitslücken in den Diensten der anderen Teams zu stehlen und für Punkte beim Veranstalter einzureichen.
Beim CTF auf der GPN15 gab es 11 teilnehmende Teams, die sich über einen Zeitraum von 5 1/2 Stunden insgesamt 7600 Flaggen gestohlen haben. Wer mehr über CTFs erfahren möchte, sollte insbesondere den CTF Field Guide lesen. Eine Übersicht über anstehende Veranstaltungen und die verschiedenen Teams findet man unter CTF Time.
Literatur und Zusatzinformationen
N. F. Johnson, J. Sushil: Exploring steganography, Computer 31.2,: 26-34, 1998.
I. Cox, M. Miller, J. Bloom, J. Fridrich, T. Kalker: Digital watermarking and steganography, Morgan Kaufmann, 2007.
M. Musch: Seeing the unseen, Vortrag auf der GPN15, 2015.
2 Stunden 2 Minuten
Seit 2002 veranstaltet der Entropia e.V. in Karlsruhe jährlich die Gulaschprogrammiernacht, das ist ein mehrtägiger Kongress, wo Nerds, Häcksen und Maker ihre Projekte vorstellen, Erfahrungen austauschen und Vorträgen lauschen. Die GPN15 fand Anfang Juni 2015 im ZKM und der HfG Karlsruhe statt, und zog diesmal auch Mathe-Begeisterte an: Florian Gilges ist mit dem Life Science Lab als Schüler nach Karlsruhe gekommen, und will unter anderem Näherungen an die Kreiszahl π effizient berechnen. Dazu baut er sich einen eigenen Computer. Im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch erklärt er uns, wie er dazu logische Gatter aus rotem Erz baut.
Zunächst ist die Kreiszahl π (Pi) als das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines beliebigen Kreises definiert und ermöglicht uns mit der Formel A=πr2 auch aus dem Radius r die Fläche A eines Kreises zu berechnen. Da Pi jedoch eine sogenannte irrationale und transzendente Zahl ist (d.h. dass nach dem Komma unendlich viele Stellen folgen, die keine Wiederholung aufweisen), lässt sich der Wert nie exakt angeben.
Um nun eine Näherung für Pi zu berechnen, lassen sich verschiedene Verfahren verwenden: Ein Kreis wird gezeichnet und Umfang und Durchmesser gemessen, das Verhältnis ist dann eine Näherung an Pi. Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung durch eine Winkelfunktion: Der Arkustangens hat bei 1 den Wert π/4. Nimmt man also die Taylorentwicklung des Arkustangens mit x=1 und multipliziert mit 4, erhält man Pi. Neben der (von der Konvergenzgeschwindigkeit) relativ ineffizienten Taylor-Reihe gibt es noch viele weitere Verfahren, die ebenfalls Pi annähern.
Die Berechnung will Florian in Minecraft durchführen, und baut sich dafür einen Rechner innerhalb dieses Spiels. Aber wie kann ein einfaches Spiel so etwas bieten? Schließlich ist Minecraft nur eine Nachahmung unserer Welt mit ganz natürlichen Ressourcen. So bietet eine Minecraft-Welt verschiedene Vegetations- und Klimazonen und verschieden Landschaften und Umgebungen, wie z.B. Laubwälder, Nadelwälder, Steppen, Wüsten, Schneegebiete, uvm. Es gibt jedoch auch Stoffe, die es in unserer Welt nicht gibt: Einer davon ist Redstone. Dieser besondere Stoff kann in Höhlen tief unter der Erde als Erz gefunden werden und gibt abgebaut ein Pulver, das ähnliche Eigenschaften, wie elektrische Leitungen hat.
Aus Redstone-Pulver und weiteren Materialien, die man in der Welt findet, lassen sich Logikelemente bauen: Inverter, Verstärker, Verzögerer und Vergleicher. Diese Basiselemente können vom Spieler in die Welt gebaut und zu großen Schaltungen zusammengesetzt werden. Angefangen bei einfachen Speichern und Signalstärkespeichern (Redstone-Energie hat 16 Stufen von 0 bis 15), bis hin zu Logikgattern, wie UND-Gatter, XOR-Gatter und Flip-Flops. Kurzum lassen sich mit den Basiselementen alle Komponenten für einen Computer zusammenstellen, aber auch einfachere Dinge, wie Code-Schlösser und Tür-Steuerungen sind möglich.
Doch so einfach, wie es nun erscheint, ist es nicht, denn jedes Basiselement hat eine Verzögerung von mindestens einer Zehntel- bis vier Zehntelsekunden. Das bedeutet, dass der Computer sehr langsam wird und Berechnungen sehr aufwendig werden. Deshalb ist Optimierung sehr wichtig, indem an jeder Stelle die Bauteile effizienter gemacht werden und die Mathematik zur Berechung ebenfalls (für den Computer) effizienter gestaltet wird. Hier konnte Florian das XOR-Gatter und den Programm-Zähler aus Halbaddierern und Volladdierern durch intelligente Kniffe deutlich beschleunigen. Eine weitere Möglichkeit besteht auch in der Nutzung von redundanten Binärdarstellungen, die bei einer großen Anzahl von Additionen große Geschwindigkeitsvorteile bringen können.
Neben der Optimierung der Hardware ist auch die Optimierung der Software wichtig, was zur Mathematik zurückführt: Berechnungen wie Multiplikationen, Potenzen oder Wurzeln sind auf Logikebene komplizierte Operationen, auch wenn unsere Taschenrechner die Aufgaben in Sekundenbruchteilen lösen. Der einfachste Weg für die Multiplikation ist, dass man eine Additionskette bildet: 3·4=3+3+3+3=4+4+4. Führt man dieses Verfahren mit größeren Zahlen durch, wächst der Aufwand linear. Ein anderes Verfahren ist die schriftliche Multiplikation, aber es geht noch effizienter: Die Russische Bauernmultiplikation. Mit etwas Übung lassen sich so, wenn gerade kein Taschenrechner da ist, auch große Zahlen multiplizieren. Für den Computer sind jedoch beide Verfahren durch das Binärsystem äquivalent.
Komplizierter sind dann schon Wurzeln. Diese lassen sich nicht so leicht berechnen, wie eine Addition oder Multiplikation. Ein mögliches Näherungsverfahren ist das Heron-Verfahren. Es gibt jedoch auch das schriftliche Wurzelziehen, das im Binärsystem leicht zu implementieren ist. Florian hat sich diese Techniken aus Videos wie dem Youtube-Kanal Schoolseasy selbst angelernt.
Zunächst ist die Kreiszahl π (Pi) als das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines beliebigen Kreises definiert und ermöglicht uns mit der Formel A=πr2 auch aus dem Radius r die Fläche A eines Kreises zu berechnen. Da Pi jedoch eine sogenannte irrationale und transzendente Zahl ist (d.h. dass nach dem Komma unendlich viele Stellen folgen, die keine Wiederholung aufweisen), lässt sich der Wert nie exakt angeben.
Um nun eine Näherung für Pi zu berechnen, lassen sich verschiedene Verfahren verwenden: Ein Kreis wird gezeichnet und Umfang und Durchmesser gemessen, das Verhältnis ist dann eine Näherung an Pi. Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung durch eine Winkelfunktion: Der Arkustangens hat bei 1 den Wert π/4. Nimmt man also die Taylorentwicklung des Arkustangens mit x=1 und multipliziert mit 4, erhält man Pi. Neben der (von der Konvergenzgeschwindigkeit) relativ ineffizienten Taylor-Reihe gibt es noch viele weitere Verfahren, die ebenfalls Pi annähern.
Die Berechnung will Florian in Minecraft durchführen, und baut sich dafür einen Rechner innerhalb dieses Spiels. Aber wie kann ein einfaches Spiel so etwas bieten? Schließlich ist Minecraft nur eine Nachahmung unserer Welt mit ganz natürlichen Ressourcen. So bietet eine Minecraft-Welt verschiedene Vegetations- und Klimazonen und verschieden Landschaften und Umgebungen, wie z.B. Laubwälder, Nadelwälder, Steppen, Wüsten, Schneegebiete, uvm. Es gibt jedoch auch Stoffe, die es in unserer Welt nicht gibt: Einer davon ist Redstone. Dieser besondere Stoff kann in Höhlen tief unter der Erde als Erz gefunden werden und gibt abgebaut ein Pulver, das ähnliche Eigenschaften, wie elektrische Leitungen hat.
Aus Redstone-Pulver und weiteren Materialien, die man in der Welt findet, lassen sich Logikelemente bauen: Inverter, Verstärker, Verzögerer und Vergleicher. Diese Basiselemente können vom Spieler in die Welt gebaut und zu großen Schaltungen zusammengesetzt werden. Angefangen bei einfachen Speichern und Signalstärkespeichern (Redstone-Energie hat 16 Stufen von 0 bis 15), bis hin zu Logikgattern, wie UND-Gatter, XOR-Gatter und Flip-Flops. Kurzum lassen sich mit den Basiselementen alle Komponenten für einen Computer zusammenstellen, aber auch einfachere Dinge, wie Code-Schlösser und Tür-Steuerungen sind möglich.
Doch so einfach, wie es nun erscheint, ist es nicht, denn jedes Basiselement hat eine Verzögerung von mindestens einer Zehntel- bis vier Zehntelsekunden. Das bedeutet, dass der Computer sehr langsam wird und Berechnungen sehr aufwendig werden. Deshalb ist Optimierung sehr wichtig, indem an jeder Stelle die Bauteile effizienter gemacht werden und die Mathematik zur Berechung ebenfalls (für den Computer) effizienter gestaltet wird. Hier konnte Florian das XOR-Gatter und den Programm-Zähler aus Halbaddierern und Volladdierern durch intelligente Kniffe deutlich beschleunigen. Eine weitere Möglichkeit besteht auch in der Nutzung von redundanten Binärdarstellungen, die bei einer großen Anzahl von Additionen große Geschwindigkeitsvorteile bringen können.
Neben der Optimierung der Hardware ist auch die Optimierung der Software wichtig, was zur Mathematik zurückführt: Berechnungen wie Multiplikationen, Potenzen oder Wurzeln sind auf Logikebene komplizierte Operationen, auch wenn unsere Taschenrechner die Aufgaben in Sekundenbruchteilen lösen. Der einfachste Weg für die Multiplikation ist, dass man eine Additionskette bildet: 3·4=3+3+3+3=4+4+4. Führt man dieses Verfahren mit größeren Zahlen durch, wächst der Aufwand linear. Ein anderes Verfahren ist die schriftliche Multiplikation, aber es geht noch effizienter: Die Russische Bauernmultiplikation. Mit etwas Übung lassen sich so, wenn gerade kein Taschenrechner da ist, auch große Zahlen multiplizieren. Für den Computer sind jedoch beide Verfahren durch das Binärsystem äquivalent.
Komplizierter sind dann schon Wurzeln. Diese lassen sich nicht so leicht berechnen, wie eine Addition oder Multiplikation. Ein mögliches Näherungsverfahren ist das Heron-Verfahren. Es gibt jedoch auch das schriftliche Wurzelziehen, das im Binärsystem leicht zu implementieren ist. Florian hat sich diese Techniken aus Videos wie dem Youtube-Kanal Schoolseasy selbst angelernt.
60 Minuten
Eine alte Fragestellung lautet, was die Summe der Kehrwerte aller natürlicher Zahlen ist. Mit anderen Worten: existiert der Grenzwert der Harmonischen Reihe ∑n=1∞1n? Die Antwort, die man im ersten Semester kennenlernen ist: Diese Reihe ist divergiert, der Wert ist nicht endlich. Über die spannenden Entwicklungen in der Zahlentheorie, die sich daraus ergaben, berichtet Fabian Januszewski im Gespräch mit Gudrun Thäter.
Eine verwandte Fragestellung zur harmonischen Reihe lautet: Wie steht es um den Wert von ∑n=1∞1n2? Diese Frage wurde im 17. Jahrhundert aufgeworfen und man wußte, daß der Wert dieser Reihe endlich ist. Allerdings kannte man den exakten Wert nicht. Diese Frage war als das sogannte Basel-Problem bekannt.
Eine ähnliche Reihe ist
∑n=1∞2n(n+1).
Ihr Wert läßt sich elementar bestimmen. Dies war lange bekannt, und das Basel-Problem war ungleich schwieriger: Es blieb fast einhundert Jahre lang ungelöst. Erst Leonhard Euler löste es 1741:
∑n=1∞1n2=π26.
Die Riemann'sche ζ-Funktion
Die Geschichte der L-Reihen beginnt bereits bei Leonhard Euler, welcher im 18. Jahrhundert im Kontext des Basel-Problems die Riemann'sche ζ-Funktion' ζ(s)=∑n=1∞n−s entdeckte und zeigte, dass sie der Produktformel ζ(s)=∏p11−p−s genügt, wobei p die Menge der Primzahlen durchläuft und s>1 eine reelle Variable ist. Diese Tatsache ist äquivalent zum Fundamentalsatz der Arithmetik: jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Eulers Lösung des Basel-Problems besagt, daß ζ(2)=π26 und diese Formel läßt sich auf alle geraden positiven Argumente verallgemeinern: ζ(2k)=(2πi)2k·(−B2k2(2k)!), wobei B2k∈Q× die 2k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.
Im 19. Jahrhundert zeigte Bernhard Riemann, dass die a priori nur für Re(s)>1,s∈C konvergente Reihe ζ(s) eine holomorphe Fortsetzung auf C−{1} besitzt, einer Funktionalgleichung der Form s1−s genügt und einen einfachen Pol mit Residuum 1 bei s=1 aufweist. Letztere Aussage spiegelt die Tatsache wieder, dass in Z jedes Ideal ein Hauptideal ist und ±1 die einzigen multiplikativ invertierbaren Elemente sind. Weiterhin weiß ζ(s) viel über die Verteilung von Primzahlen.
Setzen wir
Λ(s):=π−s/2Γ(s2)ζ(s),
dann zeigte Riemann, daß die so definierte vervollständigte Riemann'sche ζ-Funktion auf ganz C−{0,1} holomorph ist und der Funktionalgleichung Λ(s)=Λ(1−s) genügt. Da die Γ-Funktion Pole bei nicht-positiven ganzzahligen Argumenten besitzt, ergibt sich hieraus die Existenz und Lage der sogenannten "trivialen Nullstellen" von ζ(s): ζ(−2k)=0 für k≥1.
Konzeptionell sollte man sich den Faktor π−s/2Γ(s2) als Eulerfaktor bei ∞ vorstellen. John Tate zeigte in seiner berühmten Dissertation, daß dies tatsächlich sinnvoll ist: Die endlichen Eulerfaktoren werden von Tate als Integrale über Qp× interpretiert, und der "unendliche" Eulerfaktor ist ebenfalls durch ein entsprechendes Integral über R× gegeben. Er legte damit den Grundstein für weitreichende Verallgemeinerungen.
Die Riemann'sche ζ-Funktion ist der Prototyp einer L-Funktion, einem Begriff, der langsam Schritt für Schritt verallgemeinert wurde, zunächst von Richard Dedekind, Lejeune Dirichlet und Erich Hecke und weiter von Emil Artin, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands et al. L-Funktionen spielen in der modernen Zahlentheorie eine zentrale Rolle, und bis heute ranken sich fundamentale Vermutungen um diesen Begriff.
Selbst die Mysterien der Riemann'schen ζ-Funktion sind auch heute bei weitem nicht vollständig ergründet. Die berühmteste Vermutung in diesem Kontext ist die Riemann'sche Vermutung. Riemann zeigte 1859 nicht nur, daß die Riemann'sche ζ-Funktion eine holomorphe Fortsetzung auf C−{1} besitzt, sondern stellte auch einen engen Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Nullstellen von ζ(s) her. Eulers Produktenwicklung von ζ(s) für Re(s)>1 zeigt, dass stets ζ(s)≠ für Re(s)>1. Aus der Funktionalgleichung von ζ(s) ergibt sich, dass ζ(−k)=0 für natürliche Zahlen k>0. Die sind die sogenannten trivialen Nullstellen der ζ-Funktion. Riemann vermutete, dass sämtliche nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden Re(s)=12 liegen.
Euler bestimmte im wesentlichen die Werte ζ(2k) für positives k. Bis heute wissen wir sehr wenig über die Werte ζ(2k+1) an positiven ungeraden Argumenten. Ein Satz von Apéry besagt, daß ζ(3) irrational ist. Wir haben allerdings keine einfache Formel für diesen Funktionswert. Konzeptionell unterscheiden sich die ungeraden von den geraden positiven Argumenten darin, daß der in Λ(1−s) auftretende Faktor der Γ-Funktion für ungerades positives s dort einen Pol besitzt, was ebenfalls das Verschwinden von ζ(−2k) zur Folge hat.
Über die Werte an negativen ungeraden Argumenten wissen wir aus der Funktionalgleichung, daß ζ(1−2k)=−B2k2k∈Q×. Insbesondere gilt ζ(−1)=−112. Dieser Wert kann in gewissen Kontexten als Grenzwert (der divergierenden!) Reihe
1+2+3+⋯=∑n=1∞n1=∑n=1∞n−s|s=−1=ζ(−1)
interpretiert werden (formal ergeben diese Identitäten natürlich keinen Sinn). In gewissen Situationen ist der Funktionswert ζ(−1)=−112 ein sinnvoller endlicher Ersatz für den nicht existierenden Grenzwert der Reihe 1+2+3+⋯. Derartige Phänomene treten in Zahlentheorie an vielen Stellen auf.
Literatur und Zusatzinformationen
Haruzo Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, Cambridge University Press, 1993.
Jean-Pierre Serre, "Cours d'arithmétique", Presses Universitaires de France, 1970.
Goro Shimura, "Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions." Princeton University Press, 1971.
Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer Verlag, 1992.
André Weil, Basic Number Theory, Springer Verlag, 1973.
Podcast Modellansatz 036: Analysis und die Abschnittskontrolle
Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859
John T. Tate, "Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions", Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, 1950, S. 305–347.
Andrew Wiles, "Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 443–551.
Richard Taylor, Andrew Wiles, "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 553–572.
Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations", Journal of the American Mathematical Society 12, 1999, S. 521–567.
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises", Journal of the American Mathematical Society 14, 2001, S. 843–939.
Frobeniushomomorphismus
Galois-Darstellungen
Weil-Vermutungen
Standard-Vermutungen
Automorphe Formen
Das Langlands-Programm
Wikipedia: Automorphe L-Funktionen
Emil Artin, Über eine neue Art von L-Reihen, Abh. Math. Seminar Hamburg, 1923.
Armand Borel, "Automorphic L-functions", in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977), Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 27–61.
Robert P. Langlands, "Problems in the theory of automorphic forms", in "Lectures in modern analysis and applications III," Lecture Notes in Math 170, 1970, S. 18–61.
Robert P. Langlands, '"'Euler products", Yale University Press, 1971.
Wikipedia: Spezielle Werte von L-Funktionen
Pierre Deligne; "Valeurs de fonctions L et périodes d’intégrales." , in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977)'', Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 313–346.
Eine verwandte Fragestellung zur harmonischen Reihe lautet: Wie steht es um den Wert von ∑n=1∞1n2? Diese Frage wurde im 17. Jahrhundert aufgeworfen und man wußte, daß der Wert dieser Reihe endlich ist. Allerdings kannte man den exakten Wert nicht. Diese Frage war als das sogannte Basel-Problem bekannt.
Eine ähnliche Reihe ist
∑n=1∞2n(n+1).
Ihr Wert läßt sich elementar bestimmen. Dies war lange bekannt, und das Basel-Problem war ungleich schwieriger: Es blieb fast einhundert Jahre lang ungelöst. Erst Leonhard Euler löste es 1741:
∑n=1∞1n2=π26.
Die Riemann'sche ζ-Funktion
Die Geschichte der L-Reihen beginnt bereits bei Leonhard Euler, welcher im 18. Jahrhundert im Kontext des Basel-Problems die Riemann'sche ζ-Funktion' ζ(s)=∑n=1∞n−s entdeckte und zeigte, dass sie der Produktformel ζ(s)=∏p11−p−s genügt, wobei p die Menge der Primzahlen durchläuft und s>1 eine reelle Variable ist. Diese Tatsache ist äquivalent zum Fundamentalsatz der Arithmetik: jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Eulers Lösung des Basel-Problems besagt, daß ζ(2)=π26 und diese Formel läßt sich auf alle geraden positiven Argumente verallgemeinern: ζ(2k)=(2πi)2k·(−B2k2(2k)!), wobei B2k∈Q× die 2k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.
Im 19. Jahrhundert zeigte Bernhard Riemann, dass die a priori nur für Re(s)>1,s∈C konvergente Reihe ζ(s) eine holomorphe Fortsetzung auf C−{1} besitzt, einer Funktionalgleichung der Form s1−s genügt und einen einfachen Pol mit Residuum 1 bei s=1 aufweist. Letztere Aussage spiegelt die Tatsache wieder, dass in Z jedes Ideal ein Hauptideal ist und ±1 die einzigen multiplikativ invertierbaren Elemente sind. Weiterhin weiß ζ(s) viel über die Verteilung von Primzahlen.
Setzen wir
Λ(s):=π−s/2Γ(s2)ζ(s),
dann zeigte Riemann, daß die so definierte vervollständigte Riemann'sche ζ-Funktion auf ganz C−{0,1} holomorph ist und der Funktionalgleichung Λ(s)=Λ(1−s) genügt. Da die Γ-Funktion Pole bei nicht-positiven ganzzahligen Argumenten besitzt, ergibt sich hieraus die Existenz und Lage der sogenannten "trivialen Nullstellen" von ζ(s): ζ(−2k)=0 für k≥1.
Konzeptionell sollte man sich den Faktor π−s/2Γ(s2) als Eulerfaktor bei ∞ vorstellen. John Tate zeigte in seiner berühmten Dissertation, daß dies tatsächlich sinnvoll ist: Die endlichen Eulerfaktoren werden von Tate als Integrale über Qp× interpretiert, und der "unendliche" Eulerfaktor ist ebenfalls durch ein entsprechendes Integral über R× gegeben. Er legte damit den Grundstein für weitreichende Verallgemeinerungen.
Die Riemann'sche ζ-Funktion ist der Prototyp einer L-Funktion, einem Begriff, der langsam Schritt für Schritt verallgemeinert wurde, zunächst von Richard Dedekind, Lejeune Dirichlet und Erich Hecke und weiter von Emil Artin, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre und Robert Langlands et al. L-Funktionen spielen in der modernen Zahlentheorie eine zentrale Rolle, und bis heute ranken sich fundamentale Vermutungen um diesen Begriff.
Selbst die Mysterien der Riemann'schen ζ-Funktion sind auch heute bei weitem nicht vollständig ergründet. Die berühmteste Vermutung in diesem Kontext ist die Riemann'sche Vermutung. Riemann zeigte 1859 nicht nur, daß die Riemann'sche ζ-Funktion eine holomorphe Fortsetzung auf C−{1} besitzt, sondern stellte auch einen engen Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Nullstellen von ζ(s) her. Eulers Produktenwicklung von ζ(s) für Re(s)>1 zeigt, dass stets ζ(s)≠ für Re(s)>1. Aus der Funktionalgleichung von ζ(s) ergibt sich, dass ζ(−k)=0 für natürliche Zahlen k>0. Die sind die sogenannten trivialen Nullstellen der ζ-Funktion. Riemann vermutete, dass sämtliche nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden Re(s)=12 liegen.
Euler bestimmte im wesentlichen die Werte ζ(2k) für positives k. Bis heute wissen wir sehr wenig über die Werte ζ(2k+1) an positiven ungeraden Argumenten. Ein Satz von Apéry besagt, daß ζ(3) irrational ist. Wir haben allerdings keine einfache Formel für diesen Funktionswert. Konzeptionell unterscheiden sich die ungeraden von den geraden positiven Argumenten darin, daß der in Λ(1−s) auftretende Faktor der Γ-Funktion für ungerades positives s dort einen Pol besitzt, was ebenfalls das Verschwinden von ζ(−2k) zur Folge hat.
Über die Werte an negativen ungeraden Argumenten wissen wir aus der Funktionalgleichung, daß ζ(1−2k)=−B2k2k∈Q×. Insbesondere gilt ζ(−1)=−112. Dieser Wert kann in gewissen Kontexten als Grenzwert (der divergierenden!) Reihe
1+2+3+⋯=∑n=1∞n1=∑n=1∞n−s|s=−1=ζ(−1)
interpretiert werden (formal ergeben diese Identitäten natürlich keinen Sinn). In gewissen Situationen ist der Funktionswert ζ(−1)=−112 ein sinnvoller endlicher Ersatz für den nicht existierenden Grenzwert der Reihe 1+2+3+⋯. Derartige Phänomene treten in Zahlentheorie an vielen Stellen auf.
Literatur und Zusatzinformationen
Haruzo Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, Cambridge University Press, 1993.
Jean-Pierre Serre, "Cours d'arithmétique", Presses Universitaires de France, 1970.
Goro Shimura, "Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions." Princeton University Press, 1971.
Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer Verlag, 1992.
André Weil, Basic Number Theory, Springer Verlag, 1973.
Podcast Modellansatz 036: Analysis und die Abschnittskontrolle
Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859
John T. Tate, "Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions", Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, 1950, S. 305–347.
Andrew Wiles, "Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 443–551.
Richard Taylor, Andrew Wiles, "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras." Annals of Mathematics 142, 1995, S. 553–572.
Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations", Journal of the American Mathematical Society 12, 1999, S. 521–567.
Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, "On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises", Journal of the American Mathematical Society 14, 2001, S. 843–939.
Frobeniushomomorphismus
Galois-Darstellungen
Weil-Vermutungen
Standard-Vermutungen
Automorphe Formen
Das Langlands-Programm
Wikipedia: Automorphe L-Funktionen
Emil Artin, Über eine neue Art von L-Reihen, Abh. Math. Seminar Hamburg, 1923.
Armand Borel, "Automorphic L-functions", in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977), Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 27–61.
Robert P. Langlands, "Problems in the theory of automorphic forms", in "Lectures in modern analysis and applications III," Lecture Notes in Math 170, 1970, S. 18–61.
Robert P. Langlands, '"'Euler products", Yale University Press, 1971.
Wikipedia: Spezielle Werte von L-Funktionen
Pierre Deligne; "Valeurs de fonctions L et périodes d’intégrales." , in A. Borel, W. Casselman, "Automorphic forms, representations and L-functions" (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Oregon, 1977)'', Teil 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, American Mathematical Society, 1979, S. 313–346.
48 Minuten
Prof. Enrique Zuazua is a Distinguished Professor of Ikerbasque (Basque Foundation for Science) and Founding Scientific Director at the Basque Center for Applied Mathematics (BCAM), which he pushed into life in 2008.
He is also Professor in leave of Applied Mathematics at the Universidad Autónoma de Madrid (UAM) and a Humboldt Awardee at the University of Erlangen-Nuremberg (FAU) as well. He was invited by the PDE-group of our Faculty in Karlsruhe to join our work on Wave Phenomena for some days in May 2015.
In our conversation he admits that waves have been holding his interest since his work as a PhD student in Paris at the Université Pierre-et-Marie-Curie in the world famous group of Jacques-Louis Lions.
Indeed, waves are everywhere. They are visible in everything which vibrates and are an integral part of life itself. In our work as mathematician very often the task is to influence waves and vibrating structures like houses or antennae such that they remain stable. This leads to control problems like feedback control for elastic materials.
In these problems it is unavoidable to always have a look at the whole process. It starts with modelling the problem into equations, analysing these equations (existence, uniqueness and regularity of solutions and well-posedness of the problem), finding the right numerical schemes and validating the results against the process which has been modelled. Very often there is a large gap between the control in the discrete process and the numerical approximation of the model equations and some of these differences are explainable in the framework of the theory for hyperbolic partial differential equations and not down to numerical or calculation errors.
In the study of Prof. Zuazua the interaction between the numerical grid and the propagation of waves of different frequencies leads to very intuitive results which also provide clear guidelines what to do about the so-called spurious wave phenomena produced by high frequencies, an example of which is shown in this podcast episode image.
This is an inherent property of that sort of equations which are able to model the many variants of waves which exist. They are rich but also difficult to handle. This difficulty is visible in the number of results on existence, uniqueness and regularity which is tiny compared to elliptic and parabolic equations but also in the difficulty to find the right numerical schemes for them. On the other hand they have the big advantage that they are best suited for finding effective methods in massively parallel computers. Also there is a strong connection to so-called Inverse Problems on the theoretical side and through applications where the measurement of waves is used to find oil and water in the ground, e.g (see, e.g. our Podcast Modell004 on Oil Exploration).
Prof. Zuazua has a lot of experience in working together with engineers. His first joint project was shape optimization for airfoils. The geometric form and the waves around it interact in a lot of ways and on different levels. Also water management has a lot of interesting and open questions on which he is working with colleagues in Zaragoza. At the moment there is a strong collaboration with the group of Prof. Leugering in Erlangen which is invested in a Transregio research initiative on gasnets which is a fascinating topic ranging from our everyday expectations to have a reliable water and gas supply at home to the latest mathematical research on control. Of course, in working with engineers there is always a certain delay (in both directions) since the culture and the results and questions have to be translated and formulated in a relevant form between engineers and mathematicians.
In dealing with theses questions there are two main risks: Firstly, one finds wrong results which are obviously wrong and secondly wrong results which look right but are wrong nonetheless. Here it is the crucial role of mathematicians to have the right framework to find these errors.
Prof. Zuazua is a proud Basque. Of the 2.5 Mill. members of the basque people most are living in Spain with a minority status of their culture and language. But since the end of the Franco era this has been translated into special efforts to push culture and education in the region. In less than 40 years this transformed the society immensely and led to modern universities, relevant science and culture which grew out of "nothing". Now Spain and the Basque country have strong bonds to the part of Europe on the other side of the Pyrenees and especially with industry and research in Germany. The Basque university has several campuses and teaches 40.000 students. This success could be a good example how to extend our education system and provide possibilities for young people which is so much a part of our culture in Europe across the boundaries of our continent.
He is also Professor in leave of Applied Mathematics at the Universidad Autónoma de Madrid (UAM) and a Humboldt Awardee at the University of Erlangen-Nuremberg (FAU) as well. He was invited by the PDE-group of our Faculty in Karlsruhe to join our work on Wave Phenomena for some days in May 2015.
In our conversation he admits that waves have been holding his interest since his work as a PhD student in Paris at the Université Pierre-et-Marie-Curie in the world famous group of Jacques-Louis Lions.
Indeed, waves are everywhere. They are visible in everything which vibrates and are an integral part of life itself. In our work as mathematician very often the task is to influence waves and vibrating structures like houses or antennae such that they remain stable. This leads to control problems like feedback control for elastic materials.
In these problems it is unavoidable to always have a look at the whole process. It starts with modelling the problem into equations, analysing these equations (existence, uniqueness and regularity of solutions and well-posedness of the problem), finding the right numerical schemes and validating the results against the process which has been modelled. Very often there is a large gap between the control in the discrete process and the numerical approximation of the model equations and some of these differences are explainable in the framework of the theory for hyperbolic partial differential equations and not down to numerical or calculation errors.
In the study of Prof. Zuazua the interaction between the numerical grid and the propagation of waves of different frequencies leads to very intuitive results which also provide clear guidelines what to do about the so-called spurious wave phenomena produced by high frequencies, an example of which is shown in this podcast episode image.
This is an inherent property of that sort of equations which are able to model the many variants of waves which exist. They are rich but also difficult to handle. This difficulty is visible in the number of results on existence, uniqueness and regularity which is tiny compared to elliptic and parabolic equations but also in the difficulty to find the right numerical schemes for them. On the other hand they have the big advantage that they are best suited for finding effective methods in massively parallel computers. Also there is a strong connection to so-called Inverse Problems on the theoretical side and through applications where the measurement of waves is used to find oil and water in the ground, e.g (see, e.g. our Podcast Modell004 on Oil Exploration).
Prof. Zuazua has a lot of experience in working together with engineers. His first joint project was shape optimization for airfoils. The geometric form and the waves around it interact in a lot of ways and on different levels. Also water management has a lot of interesting and open questions on which he is working with colleagues in Zaragoza. At the moment there is a strong collaboration with the group of Prof. Leugering in Erlangen which is invested in a Transregio research initiative on gasnets which is a fascinating topic ranging from our everyday expectations to have a reliable water and gas supply at home to the latest mathematical research on control. Of course, in working with engineers there is always a certain delay (in both directions) since the culture and the results and questions have to be translated and formulated in a relevant form between engineers and mathematicians.
In dealing with theses questions there are two main risks: Firstly, one finds wrong results which are obviously wrong and secondly wrong results which look right but are wrong nonetheless. Here it is the crucial role of mathematicians to have the right framework to find these errors.
Prof. Zuazua is a proud Basque. Of the 2.5 Mill. members of the basque people most are living in Spain with a minority status of their culture and language. But since the end of the Franco era this has been translated into special efforts to push culture and education in the region. In less than 40 years this transformed the society immensely and led to modern universities, relevant science and culture which grew out of "nothing". Now Spain and the Basque country have strong bonds to the part of Europe on the other side of the Pyrenees and especially with industry and research in Germany. The Basque university has several campuses and teaches 40.000 students. This success could be a good example how to extend our education system and provide possibilities for young people which is so much a part of our culture in Europe across the boundaries of our continent.
50 Minuten
Peter Allinger und Nick Stockelkamp optimieren bei der Dassault Systèmes in Karlsruhe Formen, Strukturen und Strömungen im Bereich des Maschinenbaus.
Anwendungsbeispiele reichen vom Zahnimplantat bis zum Schiffsdiesel und typische Optimierungskriterien sind Gewicht, Fertigungskosten und Haltbarkeit. Dabei hat sich der Fokus von einfachen Fragestellungen wie der Durchbiegung hin zu komplexen Fragestellungen wie der Geräuschentwicklung.
In der Fluid-Optimierung geht es unter anderem um die Reduzierung von Druckverlusten, der Vermeidung von Turbulenzen oder auch Verbesserung von Wärmetauschern, beispielweise unterstützt durch den Löser OpenFOAM. Dabei gibt es unterschiedliche Vorhegensweisen: Man kann entweder die Veränderung der Objekte durch Hinzufügen oder Abziehen von Material hervorrufen, oder man berechnet die Sensitivität der Zielgröße bezüglich Veränderungen an den Oberflächen.
Der mögliche Design-Raum wird in vielen Anwendungen mit der Finite-Elemente-Methode diskretisiert, um zu einem lösbaren Problem zu gelangen, wobei Strömungen oft mit Finite-Volument-Verfahren gelöst werden.
Die zentrale Frage ist jedoch, wann man ein Bauteil als optimal bezeichnen kann. Hier hat Prof. Eckart Schnack in den 70er Jahren den Ansatz beschrieben, dass eine gleichmäßige Spannungsverteilung eines beanspruchten Bauteils ein optimales Bauteil auszeichnen kann. Im Fall von strukturmechanischen Belastungen gibt es für diesen Optimalitätsbegriff iterative Löser, jedoch sind Fragestellungen im Umfeld von Eigenwertprobleme noch ein offenes Forschungsgebiet.
Literatur und Zusatzinformationen
Schnack, E. "Ein Iterationsverfahren zur Optimierung von Spannungskonzentrationen." Inaugural Dissertation, Kaiserslautern University (1977).
Anwendungsbeispiele reichen vom Zahnimplantat bis zum Schiffsdiesel und typische Optimierungskriterien sind Gewicht, Fertigungskosten und Haltbarkeit. Dabei hat sich der Fokus von einfachen Fragestellungen wie der Durchbiegung hin zu komplexen Fragestellungen wie der Geräuschentwicklung.
In der Fluid-Optimierung geht es unter anderem um die Reduzierung von Druckverlusten, der Vermeidung von Turbulenzen oder auch Verbesserung von Wärmetauschern, beispielweise unterstützt durch den Löser OpenFOAM. Dabei gibt es unterschiedliche Vorhegensweisen: Man kann entweder die Veränderung der Objekte durch Hinzufügen oder Abziehen von Material hervorrufen, oder man berechnet die Sensitivität der Zielgröße bezüglich Veränderungen an den Oberflächen.
Der mögliche Design-Raum wird in vielen Anwendungen mit der Finite-Elemente-Methode diskretisiert, um zu einem lösbaren Problem zu gelangen, wobei Strömungen oft mit Finite-Volument-Verfahren gelöst werden.
Die zentrale Frage ist jedoch, wann man ein Bauteil als optimal bezeichnen kann. Hier hat Prof. Eckart Schnack in den 70er Jahren den Ansatz beschrieben, dass eine gleichmäßige Spannungsverteilung eines beanspruchten Bauteils ein optimales Bauteil auszeichnen kann. Im Fall von strukturmechanischen Belastungen gibt es für diesen Optimalitätsbegriff iterative Löser, jedoch sind Fragestellungen im Umfeld von Eigenwertprobleme noch ein offenes Forschungsgebiet.
Literatur und Zusatzinformationen
Schnack, E. "Ein Iterationsverfahren zur Optimierung von Spannungskonzentrationen." Inaugural Dissertation, Kaiserslautern University (1977).
37 Minuten
Katharina Elsen ist für 6 Monate aus Bologna im Rahmen eines Forschungsaufenthalts nach Karlsruhe gekommen. In Ihrer Forschungsgruppe zur numerischen Geophysik sind Tsunamis im Mittelmeerraum, wie beispielsweise im Raum von Italien und der Türkei, das Hauptforschungsgebiet. Ein Auslöser für Tsunamis sind Erdbeben, aber auch Erdrutsche können der Grund für die großen Wasserwellen sein, die dann sogar eine globale Auswirkung haben können.
Im Varjont-Tal kam es 1963 nach dem Aufstauen eines Stausees zu einem Landrutsch. Dieser führte zu einer Tsnuamiwelle im Stausee, die in ihrer Größe weit unterschätzt wurde, und zur schrecklichen Tragödie von Langarone führte. Solche Vorgänge können natürlich auch in Küstengebieten auftreten und die gegenüberliegenden Küsten gefährden.
Im Gegensatz zu sehr plötzlichen seismischen Aktivitäten können Landrutsche weit langfristigere Vorgänge sein. Auch können die sich bewegenden Landmassen aus beweglichem Schlamm oder feinem Geröll bestehen oder aus eher festen Bestandteilen. Dies beeinflusst stark die möglichen Modelle, und Katharina Elsen beschreibt im Gespräch mit Gudrun Thäter ihre Modelle und Forschung zu Landrutschen von Bergabschnitten, die sich eher wie ein Festkörper als wie ein Fluid verhalten.
Die Landmassen werden in einige Festkörper-Masseblöcke aufgeteilt, die jeweils Massenzentren bzw. Baryzentren besitzen und deren Berandung bekannt ist. Daraus wird die individuelle Bewegung der Blöcke modelliert, wie auch die gegenseitige Beeinflussung auf verschiedene Arten. Letztlich wird dann untersucht, wie die Blöcke letztlich durch Geschwindigkeit und Form auf das Wasser wirken, um bessere Aussagen über resultierende Wellenhöhe treffen zu können.
Der erste Schritt zur Simulation ist die Zerlegung der gleitenden Oberflächen in Dreiecke, und dann wird die Bewegung der einzelnen Massepunkte für das vereinfachte Modell durch die klassische Newtonsche Mechanik zunächst exakt berechnet. Für die Beeinflussung der Massepunkte zueinander werden verschiedene approximierende Modelle erforscht, und Parameter entsprechend den Beobachtungen identifiziert.
Die Ansätze und Modelle fließen in eine Software zur Erdrutschsimulation, die auch im Bereich der Reibungsmodelle überarbeitet wurde: Da auf triangulisierten Oberflächen alle Funktionen und Eigenschaften dort bisher nur in linearisierter Form auftreten, können höhere Ableitungen nur über erweiterte Modelle approximiert werden.
Literatur und Zusatzinformationen
F. Zaniboni, S. Tinti: Numerical simulations of the 1963 Vajont landslide, Italy: application of 1D Lagrangian modelling, Natural hazards 70.1: 567-592, 2014.
S. Tinti, P. Gianluca, Z. Filippo: The landslides and tsunamis of the 30th of December 2002 in Stromboli analysed through numerical simulations, Bulletin of Volcanology 68.5, 462-479, 2006.
S. Tinti: How can we defend ourselves from the hazard of Nature in the modern society?, GIFT 2013, Natural Hazards Geosciences Information for Teachers Workshop, Vienna, Austria, 2013.
Podcast Modellansatz 012: Erdbeben und optimale Versuchsplanung
Podcast Modellansatz 015: Lawinen und Muren
Im Varjont-Tal kam es 1963 nach dem Aufstauen eines Stausees zu einem Landrutsch. Dieser führte zu einer Tsnuamiwelle im Stausee, die in ihrer Größe weit unterschätzt wurde, und zur schrecklichen Tragödie von Langarone führte. Solche Vorgänge können natürlich auch in Küstengebieten auftreten und die gegenüberliegenden Küsten gefährden.
Im Gegensatz zu sehr plötzlichen seismischen Aktivitäten können Landrutsche weit langfristigere Vorgänge sein. Auch können die sich bewegenden Landmassen aus beweglichem Schlamm oder feinem Geröll bestehen oder aus eher festen Bestandteilen. Dies beeinflusst stark die möglichen Modelle, und Katharina Elsen beschreibt im Gespräch mit Gudrun Thäter ihre Modelle und Forschung zu Landrutschen von Bergabschnitten, die sich eher wie ein Festkörper als wie ein Fluid verhalten.
Die Landmassen werden in einige Festkörper-Masseblöcke aufgeteilt, die jeweils Massenzentren bzw. Baryzentren besitzen und deren Berandung bekannt ist. Daraus wird die individuelle Bewegung der Blöcke modelliert, wie auch die gegenseitige Beeinflussung auf verschiedene Arten. Letztlich wird dann untersucht, wie die Blöcke letztlich durch Geschwindigkeit und Form auf das Wasser wirken, um bessere Aussagen über resultierende Wellenhöhe treffen zu können.
Der erste Schritt zur Simulation ist die Zerlegung der gleitenden Oberflächen in Dreiecke, und dann wird die Bewegung der einzelnen Massepunkte für das vereinfachte Modell durch die klassische Newtonsche Mechanik zunächst exakt berechnet. Für die Beeinflussung der Massepunkte zueinander werden verschiedene approximierende Modelle erforscht, und Parameter entsprechend den Beobachtungen identifiziert.
Die Ansätze und Modelle fließen in eine Software zur Erdrutschsimulation, die auch im Bereich der Reibungsmodelle überarbeitet wurde: Da auf triangulisierten Oberflächen alle Funktionen und Eigenschaften dort bisher nur in linearisierter Form auftreten, können höhere Ableitungen nur über erweiterte Modelle approximiert werden.
Literatur und Zusatzinformationen
F. Zaniboni, S. Tinti: Numerical simulations of the 1963 Vajont landslide, Italy: application of 1D Lagrangian modelling, Natural hazards 70.1: 567-592, 2014.
S. Tinti, P. Gianluca, Z. Filippo: The landslides and tsunamis of the 30th of December 2002 in Stromboli analysed through numerical simulations, Bulletin of Volcanology 68.5, 462-479, 2006.
S. Tinti: How can we defend ourselves from the hazard of Nature in the modern society?, GIFT 2013, Natural Hazards Geosciences Information for Teachers Workshop, Vienna, Austria, 2013.
Podcast Modellansatz 012: Erdbeben und optimale Versuchsplanung
Podcast Modellansatz 015: Lawinen und Muren
3 Stunden 5 Minuten
An Pädagogischen Hochschulen werden Lehrerinnen und Lehrer für fast alle Schulformen ausgebildet, es gibt sie inzwischen in Deutschland nur noch in Baden-Württemberg. Beispielsweise seien die Pädagogische Hochschule Heidelberg und die Pädagogische Hochschule Karlsruhe genannt- hier in Karlsruhe gibt es zusätzlich auch eine Abteilung für Didaktik an der Fakultät für Mathematik am KIT. An den pädagogischen Hochschulen werden aber nicht nur Pädagogik und Didaktik unterrichtet, sondern auch die entsprechenden Fachrichtungen und jeweilige didaktische Konzepte in diesen Fachrichtungen. Christian Spannagel unterrichtet so als Professor für Mathematik und Informatik in den Fächern, und erzählt im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch, wie er didaktische Konzepte für den Mathematikunterricht erforscht und aktiv erprobt.
Die Frage nach Verbesserung des Mathematik-Unterrichts ist sehr aktuell: Die OECD-Studie zu Geschlechtsunterschieden in der Schule hat gerade in Mathematik Verbesserungspotential aufgezeigt, denn viele geben Mathe auf, weil sie nachweislich fälschlich glauben, sie könnten es nicht. Der zentrale Begriff ist hier die Selbstwirksamkeitserwartung, die insbesondere in Naturwissenschaften und Mathematik durch gesellschaftliche Einflüsse stark geprägt ist.
Die Erforschung neuer Lehrmethoden kann aber nicht den Ersatz der bisherigen und erprobten Konzepte zum Ziel haben: So sind selbst vermeintlich alte Übungen zum Kopfrechnen und zur schriftlichen Division auch heute noch überaus wichtige Hilfen zur Vermittlung von Algorithmen, Stellenwertsystemen und auch zur Vorbereitung auf ein Studium. Das Ziel muss sein, den Fundus möglicher Vermittlungsformen zu bereichern, und für verschiedene Konzepte bessere Kombinationen der Verfahren zu finden.
Ein nützliches neues Werkzeug ist die Tabellenkalkulation, mit der beispielsweise Würfelexperimente und Simulationen im Unterricht interaktiv erfahrbar gemacht werden können. Ebenso können Dynamische Geometriesysteme den Zugang zur Konstruktion und Analytischer Geometrie, wie beispielsweise den Satz des Thales, deutlich vereinfachen. Die Software GeoGebra ist ein solches System, das insbesondere auch unterschiedliche Darstellungen und Analyse der Konstruktionen ermöglicht.
Leider ist es zu Zeit noch nicht möglich, dass in Klassen jederzeit an jedem Platz ein Rechner zum Einsatz interaktiver Experimente vorhanden ist. Aber auch an einem interaktiven Whiteboard können die Methoden durchgeführt werden. Die technische Ausstattung ist aber nur ein kleiner Schritt zur Einführung neuer Werkzeuge in den Unterricht, auch die Lehrerinnen und Lehrer müssen die Kompetenzen zum Einsatz der neuen Medien erlernen. Hier müssen die pädagogischen Hochschulen den Lehramtsstudierenden den Weg bereiten, damit das Lehrpersonal zu Beginn und auch in ihrer langen Lehrzeit für den Stand und die Entwicklung der Technik vorbereitet ist.
Auch Wissensmanagement in der Form von Wikis haben in Schulen Einzug gehalten, so setzen Maria Eirich und Andrea Schellmann auf ein Schulwiki am Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt und Lernpfade zum interaktiven Mathematik-Unterricht. Auch Schülerinnen und Schüler können hier selbst Quiz-Aufgaben erstellen. Michael Gieding und Andreas Schnirch haben für Geometrie-Vorlesungen an der PH Heidelberg ein Geometrie-Wiki auf dieser Technologie erstellt, das auch weiterhin für Lehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende genutzt wird. Eine Einführung in die frühen interaktiven Elemente am CMS der Fakultät für Mathematik sind auf der Fragebogen-Seite mit einer Vielzahl von Beispielen zu finden.
Gerade in Mathematik stellt die Einbindung digitaler Medien eine gewisse Hürde dar, da Formeln, Beweise, Algorithmen und Konstruktionszeichnung nicht leicht digitalisierbar sind- auch wenn das Textsatz-System LaTeX oder LyX im mathematischen Bereich mit perfektem Druckbild für fast alles verwendet werden kann, so muss man es erst erlernen- beispielsweise mit der l2kurz-Anleitung. Das Austauschen von abfotografierten Seiten ist da häufig deutlich effektiver. Dabei ein solcher Austausch zwischen den Lernenden sehr zu begrüßen, da es zum einen die gemeinsame Konstruktion von Lösungswegen begünstigt, aber auch die angehenden Lehrenden auf die Nutzung der Medien trainiert. Wichtig sind niederschwellige Zugänge und die Möglichkeit zu anonymen Beiträgen, da nur so das Lernen aus Fehlern ermöglicht wird.
Im Flipped Classroom wird der Prozess der interaktiven Auseinandersetzung mit dem Lernstoff, der traditionell zu Hause erst bei den Hausaufgaben auftritt, in den Unterricht gebracht, und der herkömmliche Frontal-Unterricht aus dem Klassenzimmer verbannt. Dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler oder die Studierenden zur Vorbereitung ein Video, in dem das grundsätzliche Verfahren erklärt wird. Die Unterrichtsstunde kann dann mit einer Fragerunde zum Videomaterial starten, gefolgt von einigen Aufgaben, die vom Plenum in Gruppenarbeit bearbeitet werden sollen. Hier werden Probleme und Fragen offensichtlich, die vom Lehrenden oder gemeinsam in einer Diskussion erörtert werden können. Anschließend könnte sich ein Hörsaal- oder Klassenzimmerspiel anschließen, das sowohl auflockert, als auch das Thema verfestigt. Dass besondere Ereignisse den Lernerfolg verbessern können, wurde auch beim Thema >Gestern hab ich noch Zeit genug< im Methodisch-Inkorrekt Podcast Folge 43 besprochen. Auch wenn es nicht immer außerordentliche Ereignisse geben kann, so ist eine sinnvolle Abwechslung der Lehrmethoden sicher zuträglich zur Verbesserung des Unterrichts.
Neben der Frage zur zeitlichen Planung des Unterrichts sind auch Fragen innerhalb der Mathematik eine Untersuchung auf mögliche Vermittlungsmethoden interessant: Die Gaußsche Summenformel ist nicht nur wichtig zur Berechnung der Anzahl der Spiele in einer Fußball-Liga, sondern auch ein schönes Beispiel zur verschiedene mathematische Beweisverfahren. Die Formel kann durch vollständige Induktion bewiesen werden, ein anderer Ansatz ist die Verwendung von Dreieckszahlen zu einem ebenso korrekten ikonischen Beweis der Summenformel.
Einen wichtigen Stellenwert hat auch die Haltung der Lehrperson: Anstatt zu demoralisieren, müssen die Lernenden in ihrem Lernprozess unterstützt und bei Bedarf geleitet werden. Dazu gehört auch die Anpassung der Komplexität an die unterschiedlichen Kenntnisse der Lernenden- eine fast unmögliche Aufgabe angesichts großer Unterschiede in den Vorkenntnissen. Eine Möglichkeit sind Angebote für optionale Übungsgruppen, oder Zusatzangebote für weitergehende Fragen. Ideal sind jedoch natürlich differenzierende Aufgaben, die von allen Lernenden je nach ihrem Kenntnisstand hinreichend und unterschiedlich umfangreich beantwortet werden können. Ein Beispiel ist hier die Aufgabe zu den Pythagoreischen Zahlentripeln, die sehr knapp, aber auch sehr weitreichend beantwortet werden kann.
Eine andere interessante Frage steckt im Münzproblem, die man bis zur Frage der kleinsten Anzahl von Münzen zur Rückgabe aller Geldbeträge von 1-99 Cent beantworten kann (Optimal sind acht Münzen in vier möglichen Variationen: zB 1+1+2+5+10+10+20+50 oder 1+2+2+5+10+20+20+50).
Die Frage der Evaluation von Unterrichtsmethoden wie dem Flipped Classroom ist leider nicht einfach zu beantworten: Es ist kaum möglich zwei Gruppen parallel und voneinander unbeeinflusst unterschiedlich zu unterrichten. Bei einer Evaluation zwischen verschiedenen Jahrgängen konnte ein besseres Abschneiden bei Prüfungen nicht sicher nachgewiesen werden, jedoch ist war das subjektive Empfinden der Studierenden gegenüber den neuen Methoden ausgesprochen positiv. Malte Persike hat entsprechende Ergebnisse erhalten, u.a. beim MOOC zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, stellt aber auch zur Diskussion, dass bei mit herkömmlichen Methoden weniger erfolgreichen Dozenten die neue Methoden deutlich bessere Ergebnisse erzielen könnten.
Bei der Umstellung auf Flipped Classroom-Konzepte ist die Videoerstellung oft nicht sehr aufwendig, da hier abgefilmte frühere Veranstaltungen in Frage kommen können. Dafür ist die Umstellung und die Planung des neuen Unterrichts oftmals deutlich aufwendiger, wenn man eine Stunde zum ersten Mal durchführt.
Anders sieht es bei einem Massive Open Online Course, kurz MOOC, aus, für den Videos deutlich aufwendiger und in kürzerer Form produziert werden. MOOCs sind besonders durch Sebastian Thrun bekannt geworden, als er eine Vorlesung zur künstlichen Intelligenz online zur Verfügung stellte, an der etwa 160'000 Studierende teilnahmen. In der Regel werden Videos mit vorlesungsartigen Inhalten wöchentlich online gestellt, zu denen die Teilnehmer regelmäßig Aufgaben gestellt bekommen. Durch Verfügbarkeit im Internet können sehr viele an diesen Kurs teilnehmen, und durch die Verwendung offener Technologien und Zugänge ist die Teilnahme sehr niederschwellig und spricht viele Interessenten an.
An der PH Heidelberg wurde der Mathe-MOOC Mathematisch Denken von Christian Spannnagel, Michael Gieding, Lutz Berger und Martin Lindner ins Leben gerufen, der das MOOC-Konzept nicht ganz klassisch umgesetzt hat. Viel mehr wurde ein Schwerpunkt auf Mathematikdidaktik gelegt: Statt einem festen Wechsel von Vorlesung und Übung wurden einführende experimentelle Einheiten eingesetzt, bei denen die Teilnehmenden schon im Vorfeld Ihre eigenen Erfahrungen mit dem Thema machen konnten. Die Bearbeitung der Aufgaben und der Vergleich der Lösungen erfolgte dann in öffentlichen Foren- eine abschließende Prüfung war in diesem MOOC nicht vorgesehen, sondern möglichst vielen einen Einstieg in die mathematische Denkweise ermöglichen.
Die Teilnehmenden können sich selbst als Kiebitze, Anpacker und Formalisierer bezeichnen, auch von Aufgabe zu Aufgabe unterschiedlich- die Kiebitze sind hauptsächlich passive Zuschauer, wogegen die Anpacker die Lösungen aktiv, beispielsweise ikonisch, erarbeiten wollen. Die Formalisierer suchen schließlich die exakte mathematische Beschreibung und symbolische Lösung der Aufgaben. Diese Differenzierung ermöglicht eine Klarstellung der eigenen Teilnahmeabsicht und vereinfacht durch die Vorgabe verschiedener Ansätze den Zugang in den jeweiligen Nutzungsszenarien.
MOOCs können und sollten herkömmliche Präsenzveranstaltungen nicht ersetzen, sondern die Nutzung wie beim Flipped Classroom-Konzept die Qualität der Präsenzveranstaltungen verbessern. Ausgesprochen sinnvolle Beispiele zum Einsatz von MOOCs sind Brückenkurse vor Studienbeginn, wo noch nicht alle Studierende am Studienort sind, oder in der Weiterbildung für Berufstätige.
Der Mathe-MOOC Mathematisch Denken findet aktuell jedes Semester statt, und wer mitmachen möchte, kann jeweils Anfang April oder Anfang Oktober einsteigen. Die Kurse werden auch kontinuierlich weiter entwickelt. So werden nun mit Christian Freisleben-Teutscher Improvisationsmethoden eingebunden, um die gegenseitige Interaktion zwischen den Teilnehmenden zu fördern.
Schon seit Beginn des Mathe-MOOCs sind auch szenische Darstellungen sehr erfolgreicher Teil der Darstellung, und dienen der Motivation und Auflockerung der manchmal trockenden Mathematik. So tritt Christian Spannagel oft als Dunkler Lord auf, der auf seine besondere Weise die Mathematik erklärt. Wie es schon Jean-Pol Martin formulierte, haben Professoren die Verantwortung neue Wege zu gehen, um für die Gesellschaft auch riskantere Wege einzuschlagen.
Auch am KIT werden erfolgreich MOOCs angeboten, und der MOOC gegen Chronisches Aufschieben wurde vor kurzem mit dem Bildungsmedienpreis digita ausgezeichnet.
Ein weiterer neuer Zugang ist die Gamification, bei der spielerische Elemente in spielfremde Bereiche eingeführt werden. Dies kann durch die Zuteilung von Punkten, Leveln oder Abzeichen bzw. Badges erfolgen, und dies kann auch in der Hochschullehre eingesetzt werden. Die Wahl eines Kontexts hat sich aber als kritisch herausgestellt: Wenn die Lernenden sich nicht mit dem Spiel identifizieren können, ist kaum ein Erfolg zu erwarten. Nando Stöcklin und Nico Steinbach entwickelten das erfolgreiche System QuesTanja, mit den Schülerinnen und Schüler mit Tablets selbstständig Mathematik erlernen können. Die Forschung richtet sich hier auf die Konzepte des Design-based Research, sie konzentriert sich also darauf die Methode zu entwickeln und iterativ und zyklisch zu verbessern.
Auch zum Erlernen des Programmierens haben sich spielerische Konzepte bewährt, ein Beispiel dafür ist die Plattform Scratch und ScratchJr, oder auch Lightbot. Diese Lernprinzipien gehen auf Seymour Papert zurück, der schon mit der Programmiersprache Logo den Grundstein zu erziehungsorientierten Programmiersprachen gelegt hat. Die Logo-Programmiersprache gab es als Schildkrötengrafik auch schon im NDR-Klein-Computer.
Eine interessante Frage im Umgang mit neuen Medien in Lehre und Wissenschaft ist die Zitierbarkeit der Angebote. Auf der einen Seite geben sich neue Nutzungsmöglichkeiten durch direkte Links an bestimmte Zeitpunkte, jedoch sind Zitate auf Videos, Audiodateien und Internetseiten noch nicht in der wissenschaftlichen Literatur etabliert. Neue Ansätze zur Vortragsaufzeichnung beim KonScience Podcast werden diskutiert. Ein wichtiger Ansatz ist auch die Vergabe von DOI-Nummern für digitale Medien, wie es auch im Open Science Radio Podcast angesprochen wurde.
Letztendlich kann man bei der Erstellung von Videos für den Unterricht nicht zu viel Perfektionismus an den Tag legen, wie es auch schon Aaron Sams formulierte: "Do you need it perfect, or do you need it by Tuesday?"
Literatur und Zusatzinformationen
C. Spannagel: Digitale Medien in der Schule: in medio virtus, LOG IN, 180, 22-27, 2015.
M. Fischer, C. Spannagel: Lernen mit Vorlesungsvideos in der umgedrehten Mathematikvorlesung, In J. Desel, J. M. Haake & C. Spannagel (Hrsg.), DeLFI 2012 – Die 10. e-Learning Fachtagung Informatik der Gesellschaft für Informatik e.V. (S. 225-236). Bonn: Köllen Druck+Verlag, 2012.
C. Spannagel, J. Spannagel: Designing In-Class Activities in the Inverted Classroom Model, In J. Handke, N. Kiesler & L. Wiemeyer, L. (Hrsg.) (2013). The Inverted Classroom Model. The 2nd German ICM-Conference (S. 113-120). München: Oldenbourg Verlag, 2013.
Flipped Classroom: Die umgedrehte Mathematikvorlesung
Video: 10 Irrtümer zum Einsatz digitaler Medien in der Schule
Podcast Lob und Tadel 019: Schulmathematik
Die Frage nach Verbesserung des Mathematik-Unterrichts ist sehr aktuell: Die OECD-Studie zu Geschlechtsunterschieden in der Schule hat gerade in Mathematik Verbesserungspotential aufgezeigt, denn viele geben Mathe auf, weil sie nachweislich fälschlich glauben, sie könnten es nicht. Der zentrale Begriff ist hier die Selbstwirksamkeitserwartung, die insbesondere in Naturwissenschaften und Mathematik durch gesellschaftliche Einflüsse stark geprägt ist.
Die Erforschung neuer Lehrmethoden kann aber nicht den Ersatz der bisherigen und erprobten Konzepte zum Ziel haben: So sind selbst vermeintlich alte Übungen zum Kopfrechnen und zur schriftlichen Division auch heute noch überaus wichtige Hilfen zur Vermittlung von Algorithmen, Stellenwertsystemen und auch zur Vorbereitung auf ein Studium. Das Ziel muss sein, den Fundus möglicher Vermittlungsformen zu bereichern, und für verschiedene Konzepte bessere Kombinationen der Verfahren zu finden.
Ein nützliches neues Werkzeug ist die Tabellenkalkulation, mit der beispielsweise Würfelexperimente und Simulationen im Unterricht interaktiv erfahrbar gemacht werden können. Ebenso können Dynamische Geometriesysteme den Zugang zur Konstruktion und Analytischer Geometrie, wie beispielsweise den Satz des Thales, deutlich vereinfachen. Die Software GeoGebra ist ein solches System, das insbesondere auch unterschiedliche Darstellungen und Analyse der Konstruktionen ermöglicht.
Leider ist es zu Zeit noch nicht möglich, dass in Klassen jederzeit an jedem Platz ein Rechner zum Einsatz interaktiver Experimente vorhanden ist. Aber auch an einem interaktiven Whiteboard können die Methoden durchgeführt werden. Die technische Ausstattung ist aber nur ein kleiner Schritt zur Einführung neuer Werkzeuge in den Unterricht, auch die Lehrerinnen und Lehrer müssen die Kompetenzen zum Einsatz der neuen Medien erlernen. Hier müssen die pädagogischen Hochschulen den Lehramtsstudierenden den Weg bereiten, damit das Lehrpersonal zu Beginn und auch in ihrer langen Lehrzeit für den Stand und die Entwicklung der Technik vorbereitet ist.
Auch Wissensmanagement in der Form von Wikis haben in Schulen Einzug gehalten, so setzen Maria Eirich und Andrea Schellmann auf ein Schulwiki am Regiomontanus-Gymnasium Haßfurt und Lernpfade zum interaktiven Mathematik-Unterricht. Auch Schülerinnen und Schüler können hier selbst Quiz-Aufgaben erstellen. Michael Gieding und Andreas Schnirch haben für Geometrie-Vorlesungen an der PH Heidelberg ein Geometrie-Wiki auf dieser Technologie erstellt, das auch weiterhin für Lehrveranstaltungen für Lehramtsstudierende genutzt wird. Eine Einführung in die frühen interaktiven Elemente am CMS der Fakultät für Mathematik sind auf der Fragebogen-Seite mit einer Vielzahl von Beispielen zu finden.
Gerade in Mathematik stellt die Einbindung digitaler Medien eine gewisse Hürde dar, da Formeln, Beweise, Algorithmen und Konstruktionszeichnung nicht leicht digitalisierbar sind- auch wenn das Textsatz-System LaTeX oder LyX im mathematischen Bereich mit perfektem Druckbild für fast alles verwendet werden kann, so muss man es erst erlernen- beispielsweise mit der l2kurz-Anleitung. Das Austauschen von abfotografierten Seiten ist da häufig deutlich effektiver. Dabei ein solcher Austausch zwischen den Lernenden sehr zu begrüßen, da es zum einen die gemeinsame Konstruktion von Lösungswegen begünstigt, aber auch die angehenden Lehrenden auf die Nutzung der Medien trainiert. Wichtig sind niederschwellige Zugänge und die Möglichkeit zu anonymen Beiträgen, da nur so das Lernen aus Fehlern ermöglicht wird.
Im Flipped Classroom wird der Prozess der interaktiven Auseinandersetzung mit dem Lernstoff, der traditionell zu Hause erst bei den Hausaufgaben auftritt, in den Unterricht gebracht, und der herkömmliche Frontal-Unterricht aus dem Klassenzimmer verbannt. Dazu erhalten die Schülerinnen und Schüler oder die Studierenden zur Vorbereitung ein Video, in dem das grundsätzliche Verfahren erklärt wird. Die Unterrichtsstunde kann dann mit einer Fragerunde zum Videomaterial starten, gefolgt von einigen Aufgaben, die vom Plenum in Gruppenarbeit bearbeitet werden sollen. Hier werden Probleme und Fragen offensichtlich, die vom Lehrenden oder gemeinsam in einer Diskussion erörtert werden können. Anschließend könnte sich ein Hörsaal- oder Klassenzimmerspiel anschließen, das sowohl auflockert, als auch das Thema verfestigt. Dass besondere Ereignisse den Lernerfolg verbessern können, wurde auch beim Thema >Gestern hab ich noch Zeit genug< im Methodisch-Inkorrekt Podcast Folge 43 besprochen. Auch wenn es nicht immer außerordentliche Ereignisse geben kann, so ist eine sinnvolle Abwechslung der Lehrmethoden sicher zuträglich zur Verbesserung des Unterrichts.
Neben der Frage zur zeitlichen Planung des Unterrichts sind auch Fragen innerhalb der Mathematik eine Untersuchung auf mögliche Vermittlungsmethoden interessant: Die Gaußsche Summenformel ist nicht nur wichtig zur Berechnung der Anzahl der Spiele in einer Fußball-Liga, sondern auch ein schönes Beispiel zur verschiedene mathematische Beweisverfahren. Die Formel kann durch vollständige Induktion bewiesen werden, ein anderer Ansatz ist die Verwendung von Dreieckszahlen zu einem ebenso korrekten ikonischen Beweis der Summenformel.
Einen wichtigen Stellenwert hat auch die Haltung der Lehrperson: Anstatt zu demoralisieren, müssen die Lernenden in ihrem Lernprozess unterstützt und bei Bedarf geleitet werden. Dazu gehört auch die Anpassung der Komplexität an die unterschiedlichen Kenntnisse der Lernenden- eine fast unmögliche Aufgabe angesichts großer Unterschiede in den Vorkenntnissen. Eine Möglichkeit sind Angebote für optionale Übungsgruppen, oder Zusatzangebote für weitergehende Fragen. Ideal sind jedoch natürlich differenzierende Aufgaben, die von allen Lernenden je nach ihrem Kenntnisstand hinreichend und unterschiedlich umfangreich beantwortet werden können. Ein Beispiel ist hier die Aufgabe zu den Pythagoreischen Zahlentripeln, die sehr knapp, aber auch sehr weitreichend beantwortet werden kann.
Eine andere interessante Frage steckt im Münzproblem, die man bis zur Frage der kleinsten Anzahl von Münzen zur Rückgabe aller Geldbeträge von 1-99 Cent beantworten kann (Optimal sind acht Münzen in vier möglichen Variationen: zB 1+1+2+5+10+10+20+50 oder 1+2+2+5+10+20+20+50).
Die Frage der Evaluation von Unterrichtsmethoden wie dem Flipped Classroom ist leider nicht einfach zu beantworten: Es ist kaum möglich zwei Gruppen parallel und voneinander unbeeinflusst unterschiedlich zu unterrichten. Bei einer Evaluation zwischen verschiedenen Jahrgängen konnte ein besseres Abschneiden bei Prüfungen nicht sicher nachgewiesen werden, jedoch ist war das subjektive Empfinden der Studierenden gegenüber den neuen Methoden ausgesprochen positiv. Malte Persike hat entsprechende Ergebnisse erhalten, u.a. beim MOOC zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, stellt aber auch zur Diskussion, dass bei mit herkömmlichen Methoden weniger erfolgreichen Dozenten die neue Methoden deutlich bessere Ergebnisse erzielen könnten.
Bei der Umstellung auf Flipped Classroom-Konzepte ist die Videoerstellung oft nicht sehr aufwendig, da hier abgefilmte frühere Veranstaltungen in Frage kommen können. Dafür ist die Umstellung und die Planung des neuen Unterrichts oftmals deutlich aufwendiger, wenn man eine Stunde zum ersten Mal durchführt.
Anders sieht es bei einem Massive Open Online Course, kurz MOOC, aus, für den Videos deutlich aufwendiger und in kürzerer Form produziert werden. MOOCs sind besonders durch Sebastian Thrun bekannt geworden, als er eine Vorlesung zur künstlichen Intelligenz online zur Verfügung stellte, an der etwa 160'000 Studierende teilnahmen. In der Regel werden Videos mit vorlesungsartigen Inhalten wöchentlich online gestellt, zu denen die Teilnehmer regelmäßig Aufgaben gestellt bekommen. Durch Verfügbarkeit im Internet können sehr viele an diesen Kurs teilnehmen, und durch die Verwendung offener Technologien und Zugänge ist die Teilnahme sehr niederschwellig und spricht viele Interessenten an.
An der PH Heidelberg wurde der Mathe-MOOC Mathematisch Denken von Christian Spannnagel, Michael Gieding, Lutz Berger und Martin Lindner ins Leben gerufen, der das MOOC-Konzept nicht ganz klassisch umgesetzt hat. Viel mehr wurde ein Schwerpunkt auf Mathematikdidaktik gelegt: Statt einem festen Wechsel von Vorlesung und Übung wurden einführende experimentelle Einheiten eingesetzt, bei denen die Teilnehmenden schon im Vorfeld Ihre eigenen Erfahrungen mit dem Thema machen konnten. Die Bearbeitung der Aufgaben und der Vergleich der Lösungen erfolgte dann in öffentlichen Foren- eine abschließende Prüfung war in diesem MOOC nicht vorgesehen, sondern möglichst vielen einen Einstieg in die mathematische Denkweise ermöglichen.
Die Teilnehmenden können sich selbst als Kiebitze, Anpacker und Formalisierer bezeichnen, auch von Aufgabe zu Aufgabe unterschiedlich- die Kiebitze sind hauptsächlich passive Zuschauer, wogegen die Anpacker die Lösungen aktiv, beispielsweise ikonisch, erarbeiten wollen. Die Formalisierer suchen schließlich die exakte mathematische Beschreibung und symbolische Lösung der Aufgaben. Diese Differenzierung ermöglicht eine Klarstellung der eigenen Teilnahmeabsicht und vereinfacht durch die Vorgabe verschiedener Ansätze den Zugang in den jeweiligen Nutzungsszenarien.
MOOCs können und sollten herkömmliche Präsenzveranstaltungen nicht ersetzen, sondern die Nutzung wie beim Flipped Classroom-Konzept die Qualität der Präsenzveranstaltungen verbessern. Ausgesprochen sinnvolle Beispiele zum Einsatz von MOOCs sind Brückenkurse vor Studienbeginn, wo noch nicht alle Studierende am Studienort sind, oder in der Weiterbildung für Berufstätige.
Der Mathe-MOOC Mathematisch Denken findet aktuell jedes Semester statt, und wer mitmachen möchte, kann jeweils Anfang April oder Anfang Oktober einsteigen. Die Kurse werden auch kontinuierlich weiter entwickelt. So werden nun mit Christian Freisleben-Teutscher Improvisationsmethoden eingebunden, um die gegenseitige Interaktion zwischen den Teilnehmenden zu fördern.
Schon seit Beginn des Mathe-MOOCs sind auch szenische Darstellungen sehr erfolgreicher Teil der Darstellung, und dienen der Motivation und Auflockerung der manchmal trockenden Mathematik. So tritt Christian Spannagel oft als Dunkler Lord auf, der auf seine besondere Weise die Mathematik erklärt. Wie es schon Jean-Pol Martin formulierte, haben Professoren die Verantwortung neue Wege zu gehen, um für die Gesellschaft auch riskantere Wege einzuschlagen.
Auch am KIT werden erfolgreich MOOCs angeboten, und der MOOC gegen Chronisches Aufschieben wurde vor kurzem mit dem Bildungsmedienpreis digita ausgezeichnet.
Ein weiterer neuer Zugang ist die Gamification, bei der spielerische Elemente in spielfremde Bereiche eingeführt werden. Dies kann durch die Zuteilung von Punkten, Leveln oder Abzeichen bzw. Badges erfolgen, und dies kann auch in der Hochschullehre eingesetzt werden. Die Wahl eines Kontexts hat sich aber als kritisch herausgestellt: Wenn die Lernenden sich nicht mit dem Spiel identifizieren können, ist kaum ein Erfolg zu erwarten. Nando Stöcklin und Nico Steinbach entwickelten das erfolgreiche System QuesTanja, mit den Schülerinnen und Schüler mit Tablets selbstständig Mathematik erlernen können. Die Forschung richtet sich hier auf die Konzepte des Design-based Research, sie konzentriert sich also darauf die Methode zu entwickeln und iterativ und zyklisch zu verbessern.
Auch zum Erlernen des Programmierens haben sich spielerische Konzepte bewährt, ein Beispiel dafür ist die Plattform Scratch und ScratchJr, oder auch Lightbot. Diese Lernprinzipien gehen auf Seymour Papert zurück, der schon mit der Programmiersprache Logo den Grundstein zu erziehungsorientierten Programmiersprachen gelegt hat. Die Logo-Programmiersprache gab es als Schildkrötengrafik auch schon im NDR-Klein-Computer.
Eine interessante Frage im Umgang mit neuen Medien in Lehre und Wissenschaft ist die Zitierbarkeit der Angebote. Auf der einen Seite geben sich neue Nutzungsmöglichkeiten durch direkte Links an bestimmte Zeitpunkte, jedoch sind Zitate auf Videos, Audiodateien und Internetseiten noch nicht in der wissenschaftlichen Literatur etabliert. Neue Ansätze zur Vortragsaufzeichnung beim KonScience Podcast werden diskutiert. Ein wichtiger Ansatz ist auch die Vergabe von DOI-Nummern für digitale Medien, wie es auch im Open Science Radio Podcast angesprochen wurde.
Letztendlich kann man bei der Erstellung von Videos für den Unterricht nicht zu viel Perfektionismus an den Tag legen, wie es auch schon Aaron Sams formulierte: "Do you need it perfect, or do you need it by Tuesday?"
Literatur und Zusatzinformationen
C. Spannagel: Digitale Medien in der Schule: in medio virtus, LOG IN, 180, 22-27, 2015.
M. Fischer, C. Spannagel: Lernen mit Vorlesungsvideos in der umgedrehten Mathematikvorlesung, In J. Desel, J. M. Haake & C. Spannagel (Hrsg.), DeLFI 2012 – Die 10. e-Learning Fachtagung Informatik der Gesellschaft für Informatik e.V. (S. 225-236). Bonn: Köllen Druck+Verlag, 2012.
C. Spannagel, J. Spannagel: Designing In-Class Activities in the Inverted Classroom Model, In J. Handke, N. Kiesler & L. Wiemeyer, L. (Hrsg.) (2013). The Inverted Classroom Model. The 2nd German ICM-Conference (S. 113-120). München: Oldenbourg Verlag, 2013.
Flipped Classroom: Die umgedrehte Mathematikvorlesung
Video: 10 Irrtümer zum Einsatz digitaler Medien in der Schule
Podcast Lob und Tadel 019: Schulmathematik
32 Minuten
Klothoiden sind Kurven, die 1794 von Jakob I. Bernoulli zuerst beschrieben wurden. Er hatte die Form eines Metallstreifens untersucht, der von einem Gewicht an einem Ende verbogen wird, während das andere Ende eingespannt ist. Als Resultat des elastischen Verhaltens ist dann die Krümmung proportional zur Kurvenlänge. Viele weitere Eigenschaften von Kurven mit dIeser Eigenschaft wurden dann von Leonhard Euler über den Rahmen des Gedankenexperiments von Bernoulli hinaus bewiesen , wie zum Beispiel die Position der asymptotischen Endpunkte.
Im Straßen- und Schienenbau sind Klothoiden ausgezeichnete Übergangsbögen zwischen geraden Strecken und Kurven, da diese Kurve die Krümmung zwischen den beiden Abschnitten gleichmäßig anpasst. Bei der Planung von Schienentrassen wurde diese Eigenschaft vor etwa 100 Jahren schon ausgenutzt. Eine aktuelle wichtige Anwendung ist die Abbildung der Straßen in Fahrassistenzsystemen, wo passend parametrisierte Klothoiden große Vorteile gegenüber Splines besitzen, wie Gotami Heller im Gespräch mit Gudrun Thäter erklärt.
Um Klothoiden tatsächlich im Computermodell benutzen zu können, muss eine möglichst adäquate Approximation gesucht und implementiert werden, die die nötige Glattheit in der Kurve erhält.
Literatur und Zusatzinformationen
M. Bäumker: Rechenverfahren der Ingenieurvermessung
http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf: R. Levien: The Euler spiral, a mathematical history, Technical Report University of Carlifornia at Berkeley, UCB/EECS-2008-111, 2008.
D. Khosla: Accurate estimation of forward path geometry using two-clothoid road model, Intelligent Vehicle Symposium, 2002. IEEE. Vol. 1. IEEE, 2002.
Im Straßen- und Schienenbau sind Klothoiden ausgezeichnete Übergangsbögen zwischen geraden Strecken und Kurven, da diese Kurve die Krümmung zwischen den beiden Abschnitten gleichmäßig anpasst. Bei der Planung von Schienentrassen wurde diese Eigenschaft vor etwa 100 Jahren schon ausgenutzt. Eine aktuelle wichtige Anwendung ist die Abbildung der Straßen in Fahrassistenzsystemen, wo passend parametrisierte Klothoiden große Vorteile gegenüber Splines besitzen, wie Gotami Heller im Gespräch mit Gudrun Thäter erklärt.
Um Klothoiden tatsächlich im Computermodell benutzen zu können, muss eine möglichst adäquate Approximation gesucht und implementiert werden, die die nötige Glattheit in der Kurve erhält.
Literatur und Zusatzinformationen
M. Bäumker: Rechenverfahren der Ingenieurvermessung
http://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2008/EECS-2008-111.pdf: R. Levien: The Euler spiral, a mathematical history, Technical Report University of Carlifornia at Berkeley, UCB/EECS-2008-111, 2008.
D. Khosla: Accurate estimation of forward path geometry using two-clothoid road model, Intelligent Vehicle Symposium, 2002. IEEE. Vol. 1. IEEE, 2002.
30 Minuten
Gabriel Thäter ist im Rahmen eines BOGY-Praktikums zum Institut gekommen, um einen Eindruck von der Forschungstätigkeit in der angewandten Mathematik zu erhalten. Dazu befasste er sich mit der Simulation, Auslegung und Optimierung von Wasserraketen, die durch Impulserhaltung ihre Beschleunigung erhalten. Sein Interesse an der Raketentechnik entstand durch die Kerbal Space Program Simulation, in der Raketen und Flugzeuge zur Erfüllung verschiedener Aufträge aufgebaut werden.
Die Wasserraketen unterscheiden sich unter anderem durch ihre Bauform, dem zur Befüllung zur Verfügung stehenden Volumen, wie viel Wasser darin mit welchem Druck eingefüllt wird und welche Düse verbaut wurde. Der erste Ansatz die Auswirkung der Düse durch den Druckunterschied mit einer laminaren Strömung zu berechnen, führte zu unrealistischen Ergebnissen, was auf Basis der hohen Reynolds-Zahl zu erwarten war. Ein Ansatz über ein turbulentes Strömungsmodell führte zu sinnvollen Werten für die Rückstoßgeschwindigkeit in diskretisierter zeitlicher Abhängigkeit.
Die Berechnung der Steighöhe ist besonders durch die Schwerkraft und den Luftwiderstand abhängig. Neben der Berücksichtigung des sich stark verändernden Gewichts, ist die Bestimmung des geeigneten cW-Werts für den Strömungswiderstand eine große Herausforderung. Neben dem Vergleich mit einfachen Körpern wie Zylindern und Kugeln konnte eine Parameteridentifikation aus experimentellen Messwerten den cW-Wert sinnvoll bestimmen.
Die praktische Ausführung des Experiments verfolgt man am Besten bei unseren Kollegen bei Methodisch Inkorrekt, die beim 31C3 ihre Wasserrakete live im Sendezentrum zündeten. Natürlich gibt es auch reine Luftraketen, die beeindruckende Höhen erreichen können.
Literatur und Zusatzinformationen
J. Prusa: Hydrodynamics of a water rocket, SIAM review 42.4: 719-726, 2000.
R. Barrio-Perotti, et al: Experimental evaluation of the drag coefficient of water rockets by a simple free-fall test, European Journal of Physics 30.5: 1039, 2009.
Bauanleitung Wasserrakete und Bauanleitung Startrampe vom School-Lab zu Raketenantrieben des Deutschen Zentrums für Luft und Raumfahrt.
Raumfahrt Würzburg: Bauanleitung Luftraketen
Die Wasserraketen unterscheiden sich unter anderem durch ihre Bauform, dem zur Befüllung zur Verfügung stehenden Volumen, wie viel Wasser darin mit welchem Druck eingefüllt wird und welche Düse verbaut wurde. Der erste Ansatz die Auswirkung der Düse durch den Druckunterschied mit einer laminaren Strömung zu berechnen, führte zu unrealistischen Ergebnissen, was auf Basis der hohen Reynolds-Zahl zu erwarten war. Ein Ansatz über ein turbulentes Strömungsmodell führte zu sinnvollen Werten für die Rückstoßgeschwindigkeit in diskretisierter zeitlicher Abhängigkeit.
Die Berechnung der Steighöhe ist besonders durch die Schwerkraft und den Luftwiderstand abhängig. Neben der Berücksichtigung des sich stark verändernden Gewichts, ist die Bestimmung des geeigneten cW-Werts für den Strömungswiderstand eine große Herausforderung. Neben dem Vergleich mit einfachen Körpern wie Zylindern und Kugeln konnte eine Parameteridentifikation aus experimentellen Messwerten den cW-Wert sinnvoll bestimmen.
Die praktische Ausführung des Experiments verfolgt man am Besten bei unseren Kollegen bei Methodisch Inkorrekt, die beim 31C3 ihre Wasserrakete live im Sendezentrum zündeten. Natürlich gibt es auch reine Luftraketen, die beeindruckende Höhen erreichen können.
Literatur und Zusatzinformationen
J. Prusa: Hydrodynamics of a water rocket, SIAM review 42.4: 719-726, 2000.
R. Barrio-Perotti, et al: Experimental evaluation of the drag coefficient of water rockets by a simple free-fall test, European Journal of Physics 30.5: 1039, 2009.
Bauanleitung Wasserrakete und Bauanleitung Startrampe vom School-Lab zu Raketenantrieben des Deutschen Zentrums für Luft und Raumfahrt.
Raumfahrt Würzburg: Bauanleitung Luftraketen
1 Stunde 24 Minuten
Die Gründer Carlos Falquez, Iris Pantle und Balazs Pritz aus dem Karlsruher Institut für Technologie (KIT), befassen sich mit Verfahren für Strömungslärmprognose und bieten diese Ingenieurbüros und Unternehmen zur Nutzung auf ihrer Cloud-Simulationsplattform NUBERISIM an. Während für viele Strömungen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ausreichen, kommen hier kompressible Gleichungen zum Einsatz. Dies ändert das Gleichungssystem von einem dominant elliptischen zu einem dominant hyperbolischen System, dem die numerischen Verfahren Rechnung tragen müssen.
Der Definition des Simulationsgebiets und den an dessen Rändern festzulegenden Randbedingungen kommt hier eine besondere Bedeutung zu: Beides muss aufeinander abgestimmt sein, jede ins Simulationsgebiet einlaufende Störung besitzt selbst wieder die Größenordnung akustischer Wellen und kann daher vom eigentlichen Simulationsergebnis, dem durch die Strömung erzeugten Schall, schlecht getrennt werden.
Daneben ergeben sich weitere Herausforderungen, wie den Einsatz von Verfahren höherer Ordnung, um die Wellendispersion zu bewahren, deren Erhaltung in einer typischen Strömungssimulation normalerweise weder forciert wird noch das Ergebnis signifikant verbessern würde.
Schließlich sind solche Verfahren hoch-instationär, so dass sich für realistische Fragestellungen äußerst lange Rechenzeiten ergeben. Dadurch wurden sie in der Vergangenheit nur in der akademischen Forschung untersucht und angewendet. Der Schritt zur kommerziellen Nutzung schien lange undenkbar. Durch moderne Parallelisierungstechniken und Cloud-Systeme jedoch steht plötzlich auch kleineren Unternehmen wie z.B. Ingenieursdienstleitern ausreichend Rechenkapazität zur Verfügung – theoretisch, denn der Zugang hierzu ist immer noch Eingeweihten vorbehalten.
Darum haben die Gründer die Idee entwickelt, solche Verfahren nicht nur als Software, sondern als Plattform einschließlich Nutzeroberfläche anzubieten, gerade so wie bei einer konventionellen Software – nur eben über einen Browser anzusteuern. Die Plattform wird voraussichtlich im März zugänglich gemacht.
Literatur und Zusatzinformationen
Falquez, Pantle und Pritz GbR: Nubersim.de
Iris Pantle: Strömungsakustik auf der Basis akustischer Analogie mit LES und URANS, Der Andere Verlag, ISBN 978-3936231823, 2002.
Christoph Richter, Łukasz Panek, Norbert Schönwald, Mei Zhuang: Numerische Methoden in der Strömungsakustik – CAA, Vorlesungsskript, TU Berlin, 2005.
Der Definition des Simulationsgebiets und den an dessen Rändern festzulegenden Randbedingungen kommt hier eine besondere Bedeutung zu: Beides muss aufeinander abgestimmt sein, jede ins Simulationsgebiet einlaufende Störung besitzt selbst wieder die Größenordnung akustischer Wellen und kann daher vom eigentlichen Simulationsergebnis, dem durch die Strömung erzeugten Schall, schlecht getrennt werden.
Daneben ergeben sich weitere Herausforderungen, wie den Einsatz von Verfahren höherer Ordnung, um die Wellendispersion zu bewahren, deren Erhaltung in einer typischen Strömungssimulation normalerweise weder forciert wird noch das Ergebnis signifikant verbessern würde.
Schließlich sind solche Verfahren hoch-instationär, so dass sich für realistische Fragestellungen äußerst lange Rechenzeiten ergeben. Dadurch wurden sie in der Vergangenheit nur in der akademischen Forschung untersucht und angewendet. Der Schritt zur kommerziellen Nutzung schien lange undenkbar. Durch moderne Parallelisierungstechniken und Cloud-Systeme jedoch steht plötzlich auch kleineren Unternehmen wie z.B. Ingenieursdienstleitern ausreichend Rechenkapazität zur Verfügung – theoretisch, denn der Zugang hierzu ist immer noch Eingeweihten vorbehalten.
Darum haben die Gründer die Idee entwickelt, solche Verfahren nicht nur als Software, sondern als Plattform einschließlich Nutzeroberfläche anzubieten, gerade so wie bei einer konventionellen Software – nur eben über einen Browser anzusteuern. Die Plattform wird voraussichtlich im März zugänglich gemacht.
Literatur und Zusatzinformationen
Falquez, Pantle und Pritz GbR: Nubersim.de
Iris Pantle: Strömungsakustik auf der Basis akustischer Analogie mit LES und URANS, Der Andere Verlag, ISBN 978-3936231823, 2002.
Christoph Richter, Łukasz Panek, Norbert Schönwald, Mei Zhuang: Numerische Methoden in der Strömungsakustik – CAA, Vorlesungsskript, TU Berlin, 2005.
