Modellansatz Archiv
256 Episoden
22 Minuten
Hans-Georg Rück ist Professor an der Universität in Kassel in der Arbeitsgruppe Algorithmische Algebra und diskrete Mathematik. Im Rahmen des diesjährigen Weihnachtsworkshops der Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie an unserer Fakultät sprach er zu Drinfeld automorphen Formen. In unserem Gespräch gehen wir der Frage nach, was das ist und zu welchen strukturellen Einsichten diese Werkzeuge dienen können.
Automorphe Form ist ein sehr alter Begriff. Ausgangspunkt sind holomorphe Funktionen z.B. auf der oberen komplexen Halbebene. Statt Funktionen in einer komplexen Variablen werden jedoch Gruppen angewendet. Die automorphen Formen zeichnen sich dadurch aus, dass sie Invarianzeigenschaften unter bestimmten Gruppen haben. Ein einfaches Beispiel für so eine Invarianzeigenschaft ist, wenn eine Funktion z.B. den gleichen Wert für die komplexen Zahlenwerte z und z+1 hat - also periodisch ist. Ein Beispiel für eine komplexere Operation ist es, die Zahl z nicht in eine Funktion einzusetzen, sondern eine Matrix auf sie anzuwenden.
Historisch entstanden sind solche Fragestellungen z.B. dadurch, dass man den Umfang von Ellipsen ausrechnen wollte. Gelöst wurde diese Frage mit Hilfe der Weistraßschen ℘-Funktion. Diese erfüllt eine algebraische Gleichung - die sogenannte elliptische Funktion. Hiervon werden ganze Klassen von Funktionen abgeleitet. Insbesondere auch die automorphen Funktionen.
Interessant daran ist, dass man gut mit automorphen Funktionen rechnen kann. Die automorphen Formen haben die angenehme Eigenschaft, dass Reihendarstellungen häufig nach einer endlichen Zahl von Gliedern abbrechen und auch Integrale sich durch solche endliche Reihen darstellen lassen. Außerdem hängen sie mit elliptischen Kurven zusammen, die letztlich ein wesentlicher Zugang waren, um den Satz von Fermat zu beweisen.
Im Kontext der hier betrachteten Drinfeld automorphen Formen werden statt ganzer Zahlen als Argumente Funktionenkörper als Werte eingesetzt.
Ein einfacher Funktionenkörper ist die Menge der Polynome in x. Er lässt sich (so wie der Körper der ganzen Zahlen auf rationale Zahlen erweitert wird) auf rationale Funktionen erweitern. Das Rechnen mit meromorphen Funktionen und Potenzreihen kann man auf Polynome übertragen.
Geometrische Interpretationen sind recht einfach. Für die Gruppe GL(2) ist das Grundgebilde eine unterteilte Gerade also ein endlicher Graph. Da es in der Regel Funktionen auf endlichen Gebilden sind, kann man es gut mit Hilfe eines Computer ausrechnen.
Die nächsten Schritte in der Untersuchung der Drinfeld automorphen Formen müssen nun sein: Die L-Reihe bestimmen und Werte an kritischen Stellen bestimmen. Hier besteht ein einger Zusammenhang zur Riemannschen zeta-Funktion.
Literatur und Zusatzinformationen
J-P. Serre: A course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1973. Insbesondere ist das "Chapter VII, Modular Forms" wichtig.
M. Waldschmidt (ed.): From Number Theory to Physics, 2nd ed, Springer-Verlag, 2010. Wichtig ist besonders Kapitel 4 zu Modular Forms.
D. Zagier: Modular Forms of One Variable, Sommerkurs, 1991.
E.-U. Gekeler et.al: Proceedings of a Workshop on Drinfeld Modules, Modular Schemes and Applications, World Scientific, 1997.
J. Bruinier e.a. The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, (ed. K. Ranestad) Universitext, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2008.
F. Januszweski: L-Funktionen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 53, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
Automorphe Form ist ein sehr alter Begriff. Ausgangspunkt sind holomorphe Funktionen z.B. auf der oberen komplexen Halbebene. Statt Funktionen in einer komplexen Variablen werden jedoch Gruppen angewendet. Die automorphen Formen zeichnen sich dadurch aus, dass sie Invarianzeigenschaften unter bestimmten Gruppen haben. Ein einfaches Beispiel für so eine Invarianzeigenschaft ist, wenn eine Funktion z.B. den gleichen Wert für die komplexen Zahlenwerte z und z+1 hat - also periodisch ist. Ein Beispiel für eine komplexere Operation ist es, die Zahl z nicht in eine Funktion einzusetzen, sondern eine Matrix auf sie anzuwenden.
Historisch entstanden sind solche Fragestellungen z.B. dadurch, dass man den Umfang von Ellipsen ausrechnen wollte. Gelöst wurde diese Frage mit Hilfe der Weistraßschen ℘-Funktion. Diese erfüllt eine algebraische Gleichung - die sogenannte elliptische Funktion. Hiervon werden ganze Klassen von Funktionen abgeleitet. Insbesondere auch die automorphen Funktionen.
Interessant daran ist, dass man gut mit automorphen Funktionen rechnen kann. Die automorphen Formen haben die angenehme Eigenschaft, dass Reihendarstellungen häufig nach einer endlichen Zahl von Gliedern abbrechen und auch Integrale sich durch solche endliche Reihen darstellen lassen. Außerdem hängen sie mit elliptischen Kurven zusammen, die letztlich ein wesentlicher Zugang waren, um den Satz von Fermat zu beweisen.
Im Kontext der hier betrachteten Drinfeld automorphen Formen werden statt ganzer Zahlen als Argumente Funktionenkörper als Werte eingesetzt.
Ein einfacher Funktionenkörper ist die Menge der Polynome in x. Er lässt sich (so wie der Körper der ganzen Zahlen auf rationale Zahlen erweitert wird) auf rationale Funktionen erweitern. Das Rechnen mit meromorphen Funktionen und Potenzreihen kann man auf Polynome übertragen.
Geometrische Interpretationen sind recht einfach. Für die Gruppe GL(2) ist das Grundgebilde eine unterteilte Gerade also ein endlicher Graph. Da es in der Regel Funktionen auf endlichen Gebilden sind, kann man es gut mit Hilfe eines Computer ausrechnen.
Die nächsten Schritte in der Untersuchung der Drinfeld automorphen Formen müssen nun sein: Die L-Reihe bestimmen und Werte an kritischen Stellen bestimmen. Hier besteht ein einger Zusammenhang zur Riemannschen zeta-Funktion.
Literatur und Zusatzinformationen
J-P. Serre: A course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1973. Insbesondere ist das "Chapter VII, Modular Forms" wichtig.
M. Waldschmidt (ed.): From Number Theory to Physics, 2nd ed, Springer-Verlag, 2010. Wichtig ist besonders Kapitel 4 zu Modular Forms.
D. Zagier: Modular Forms of One Variable, Sommerkurs, 1991.
E.-U. Gekeler et.al: Proceedings of a Workshop on Drinfeld Modules, Modular Schemes and Applications, World Scientific, 1997.
J. Bruinier e.a. The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, (ed. K. Ranestad) Universitext, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2008.
F. Januszweski: L-Funktionen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 53, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
1 Stunde 36 Minuten
In vielen Spielen steckt Mathematik, seien es Minecraft, Wasserraketen oder Tiptoi. Lisa Mirlina und Felix Dehnen haben sich Qwirkle (ein Spiel der Schmidt Spiele von Susan McKinley Ross) einmal ganz genau angesehen.
Die beiden konnten als Teilnehmer des Hector-Seminar an einem Kooperationsprojekt mit der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) teilnehmen. Hier betreute sie Prof. Dr. Frank Herrlich in dem Projekt auf der Suche nach der perfekten Qwirkle-Lösung- wofür die beiden ihm ganz herzlich danken.
Das Legespiel war 2011 Spiel des Jahres und besteht aus 108 Spielsteinen aus sechs verschiedenen Farben und sechs verschiedenen Formen- jede Kombination kommt dabei dreimal vor. Jeder Spielteilnehmer versucht aus seinen eigenen sechs nachzuziehenden Spielsteinen gleiche Formen oder gleiche Farben auf dem Tisch in Reihen zusammenzulegen. Wie bei Scrabble gibt es für jedes Anlegen Punkte- es müssen aber alle entstehende Reihen korrekt sein- von Farbe oder Form, wie bei Mau-Mau oder Domino. Das Spielziel ist eine möglichst hohe Anzahl von Punkten zu erreichen.
Den mathematischen Hintergrund zum Spiel fanden die beiden in der Topologie: Auf einem Tisch kann man höchstens 36 Steine perfekt anordnen- auf einer anderen topologischen Struktur eventuell mehr.
Mit Hilfe von Verklebungen kann man zu Flächen wie beispielsweise auf einem Torus gelangen- wenn man die jeweils die gegenüberliegenden Seiten miteinander verklebt:
Auf einem Torus haben wirklich alle Steine vier Nachbarn- und nicht nur die Steine im Inneren. Die Frage ist nun, ob es möglich ist, eine Fläche zu finden, wo jeder der 108 Steine in genau zwei perfekten Qwirkle-Reihen- also jeder Form oder Farbe- liegen kann.
Neben einem Torus kann man durch Verkleben aus einem Quadrat oder Rechteck auch die Sphäre, das Möbiusband, die Projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche erzeugen. Dabei sind das Möbiusband, die projektive Ebene und die Kleinsche Flasche nicht mehr orientierbar, da man keinen Normalenvektor angeben kann. Die projektive Fläche hat in ihrer Darstellung durch homogene Koordinaten eine wichtige Anwendung in der Computergrafik, da Verschiebungen auch als lineare Abbildungen umgesetzt werden können und die gesamte Berechnung deutlich erleichtert.
Auch frühere Folgen zu Teichmüllerkurven (Modell042) und wilden Singularitäten (Modell060) haben im Modellansatz Podcast Topologie und Verklebungen behandelt.
Die Topologie ist dabei überhaupt nicht so theoretisch, wie sie zunächst erscheint- denn da wir nicht auf einer Ebene oder flachen Erde leben, können wir einmal um die Erde herumgehen, und nach langem Weg wieder an dem gleichen Ort wieder ankommen. Wir können auch andere Winkelsummen von Dreiecken bestimmen. Diese Experimente können wir beim Universum leider nicht leicht durchführen, und so ist die Forschung nach der Topologie des Universums sehr aktuell.
In der Topologie können Flächen bzw. zwei topologische Räume als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch eine Homöomorphie, also durch eine stetige und stetig umkehrbare Abbildung in einander überführt werden können. So ist eine Tasse (mit einem Henkel) zu einem Torus homöomorph- nicht jedoch zu einem Becher ohne Henkel.
Dies führt auf das interessante Gebiet der topologischen Klassifikation der Flächen, denn man kann durch eine genügend feine Unterteilung der Fläche in beispielsweise Dreiecke, einer Triangulierung, zusammen mit einigen Regeln die Art der Fläche bestimmen.
Dies führt auf den verallgemeinerten Satz von Euler für orientierbare Flächen, wo E die Zahl der Ecken, F die Zahl der Flächen, K die Zahl der Kanten und g das Geschlecht bezeichnet:
E+F−K=2−2g
Das Drei Häuser-Problem ist ein Knobelrätsel zu diesem Satz, da das Problem auf einer Ebene oder eine Sphäre nicht lösbar ist, jedoch auf dem Torus eine Lösung besitzt.
Für das Qwirkle-Spiel liefert der Dreifach-Torus (oder eine Brezel) eine Lösung für 8 Steine, wo jeweils zwei Steine doppelt sind und daher auf einem Tisch nicht so anzuordnen wären:
Für 18 Steine haben sie eine unsymmetrische Lösung gefunden, die sich nicht so leicht auf mehr Steine erweitern ließ:
Mit der Treppenstruktur wie bei 8 Steinen mit einer 9er Struktur kann man aber eine Lösung aus 108 Steinen konstruieren:
Nach dem Satz von Euler ist diese Lösung auf einer Fläche, die einem Fünf-Torus entspricht- oder einer Brezel mit zwei Löchern zu viel.
Dies ist aber nicht die einzige Lösung für 108 Steine- mit Gruppentheorie kann man nach weiteren Lösungen suchen: Denn so, wie die Steine sich nach Verklebung in einer Richtung wiederholen, so können auch Gruppen genau diese Wiederholungen darstellen.
Ein sehr einfaches Beispiel ist die zyklische Gruppe aus drei Elementen 0, 1, 2, die man mit der Addition verknüpft, und bei Ergebnissen über 2 wieder drei abzieht, wie man in dieser Verknüpfungstafel ablesen kann:
+012001211202201
Auf drei Elementen kann man aber auch die Symmetrische oder Permutations-Gruppe S3 definieren: In dieser sind alle möglichen sechs Vertauschungen bzw. Permutationen von den drei Elementen enthalten. Ein anderer Ansatz ist es, die drei Elemente als Ecken eines gleichseitigen Dreiecks zu sehen und alle Rotationen oder Spiegelungen zur Dieder- oder Symmetriegruppe D3 definieren. Im speziellen Fall von drei Elementen stimmen die beiden Gruppen mit je sechs Abbildungen überein, d.h. D3=S3:
Durch das direkte Produkt D3×D3×D3 von drei Symmetriegruppen D3 erhält man eine Gruppe mit 216 Elementen, unter Festhalten des Signums (bzw. Vorzeichen), kann man durch Faktorisierung eine Untergruppe mit 108 Elementen bestimmen- die Qwirkle-Gruppe.
Aus dieser Gruppe kann man nun wieder eine Fläche erzeugen, die das perfekte Qwirkle-Spiel mit 108 Steinen mit vollkommen symmetrischen Aufbau ermöglicht:
Die Fläche dieser Lösung hat das Geschlecht 37, ist also äquivalent zu einer Tasse mit 37 Henkeln.
Mit diesem Projekt starteten Lisa Mirlina und Felix Dehnen bei Jugend forscht- zunächst beim Regionalentscheid, dann beim Landesentscheid und schließlich dem Bundeswettbewerb. Sie gewannen den Preis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) für besonders kreativen Einsatz der Mathematik. Und dann ging es als Delegation nach Japan.
Literatur und Zusatzinformationen
L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle, Abschlussbericht im Hector-Seminar, 2014.
J. Stillwell: Classical topology and combinatorial group theory, Vol. 72. Springer Science & Business Media, 2012.
W. Lück: Topologie, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 40, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
Die beiden konnten als Teilnehmer des Hector-Seminar an einem Kooperationsprojekt mit der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) teilnehmen. Hier betreute sie Prof. Dr. Frank Herrlich in dem Projekt auf der Suche nach der perfekten Qwirkle-Lösung- wofür die beiden ihm ganz herzlich danken.
Das Legespiel war 2011 Spiel des Jahres und besteht aus 108 Spielsteinen aus sechs verschiedenen Farben und sechs verschiedenen Formen- jede Kombination kommt dabei dreimal vor. Jeder Spielteilnehmer versucht aus seinen eigenen sechs nachzuziehenden Spielsteinen gleiche Formen oder gleiche Farben auf dem Tisch in Reihen zusammenzulegen. Wie bei Scrabble gibt es für jedes Anlegen Punkte- es müssen aber alle entstehende Reihen korrekt sein- von Farbe oder Form, wie bei Mau-Mau oder Domino. Das Spielziel ist eine möglichst hohe Anzahl von Punkten zu erreichen.
Den mathematischen Hintergrund zum Spiel fanden die beiden in der Topologie: Auf einem Tisch kann man höchstens 36 Steine perfekt anordnen- auf einer anderen topologischen Struktur eventuell mehr.
Mit Hilfe von Verklebungen kann man zu Flächen wie beispielsweise auf einem Torus gelangen- wenn man die jeweils die gegenüberliegenden Seiten miteinander verklebt:
Auf einem Torus haben wirklich alle Steine vier Nachbarn- und nicht nur die Steine im Inneren. Die Frage ist nun, ob es möglich ist, eine Fläche zu finden, wo jeder der 108 Steine in genau zwei perfekten Qwirkle-Reihen- also jeder Form oder Farbe- liegen kann.
Neben einem Torus kann man durch Verkleben aus einem Quadrat oder Rechteck auch die Sphäre, das Möbiusband, die Projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche erzeugen. Dabei sind das Möbiusband, die projektive Ebene und die Kleinsche Flasche nicht mehr orientierbar, da man keinen Normalenvektor angeben kann. Die projektive Fläche hat in ihrer Darstellung durch homogene Koordinaten eine wichtige Anwendung in der Computergrafik, da Verschiebungen auch als lineare Abbildungen umgesetzt werden können und die gesamte Berechnung deutlich erleichtert.
Auch frühere Folgen zu Teichmüllerkurven (Modell042) und wilden Singularitäten (Modell060) haben im Modellansatz Podcast Topologie und Verklebungen behandelt.
Die Topologie ist dabei überhaupt nicht so theoretisch, wie sie zunächst erscheint- denn da wir nicht auf einer Ebene oder flachen Erde leben, können wir einmal um die Erde herumgehen, und nach langem Weg wieder an dem gleichen Ort wieder ankommen. Wir können auch andere Winkelsummen von Dreiecken bestimmen. Diese Experimente können wir beim Universum leider nicht leicht durchführen, und so ist die Forschung nach der Topologie des Universums sehr aktuell.
In der Topologie können Flächen bzw. zwei topologische Räume als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch eine Homöomorphie, also durch eine stetige und stetig umkehrbare Abbildung in einander überführt werden können. So ist eine Tasse (mit einem Henkel) zu einem Torus homöomorph- nicht jedoch zu einem Becher ohne Henkel.
Dies führt auf das interessante Gebiet der topologischen Klassifikation der Flächen, denn man kann durch eine genügend feine Unterteilung der Fläche in beispielsweise Dreiecke, einer Triangulierung, zusammen mit einigen Regeln die Art der Fläche bestimmen.
Dies führt auf den verallgemeinerten Satz von Euler für orientierbare Flächen, wo E die Zahl der Ecken, F die Zahl der Flächen, K die Zahl der Kanten und g das Geschlecht bezeichnet:
E+F−K=2−2g
Das Drei Häuser-Problem ist ein Knobelrätsel zu diesem Satz, da das Problem auf einer Ebene oder eine Sphäre nicht lösbar ist, jedoch auf dem Torus eine Lösung besitzt.
Für das Qwirkle-Spiel liefert der Dreifach-Torus (oder eine Brezel) eine Lösung für 8 Steine, wo jeweils zwei Steine doppelt sind und daher auf einem Tisch nicht so anzuordnen wären:
Für 18 Steine haben sie eine unsymmetrische Lösung gefunden, die sich nicht so leicht auf mehr Steine erweitern ließ:
Mit der Treppenstruktur wie bei 8 Steinen mit einer 9er Struktur kann man aber eine Lösung aus 108 Steinen konstruieren:
Nach dem Satz von Euler ist diese Lösung auf einer Fläche, die einem Fünf-Torus entspricht- oder einer Brezel mit zwei Löchern zu viel.
Dies ist aber nicht die einzige Lösung für 108 Steine- mit Gruppentheorie kann man nach weiteren Lösungen suchen: Denn so, wie die Steine sich nach Verklebung in einer Richtung wiederholen, so können auch Gruppen genau diese Wiederholungen darstellen.
Ein sehr einfaches Beispiel ist die zyklische Gruppe aus drei Elementen 0, 1, 2, die man mit der Addition verknüpft, und bei Ergebnissen über 2 wieder drei abzieht, wie man in dieser Verknüpfungstafel ablesen kann:
+012001211202201
Auf drei Elementen kann man aber auch die Symmetrische oder Permutations-Gruppe S3 definieren: In dieser sind alle möglichen sechs Vertauschungen bzw. Permutationen von den drei Elementen enthalten. Ein anderer Ansatz ist es, die drei Elemente als Ecken eines gleichseitigen Dreiecks zu sehen und alle Rotationen oder Spiegelungen zur Dieder- oder Symmetriegruppe D3 definieren. Im speziellen Fall von drei Elementen stimmen die beiden Gruppen mit je sechs Abbildungen überein, d.h. D3=S3:
Durch das direkte Produkt D3×D3×D3 von drei Symmetriegruppen D3 erhält man eine Gruppe mit 216 Elementen, unter Festhalten des Signums (bzw. Vorzeichen), kann man durch Faktorisierung eine Untergruppe mit 108 Elementen bestimmen- die Qwirkle-Gruppe.
Aus dieser Gruppe kann man nun wieder eine Fläche erzeugen, die das perfekte Qwirkle-Spiel mit 108 Steinen mit vollkommen symmetrischen Aufbau ermöglicht:
Die Fläche dieser Lösung hat das Geschlecht 37, ist also äquivalent zu einer Tasse mit 37 Henkeln.
Mit diesem Projekt starteten Lisa Mirlina und Felix Dehnen bei Jugend forscht- zunächst beim Regionalentscheid, dann beim Landesentscheid und schließlich dem Bundeswettbewerb. Sie gewannen den Preis der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV) für besonders kreativen Einsatz der Mathematik. Und dann ging es als Delegation nach Japan.
Literatur und Zusatzinformationen
L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle, Abschlussbericht im Hector-Seminar, 2014.
J. Stillwell: Classical topology and combinatorial group theory, Vol. 72. Springer Science & Business Media, 2012.
W. Lück: Topologie, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 40, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
26 Minuten
If we are interested in the propagation of waves around a small region of interest, like e.g. an obstacle inside a very big ("unbounded") domain, one way to bring such problems to the computer and solve them numerically is to cut that unbounded domain to a bounded domain. But to have a well-posed problem we have to prescribe boundary conditions on the so-called artificial boundary, which are not inherent in our original problem. This is a classical problem which is not only connected to wave phenomena.
Sonia Fliss is interested in so-called transparent boundary conditions. These are the boundary conditions on the artificial boundaries with just the right properties. There are several classical methods like perfectly matched layers (PML) around the region of interest. They are built to absorb incoming waves (complex stretching of space variable). But unfortunately this does not work for non-homogeneous media.
Traditionally, also boundary integral equations were used to construct transparent boundary conditions. But in general, this is not possible for anisotropic media (or heterogenous media, e.g. having periodic properties).
The main idea in the work of Sonia Fliss is quite simple: She surrounds the region of interest with half spaces (three or more). Then, the solutions in each of these half spaces are determined by Fourier transform (or Floquet waves for periodic media, respectively). The difficulty is that in the overlap of the different half spaces the representations of the solutions have to coincide.
Sonia Fliss proposes a method which ensures that this is true (eventually under certain compatibility conditions). The chosen number of half spaces does not change the method very much. The idea is charmingly simple, but the proof that these solutions exist and have the right properties is more involved. She is still working on making the proofs more easy to understand and apply.
It is a fun fact, that complex media were the starting point for the idea, and only afterwards it became clear that it also works perfectly well for homogeneous (i.e. much less complex) media. One might consider this to be very theoretical result, but they lead to numerical simulations which match our expectations and are quite impressive and impossible without knowing the right transparent boundary conditions.
Sonia Fliss is still very fascinated by the many open theoretical questions. At the moment she is working at Ecole Nationale Supérieure des Techniques avancées (ENSTA) near Paris as Maitre de conférence.
Literature and additional material
C. Besse, J. Coatleven, S. Fliss, I. Lacroix-Violet, K. Ramdani: Transparent boundary conditions for locally perturbed infinite hexagonal periodic media, arXiv preprint arXiv:1205.5345, 2012.
S. Fliss, P. Joly: Exact boundary conditions for time-harmonic wave propagation in locally perturbed periodic media, Applied Numerical Mathematics 59.9: 2155-2178, 2009.
L. Bourgeois, S. Fliss: On the identification of defects in a periodic waveguide from far field data, Inverse Problems 30.9: 095004, 2014.
Sonia Fliss is interested in so-called transparent boundary conditions. These are the boundary conditions on the artificial boundaries with just the right properties. There are several classical methods like perfectly matched layers (PML) around the region of interest. They are built to absorb incoming waves (complex stretching of space variable). But unfortunately this does not work for non-homogeneous media.
Traditionally, also boundary integral equations were used to construct transparent boundary conditions. But in general, this is not possible for anisotropic media (or heterogenous media, e.g. having periodic properties).
The main idea in the work of Sonia Fliss is quite simple: She surrounds the region of interest with half spaces (three or more). Then, the solutions in each of these half spaces are determined by Fourier transform (or Floquet waves for periodic media, respectively). The difficulty is that in the overlap of the different half spaces the representations of the solutions have to coincide.
Sonia Fliss proposes a method which ensures that this is true (eventually under certain compatibility conditions). The chosen number of half spaces does not change the method very much. The idea is charmingly simple, but the proof that these solutions exist and have the right properties is more involved. She is still working on making the proofs more easy to understand and apply.
It is a fun fact, that complex media were the starting point for the idea, and only afterwards it became clear that it also works perfectly well for homogeneous (i.e. much less complex) media. One might consider this to be very theoretical result, but they lead to numerical simulations which match our expectations and are quite impressive and impossible without knowing the right transparent boundary conditions.
Sonia Fliss is still very fascinated by the many open theoretical questions. At the moment she is working at Ecole Nationale Supérieure des Techniques avancées (ENSTA) near Paris as Maitre de conférence.
Literature and additional material
C. Besse, J. Coatleven, S. Fliss, I. Lacroix-Violet, K. Ramdani: Transparent boundary conditions for locally perturbed infinite hexagonal periodic media, arXiv preprint arXiv:1205.5345, 2012.
S. Fliss, P. Joly: Exact boundary conditions for time-harmonic wave propagation in locally perturbed periodic media, Applied Numerical Mathematics 59.9: 2155-2178, 2009.
L. Bourgeois, S. Fliss: On the identification of defects in a periodic waveguide from far field data, Inverse Problems 30.9: 095004, 2014.
23 Minuten
How do populations evolve? This question inspired Alberto Saldaña to his PhD thesis on Partial symmetries of solutions to nonlinear elliptic and parabolic problems in bounded radial domains. He considered an extended Lotka-Volterra models which is describing the dynamics of two species such as wolves in a bounded radial domain:
(u1)t−μ1Δu1=a1(t)u1−b1(t)u12−α1(t)u1u2(u2)t−μ2Δu2=a2(t)u2−b2(t)u22−α2(t)u1u2
For each species, the model contains the diffusion μ of a individual beings, the birth rate a, the saturation rate or concentration b, and the aggressiveness rate α.
Starting from an initial condition, a distribution of u1 and u2 in the regarded domain, above equations with additional constraints for well-posedness will describe the future outcome. In the long run, this could either be co-existence, or extinction of one or both species. In case of co-existence, the question is how they will separate on the assumed radial bounded domain. For this, he adapted a moving plane method.
On a bounded domain, the given boundary conditions are an important aspect for the mathematical model: In this setup, a homogeneous Neumann boundary condition can represent a fence, which no-one, or no wolve, can cross, wereas a homogeneous Dirichlet boundary condition assumes a lethal boundary, such as an electric fence or cliff, which sets the density of living, or surviving, individuals touching the boundary to zero.
The initial conditions, that is the distribution of the wolf species, were quite general but assumed to be nearly reflectional symmetric.
The analytical treatment of the system was less tedious in the case of Neumann boundary conditions due to reflection symmetry at the boundary, similar to the method of image charges in electrostatics. The case of Dirichlet boundary conditions needed more analytical results, such as the Serrin's boundary point lemma. It turned out, that asymtotically in both cases the two species will separate into two symmetric functions. Here, Saldaña introduced a new aspect to this problem: He let the birth rate, saturation rate and agressiveness rate vary in time. This time-dependence modelled seasons, such as wolves behaviour depends on food availability.
The Lotka-Volterra model can also be adapted to a predator-prey setting or a cooperative setting, where the two species live symbiotically. In the latter case, there also is an asymptotical solution, in which the two species do not separate- they stay together.
Alberto Saldaña startet his academic career in Mexico where he found his love for mathematical analysis. He then did his Ph.D. in Frankfurt, and now he is a Post-Doc in the Mathematical Department at the University of Brussels.
Literature and additional material
A. Saldaña, T. Weth: On the asymptotic shape of solutions to Neumann problems for non-cooperative parabolic systems, Journal of Dynamics and Differential Equations,Volume 27, Issue 2, pp 307-332, 2015.
A. Saldaña: Qualitative properties of coexistence and semi-trivial limit profiles of nonautonomous nonlinear parabolic Dirichlet systems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 130:31 46, 2016.
A. Saldaña: Partial symmetries of solutions to nonlinear elliptic and parabolic problems in bounded radial domains, PhD thesis, Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main, Germany, 2014.
A. Saldaña, T. Weth: Asymptotic axial symmetry of solutions of parabolic equations in bounded radial domains, Journal of Evolution Equations 12.3: 697-712, 2012.
(u1)t−μ1Δu1=a1(t)u1−b1(t)u12−α1(t)u1u2(u2)t−μ2Δu2=a2(t)u2−b2(t)u22−α2(t)u1u2
For each species, the model contains the diffusion μ of a individual beings, the birth rate a, the saturation rate or concentration b, and the aggressiveness rate α.
Starting from an initial condition, a distribution of u1 and u2 in the regarded domain, above equations with additional constraints for well-posedness will describe the future outcome. In the long run, this could either be co-existence, or extinction of one or both species. In case of co-existence, the question is how they will separate on the assumed radial bounded domain. For this, he adapted a moving plane method.
On a bounded domain, the given boundary conditions are an important aspect for the mathematical model: In this setup, a homogeneous Neumann boundary condition can represent a fence, which no-one, or no wolve, can cross, wereas a homogeneous Dirichlet boundary condition assumes a lethal boundary, such as an electric fence or cliff, which sets the density of living, or surviving, individuals touching the boundary to zero.
The initial conditions, that is the distribution of the wolf species, were quite general but assumed to be nearly reflectional symmetric.
The analytical treatment of the system was less tedious in the case of Neumann boundary conditions due to reflection symmetry at the boundary, similar to the method of image charges in electrostatics. The case of Dirichlet boundary conditions needed more analytical results, such as the Serrin's boundary point lemma. It turned out, that asymtotically in both cases the two species will separate into two symmetric functions. Here, Saldaña introduced a new aspect to this problem: He let the birth rate, saturation rate and agressiveness rate vary in time. This time-dependence modelled seasons, such as wolves behaviour depends on food availability.
The Lotka-Volterra model can also be adapted to a predator-prey setting or a cooperative setting, where the two species live symbiotically. In the latter case, there also is an asymptotical solution, in which the two species do not separate- they stay together.
Alberto Saldaña startet his academic career in Mexico where he found his love for mathematical analysis. He then did his Ph.D. in Frankfurt, and now he is a Post-Doc in the Mathematical Department at the University of Brussels.
Literature and additional material
A. Saldaña, T. Weth: On the asymptotic shape of solutions to Neumann problems for non-cooperative parabolic systems, Journal of Dynamics and Differential Equations,Volume 27, Issue 2, pp 307-332, 2015.
A. Saldaña: Qualitative properties of coexistence and semi-trivial limit profiles of nonautonomous nonlinear parabolic Dirichlet systems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 130:31 46, 2016.
A. Saldaña: Partial symmetries of solutions to nonlinear elliptic and parabolic problems in bounded radial domains, PhD thesis, Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main, Germany, 2014.
A. Saldaña, T. Weth: Asymptotic axial symmetry of solutions of parabolic equations in bounded radial domains, Journal of Evolution Equations 12.3: 697-712, 2012.
1 Stunde 26 Minuten
Die Nullnummer eines Podcasts behandelt die Hintergründe, Themen und Motivation für die Reihe. Dazu ist Nele Heise zu Besuch nach Karlsruhe gekommen, und spricht mit Gudrun Thäter und Sebastian Ritterbusch über Podcasts, Wissenschaftskommunkation und den Modellansatz.
Nele Heise, M.A., (@neleheise) ist freie Medienforscherin, Mitglied der Graduate School am Research Center Media and Communication Hamburg und beschäftigt sich in ihrem Promotionsprojekt mit den technischen und sozialen Rahmenbedingungen von Podcasting. Von 2005 bis 2011 studierte sie Kommunikationswissenschaft an der Universität Erfurt und war anschließend bis Sommer 2014 wissenschaftliche Mitarbeiterin in dem DFG-Projekt 'Die (Wieder-)Entdeckung des Publikums' am renommierten Hans-Bredow-Institut für Medienforschung an der Universität Hamburg. Als freie Medienforscherin setzt sie sich in Vorträgen, Gastartikeln, Workshops oder Paneldiskussionen mit Prozessen und Folgen des digitalen Wandels, ethischen Aspekten der Onlinekommunikation oder medialer Teilhabe auseinander. Nele kommt ursprünglich aus der freien Radio-Szene und hat 2003/2004 die Thüringen-Redaktion der Jugendzeitschrift SPIESSER aufgebaut.
Im Haus der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) befindet sich auch das Nationale Institut für Wissenschaftskommunikation (NaWik) und Nele Heise wurde von Prof. Dr. Annette Lessmöllmann eingeladen, im assozierten Master-Studiengang Wissenschaft - Medien - Kommunikation vorzutragen: In Wissen to Go (Folien) stellte sie die Frage: "Was hat Wissenschaftskommunikation mit Podcasts zu tun?". Sie kam neben der Einführung in Podcasts und aktuellen Themen der Wissenschaftskommunikation zu Formaten, die von Wissenschaffenden selbst getragen werden. Besondere Beispiele waren hier Methodisch inkorrekt, der KonScience Podcast und natürlich auch der BredowCast, der mit von ihr initiiert wurde. Diese Darstellung der Wissenschaft, fernab von Hierarchien, sieht sie als ein Produkt des Digitalen Wandels, das zeigt, welche neuen Rollen und Modelle sich in der Wissenschaftskommunikation etablieren könnten.
Der Podcast SciComm – wissen, was läuft von den Studierenden des Studiengangs befasst sich entsprechend offensiv mit den aktuellen Themen der Wissenschaftskommunikation und dem Bild der Wissenschaft in den Medien: In SciComm Folge 2 im Gespräch mit Dr. Sven Stollfuß geht es um die Nerds in Big Bang Theory oder CSI und das daraus resultierende Bild der Wissenschaft.
Für den Modellansatz Podcast war der von der DLR und ESA ins Leben gerufene Raumzeit Podcast ein prägendes Element, in dem die Gespräche komplexe Themen nicht scheuen oder simplifizieren, sondern sie in der erforderlichen Breite spannend erklären und so die Hörerschaft ernst nehmen. Dieser Ansatz scheint sich auch daran zu bestätigen, dass das vergleichsweise komplizierte Thema der L-Funktionen in der Zahlentheorie eine der gefragtesten Folgen des Modellansatz Podcasts ist. Dies steht im erstaunlichen Widerspruch zum Selbstverständnis der Wissenschaft in abstrakteren Themenbereichen, bei denen oft von einem Desinteresse der Öffentlichkeit ausgegangen wird.
Viele Gesprächspartnerinnen im Podcast sind am Ende positiv über die Art der Themenbehandlung überrascht, und das liegt sicher auch an den Eigenheiten des besonderen Mediums. Der Podcasts ist laut Tim Pritlove das "mit Abstand persönlichste Medium überhaupt". Der Raum für Fragen, für die Themen selbst statt Klischees, erleichtert die Kommunikation für die Wissenschaffenden ungemein. So werden auch Ideen, Fehlschläge und überraschende Ansätze der Forschenden zu einem faszinierenden und lehrreichen Kommunikationsthema im Gegensatz zu Publikationen oder vereinfachenden Zusammenfassungen, die sich oft nur auf Resultate reduzieren. Gleichzeitig wird den Forschenden auf eine sehr menschliche Art die Möglichkeit geboten, über ihre mathematischen Ideen, die Faszination und Ergebnisse ihrer Arbeit zu sprechen.
Dies trifft natürlich auch auf andere Forschungsgebiete zu, wie beispielsweise Daniel Meßner in den Stimmen der Kulturwissenschaft demonstriert. Auch beim BredowCast oder beim Forschergeist werden die Forschenden im Gespräch mit ihren vielfältigen Facetten und Interessen in natürlicher Weise zum Medium dargestellt.
Daher waren die Forscherinnen, Absolventen und Lehrenden für den Modellansatz schon von Anfang an ein Schwerpunkt für die Auswahl der Gespräche. So fanden Themen der aktuellen Wissenschaft und faszinierende Abschlussarbeiten ihren Weg in den Podcast. Aber auch in der Lehre kann der Podcast die traditionellen Angebote unterstützen und häufige Fragen aus Sprechstunden im Dialog sehr zielgerichtet adressieren. Hier ist die Interaktion mit dem Podcast ein spannendes Thema, und Frameworks wie Podlove bieten eine umfassende Lösung, wie Publikation und Feedback für Podcasts gelöst werden kann.
Ein Podcast aus der Praxis der Forschung und Lehre bietet auch die Chance, einen ausgewogeneren Einblick in die Realität der Wissenschaft zu liefern: So sprechen im Modellansatz neben Professorinnen auch junge Absolventinnen und Schüler. Dies bietet einmal einen größeren Grad an Identifikation und dies passt auch gerade zu den Ergebnissen der ARD/ZDF-Onlinestudie 2015, die eine höhere Podcastnutzung gerade bei jüngeren Personen aufzeigt. Ebenso zeigt der Podcast den selbstverständlichen Querschnitt von Frauen wie Männern in der Wissenschaft. Auch in der allgemeinen Podcastlandschaft werden die Frauenstimmen immer zahlreicher, wie die von Nele Heise initiierte Liste zeigt, die von der Hörsuppe in ein Flattrboard gebracht wurde: Frauenstimmen im Netz - die Podcasterinnen-Liste.
Leider haben Podcasts in der deutschsprachigen Wissenschaftskommunikation noch keinen hohen Stellenwert, obwohl das Medium einzigartige Vorteile besitzt, wie Henning Krause im Beitrag Wissenschaft auf die Ohren: Audiopodcasts beschreibt. Hier können kuratierte Angebote wie die Wissenschaftspodcasts-Seite (@wisspod) den Einstieg erleichtern und die Verbreitung der Angebote im Wissenschaftsraum fördern.
Das soll natürlich auch alle interessierten in der Wissenschaft motivieren, selbst das Mikro in die Hand zu nehmen und über ihre Berufung zu sprechen - denn wer kann authentischer die eigene Motivation, Ideen und Ergebnisse vermitteln als man selbst? Für den Start gibt es viele Anlaufpunkte, wie das Sendegate, das jährliche Wissenschaftspodcaster Treffen #GanzOhr, die Podlove Podcaster Workshops oder Podcast MeetUps in der Nähe. Die Community bietet viel Unterstützung, und so war Toby Baier beispielsweise eine große Hilfe beim Start des BredowCast.
Eine Besonderheit von Podcasts ist auch die Verknüpfung des gesprochenen Worts mit den Sendungsnotizen oder Shownotes. Gerade in der Wissenschaft haben Referenzen einen hohen Stellenwert: Es geht hier um Sichtbarkeit, die Herstellung des Kontexts, die Vernetzung mit weiteren Quellen und die Belege für Aussagen. Dies kann und sollte daher in wissenschaftlichen Podcasts eine besondere Aufmerksamkeit erhalten: Neben der traditionellen Referenzierung können sprachliche Ungenauigkeiten detailliert oder korrigiert werden, und die im erwünscht flüssigen Gespräch schwierigen Querverweise nachträglich im Text erfolgen. Letztlich bieten die Texte auf dem Stand der Technik von Suchmaschinen noch eine besonders gute Auffindbarkeit der sonst schwer durchsuchbaren Audiodateien.
Eine weitere interessante Ergänzung ist die Erstellung von EBooks, wie Helfrich et al. in Visualization of lithosphere subduction: application to the mantle evolution beneath the Japanese Islands demonstrieren. Hier können schriftliche Medien mit Videos und Tonmedien interaktiv zum erlebenden Lernen zusammengeführt werden.
Gerade im Bereich der Lehre können Podcasts den Studierenden und den Lehrenden große Vorteile bringen: Neben dem Ansatz im Flipped Classroom das passive Lernen nach Hause und das aktive Lernen in die Vorlesung zu bringen, haben sich schon die Zusammenfassungen von ganzen Vorlesungen sehr bewährt. Im Modellansatz gibt es dazu die Beispiele der Vorlesungen zur Analysis oder die digitalen Währungen. Dabei sind die Folgen aber keine traditionellen Vorlesungsmitschnitte, sondern spannende Gespräche mit Dozent oder Übungsleiter, wo durch die Unterhaltung die Motivation deutlich steigt. Dabei müssen natürlich nicht alle Darstellungen so spektakulär sein wie das Intro der Folge 62 von Methodisch Inkorrekt (mit dem Reinhard Remfort nichts zu tun hatte).
Für den Spracherwerb und auch zur Behandlung von Trauma- und Suchtpatientinnen haben sich Audiopodcasts als begleitendes Medium bewährt und es gibt in der Artikelliste von Nele Heise zum Thema Podcasts wissenschaftliche Studien zu diesem Thema. Interessant sind auch Podcast-Konzepte mit einem vordefiniertem Umfang, wie beispielsweise dem Grounded Theory Podcast (Grounded Theory auf Soundcloud).
Die Gespräche werden von den Stimmen getragen - seien es so erfahrene Podcasterinnen wie Annik Rubens oder der Wissenschaftler, der zuvor nie in ein Mikro gesprochen hat - sie alle stellen die Vielfalt der Mitwirkenden dar. Gerade im Audiopodcast werden unterschiedliche Stimmen sehr offen aufgenommen und bieten einen viel tieferen persönlichen Bezug zwischen Hörerin und Sprecherin.
Der Blick in die USA zeigt, welchen Stellenwert Podcasts in der Gesellschaft haben können, der sich laut Marco Arment auch noch deutlich erweitern wird. Auch die Entwicklung der Wissenschaftskommunikation ist laut dem SciComm Gespräch mit Prof. Scheufele deutlich weiter. Was sich von diesen Entwicklungen in den deutschsprachigen Raum überträgt, wird sicher auch auf die Wissenschaftspodcasts einen großen Einfluss haben.
Literatur und Zusatzinformationen
Nele Heise: Podcast Forschung, 5. Podlove Podcaster Workshop, Berlin, Mai 2015.
Nele Heise: Forschungserkenntnisse zur Hörerschaft von Podcasts, 6. Podlove Podcaster Workshop, Berlin, November 2015.
Vorträge von Nele Heise auf Slideshare
Nele Heise: Studien und Artikel zum Thema Podcasts / Podcasting
Forum Wissenschaftskommunikation 2015: Der kommunizierende Wissenschaftler- das (un)bekannte Wesen
Nele Heise, M.A., (@neleheise) ist freie Medienforscherin, Mitglied der Graduate School am Research Center Media and Communication Hamburg und beschäftigt sich in ihrem Promotionsprojekt mit den technischen und sozialen Rahmenbedingungen von Podcasting. Von 2005 bis 2011 studierte sie Kommunikationswissenschaft an der Universität Erfurt und war anschließend bis Sommer 2014 wissenschaftliche Mitarbeiterin in dem DFG-Projekt 'Die (Wieder-)Entdeckung des Publikums' am renommierten Hans-Bredow-Institut für Medienforschung an der Universität Hamburg. Als freie Medienforscherin setzt sie sich in Vorträgen, Gastartikeln, Workshops oder Paneldiskussionen mit Prozessen und Folgen des digitalen Wandels, ethischen Aspekten der Onlinekommunikation oder medialer Teilhabe auseinander. Nele kommt ursprünglich aus der freien Radio-Szene und hat 2003/2004 die Thüringen-Redaktion der Jugendzeitschrift SPIESSER aufgebaut.
Im Haus der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) befindet sich auch das Nationale Institut für Wissenschaftskommunikation (NaWik) und Nele Heise wurde von Prof. Dr. Annette Lessmöllmann eingeladen, im assozierten Master-Studiengang Wissenschaft - Medien - Kommunikation vorzutragen: In Wissen to Go (Folien) stellte sie die Frage: "Was hat Wissenschaftskommunikation mit Podcasts zu tun?". Sie kam neben der Einführung in Podcasts und aktuellen Themen der Wissenschaftskommunikation zu Formaten, die von Wissenschaffenden selbst getragen werden. Besondere Beispiele waren hier Methodisch inkorrekt, der KonScience Podcast und natürlich auch der BredowCast, der mit von ihr initiiert wurde. Diese Darstellung der Wissenschaft, fernab von Hierarchien, sieht sie als ein Produkt des Digitalen Wandels, das zeigt, welche neuen Rollen und Modelle sich in der Wissenschaftskommunikation etablieren könnten.
Der Podcast SciComm – wissen, was läuft von den Studierenden des Studiengangs befasst sich entsprechend offensiv mit den aktuellen Themen der Wissenschaftskommunikation und dem Bild der Wissenschaft in den Medien: In SciComm Folge 2 im Gespräch mit Dr. Sven Stollfuß geht es um die Nerds in Big Bang Theory oder CSI und das daraus resultierende Bild der Wissenschaft.
Für den Modellansatz Podcast war der von der DLR und ESA ins Leben gerufene Raumzeit Podcast ein prägendes Element, in dem die Gespräche komplexe Themen nicht scheuen oder simplifizieren, sondern sie in der erforderlichen Breite spannend erklären und so die Hörerschaft ernst nehmen. Dieser Ansatz scheint sich auch daran zu bestätigen, dass das vergleichsweise komplizierte Thema der L-Funktionen in der Zahlentheorie eine der gefragtesten Folgen des Modellansatz Podcasts ist. Dies steht im erstaunlichen Widerspruch zum Selbstverständnis der Wissenschaft in abstrakteren Themenbereichen, bei denen oft von einem Desinteresse der Öffentlichkeit ausgegangen wird.
Viele Gesprächspartnerinnen im Podcast sind am Ende positiv über die Art der Themenbehandlung überrascht, und das liegt sicher auch an den Eigenheiten des besonderen Mediums. Der Podcasts ist laut Tim Pritlove das "mit Abstand persönlichste Medium überhaupt". Der Raum für Fragen, für die Themen selbst statt Klischees, erleichtert die Kommunikation für die Wissenschaffenden ungemein. So werden auch Ideen, Fehlschläge und überraschende Ansätze der Forschenden zu einem faszinierenden und lehrreichen Kommunikationsthema im Gegensatz zu Publikationen oder vereinfachenden Zusammenfassungen, die sich oft nur auf Resultate reduzieren. Gleichzeitig wird den Forschenden auf eine sehr menschliche Art die Möglichkeit geboten, über ihre mathematischen Ideen, die Faszination und Ergebnisse ihrer Arbeit zu sprechen.
Dies trifft natürlich auch auf andere Forschungsgebiete zu, wie beispielsweise Daniel Meßner in den Stimmen der Kulturwissenschaft demonstriert. Auch beim BredowCast oder beim Forschergeist werden die Forschenden im Gespräch mit ihren vielfältigen Facetten und Interessen in natürlicher Weise zum Medium dargestellt.
Daher waren die Forscherinnen, Absolventen und Lehrenden für den Modellansatz schon von Anfang an ein Schwerpunkt für die Auswahl der Gespräche. So fanden Themen der aktuellen Wissenschaft und faszinierende Abschlussarbeiten ihren Weg in den Podcast. Aber auch in der Lehre kann der Podcast die traditionellen Angebote unterstützen und häufige Fragen aus Sprechstunden im Dialog sehr zielgerichtet adressieren. Hier ist die Interaktion mit dem Podcast ein spannendes Thema, und Frameworks wie Podlove bieten eine umfassende Lösung, wie Publikation und Feedback für Podcasts gelöst werden kann.
Ein Podcast aus der Praxis der Forschung und Lehre bietet auch die Chance, einen ausgewogeneren Einblick in die Realität der Wissenschaft zu liefern: So sprechen im Modellansatz neben Professorinnen auch junge Absolventinnen und Schüler. Dies bietet einmal einen größeren Grad an Identifikation und dies passt auch gerade zu den Ergebnissen der ARD/ZDF-Onlinestudie 2015, die eine höhere Podcastnutzung gerade bei jüngeren Personen aufzeigt. Ebenso zeigt der Podcast den selbstverständlichen Querschnitt von Frauen wie Männern in der Wissenschaft. Auch in der allgemeinen Podcastlandschaft werden die Frauenstimmen immer zahlreicher, wie die von Nele Heise initiierte Liste zeigt, die von der Hörsuppe in ein Flattrboard gebracht wurde: Frauenstimmen im Netz - die Podcasterinnen-Liste.
Leider haben Podcasts in der deutschsprachigen Wissenschaftskommunikation noch keinen hohen Stellenwert, obwohl das Medium einzigartige Vorteile besitzt, wie Henning Krause im Beitrag Wissenschaft auf die Ohren: Audiopodcasts beschreibt. Hier können kuratierte Angebote wie die Wissenschaftspodcasts-Seite (@wisspod) den Einstieg erleichtern und die Verbreitung der Angebote im Wissenschaftsraum fördern.
Das soll natürlich auch alle interessierten in der Wissenschaft motivieren, selbst das Mikro in die Hand zu nehmen und über ihre Berufung zu sprechen - denn wer kann authentischer die eigene Motivation, Ideen und Ergebnisse vermitteln als man selbst? Für den Start gibt es viele Anlaufpunkte, wie das Sendegate, das jährliche Wissenschaftspodcaster Treffen #GanzOhr, die Podlove Podcaster Workshops oder Podcast MeetUps in der Nähe. Die Community bietet viel Unterstützung, und so war Toby Baier beispielsweise eine große Hilfe beim Start des BredowCast.
Eine Besonderheit von Podcasts ist auch die Verknüpfung des gesprochenen Worts mit den Sendungsnotizen oder Shownotes. Gerade in der Wissenschaft haben Referenzen einen hohen Stellenwert: Es geht hier um Sichtbarkeit, die Herstellung des Kontexts, die Vernetzung mit weiteren Quellen und die Belege für Aussagen. Dies kann und sollte daher in wissenschaftlichen Podcasts eine besondere Aufmerksamkeit erhalten: Neben der traditionellen Referenzierung können sprachliche Ungenauigkeiten detailliert oder korrigiert werden, und die im erwünscht flüssigen Gespräch schwierigen Querverweise nachträglich im Text erfolgen. Letztlich bieten die Texte auf dem Stand der Technik von Suchmaschinen noch eine besonders gute Auffindbarkeit der sonst schwer durchsuchbaren Audiodateien.
Eine weitere interessante Ergänzung ist die Erstellung von EBooks, wie Helfrich et al. in Visualization of lithosphere subduction: application to the mantle evolution beneath the Japanese Islands demonstrieren. Hier können schriftliche Medien mit Videos und Tonmedien interaktiv zum erlebenden Lernen zusammengeführt werden.
Gerade im Bereich der Lehre können Podcasts den Studierenden und den Lehrenden große Vorteile bringen: Neben dem Ansatz im Flipped Classroom das passive Lernen nach Hause und das aktive Lernen in die Vorlesung zu bringen, haben sich schon die Zusammenfassungen von ganzen Vorlesungen sehr bewährt. Im Modellansatz gibt es dazu die Beispiele der Vorlesungen zur Analysis oder die digitalen Währungen. Dabei sind die Folgen aber keine traditionellen Vorlesungsmitschnitte, sondern spannende Gespräche mit Dozent oder Übungsleiter, wo durch die Unterhaltung die Motivation deutlich steigt. Dabei müssen natürlich nicht alle Darstellungen so spektakulär sein wie das Intro der Folge 62 von Methodisch Inkorrekt (mit dem Reinhard Remfort nichts zu tun hatte).
Für den Spracherwerb und auch zur Behandlung von Trauma- und Suchtpatientinnen haben sich Audiopodcasts als begleitendes Medium bewährt und es gibt in der Artikelliste von Nele Heise zum Thema Podcasts wissenschaftliche Studien zu diesem Thema. Interessant sind auch Podcast-Konzepte mit einem vordefiniertem Umfang, wie beispielsweise dem Grounded Theory Podcast (Grounded Theory auf Soundcloud).
Die Gespräche werden von den Stimmen getragen - seien es so erfahrene Podcasterinnen wie Annik Rubens oder der Wissenschaftler, der zuvor nie in ein Mikro gesprochen hat - sie alle stellen die Vielfalt der Mitwirkenden dar. Gerade im Audiopodcast werden unterschiedliche Stimmen sehr offen aufgenommen und bieten einen viel tieferen persönlichen Bezug zwischen Hörerin und Sprecherin.
Der Blick in die USA zeigt, welchen Stellenwert Podcasts in der Gesellschaft haben können, der sich laut Marco Arment auch noch deutlich erweitern wird. Auch die Entwicklung der Wissenschaftskommunikation ist laut dem SciComm Gespräch mit Prof. Scheufele deutlich weiter. Was sich von diesen Entwicklungen in den deutschsprachigen Raum überträgt, wird sicher auch auf die Wissenschaftspodcasts einen großen Einfluss haben.
Literatur und Zusatzinformationen
Nele Heise: Podcast Forschung, 5. Podlove Podcaster Workshop, Berlin, Mai 2015.
Nele Heise: Forschungserkenntnisse zur Hörerschaft von Podcasts, 6. Podlove Podcaster Workshop, Berlin, November 2015.
Vorträge von Nele Heise auf Slideshare
Nele Heise: Studien und Artikel zum Thema Podcasts / Podcasting
Forum Wissenschaftskommunikation 2015: Der kommunizierende Wissenschaftler- das (un)bekannte Wesen
24 Minuten
Durch Unterstützung von dem Fraunhofer Institut für Solare Energiesysteme ISE konnte sich Edwin Hernandez mit der Optimierung von Sonnenkollektoren befassen. Speziell ging es dabei um Thermische Sonnenkollektoren, bei denen das Sonnenlicht einen flüssigen Wärmeträger erhitzt. Diese Träger können Wasser, Salzlösungen oder Öle mit hohen Wärmekapazitäten sein.
Gängige Solarkollektoren verwenden inkompressible Fluide, wie Öle oder Wasser unter hohem Druck, die ihre Phase während der Erwärmung und Abkühlung nicht ändern. Die spannende Frage ist nun, wie sich die Verwendung von kompressiblen Fluiden auswirkt, beispielsweise bei Fluiden, die- wie Wasser- bei Erhitzung gasförming werden. Dies hat Edwin Hernandez simuliert.
Die Grundlage für die Simulation ist das lang erprobte PFM (plug flow model) im ColSim - Collector Simulation Environment des ISE für inkompressible Fluide, wo vorausgesetzt wird, dass immer die gleiche Masse ein Rohrstück betritt, wie sie das Stück am anderen Ende verlässt. Diese Massenbilanz für ein Rohrstück wird bei kompressiblen Fluiden verletzt, da die gasförmige Phase ein deutlich höheren Platzbedarf hat.
Im Modell wird das Rohr Im Kollektor sinnvollerweise eindimensional angesetzt, da die Länge des Rohrs die Dicke bei weitem überschreitet. Darauf werden die Bilanzgleichungen formuliert. Die enstehenden Gleichungen werden diskretisiert und approximativ gelöst. Die Umsetzung eines erweiterten PFM-Verfahrens (EPFM) und der SIMPLER-Methode erfolgte als neues Modul im ColSim - Collector Simulation Environment Framework. Die neue Methode berücksichtigt ein viel umfangreicheres physikalisches Modell, ist im Gegensatz zu den direkten Lösern des PFM-Verfahrens nun aber auch nur iterativ und damit hier mit mehr Rechenaufwand lösbar.
Literatur und Zusatzinformationen
H. Walter: Modellbildung und numerische Simulation von Naturumlaufdampferzeugern, VDI-Verlag, 2001.
J. F. Feldhoff, T. Hirsch, R. Pitz-Paal, L. Valenzula: Transient models and characteristics of once-through line focus systems, SolarPaces, Beijing, China, 2014.
ColSim - Collector Simulation Environment
Gängige Solarkollektoren verwenden inkompressible Fluide, wie Öle oder Wasser unter hohem Druck, die ihre Phase während der Erwärmung und Abkühlung nicht ändern. Die spannende Frage ist nun, wie sich die Verwendung von kompressiblen Fluiden auswirkt, beispielsweise bei Fluiden, die- wie Wasser- bei Erhitzung gasförming werden. Dies hat Edwin Hernandez simuliert.
Die Grundlage für die Simulation ist das lang erprobte PFM (plug flow model) im ColSim - Collector Simulation Environment des ISE für inkompressible Fluide, wo vorausgesetzt wird, dass immer die gleiche Masse ein Rohrstück betritt, wie sie das Stück am anderen Ende verlässt. Diese Massenbilanz für ein Rohrstück wird bei kompressiblen Fluiden verletzt, da die gasförmige Phase ein deutlich höheren Platzbedarf hat.
Im Modell wird das Rohr Im Kollektor sinnvollerweise eindimensional angesetzt, da die Länge des Rohrs die Dicke bei weitem überschreitet. Darauf werden die Bilanzgleichungen formuliert. Die enstehenden Gleichungen werden diskretisiert und approximativ gelöst. Die Umsetzung eines erweiterten PFM-Verfahrens (EPFM) und der SIMPLER-Methode erfolgte als neues Modul im ColSim - Collector Simulation Environment Framework. Die neue Methode berücksichtigt ein viel umfangreicheres physikalisches Modell, ist im Gegensatz zu den direkten Lösern des PFM-Verfahrens nun aber auch nur iterativ und damit hier mit mehr Rechenaufwand lösbar.
Literatur und Zusatzinformationen
H. Walter: Modellbildung und numerische Simulation von Naturumlaufdampferzeugern, VDI-Verlag, 2001.
J. F. Feldhoff, T. Hirsch, R. Pitz-Paal, L. Valenzula: Transient models and characteristics of once-through line focus systems, SolarPaces, Beijing, China, 2014.
ColSim - Collector Simulation Environment
33 Minuten
Ein Auslandsstudium ist eine ganz besondere Ergänzung zum Studium: Benedikt Kottler und Hakan Demirel konnten im Rahmen einer Direktkooperation ihr Studium und ihre Forschungen für ein Semester in Brasilien durchführen. Mit Gudrun Thäter sprechen die beiden über ihre dortigen mathematischen Arbeitsgebiete und ihren Aufenthalt.
Benedikt Kottler hat sich in Vorbereitung seiner Master-Arbeit mit der Molekulardynamik befasst. Er möchte die Interaktion von molekularen Partikeln im Rahmen der Kontinuumsmechanik modellieren und mit der Software OpenLB durchführen. Diese Prozesse treten schon in der Betrachtung des Wassermoleküls H2O auf. Eine naheliegende Anwendung ist daher die Simulation von Filtrationsprozessen, wo kleine Schmutzpartikel aus einem Fluid herausgefiltert werden sollen.
Das Forschungsthema von Hakan Demirel dreht sich um Feinstaub im Stadtgebiet, genauer um die drei Themen Windsimulation, Partikelsimulation und Feinstaub-Emission durch den Autoverkehr. Dazu konnte er in Brasilien auf eine Verkehrssimulation zurückgreifen und ein stochastisches Modell für Windrichtungen und -intensitäten aufstellen. Dabei hat sich ergeben, dass sich die Stadtgeometrie in der Form von Gebäuden und Straßenzügen einen großen Einfluss auf die sinnvolle Diskretisierung der Windmodelle haben und entsprechend berücksichtigt werden müssen.
Die Idee für das Auslandssemester in Brasilien entstand nach einem Vortrag über die Simulationssoftware OpenLB, zu der bestehende Kooperationen zwischen Forschungseinrichtungen in Brasilien und dem KIT bestehen. Die Finanzierung wurde dabei insbesondere durch das Baden-Württemberg-Programm nach Bewerbungsphase ermöglicht.
Natürlich gehört auch der Besuch von Vorlesungen zum Auslandsstudium, die teilweise für die beiden in englisch gehalten wurden- und sich teilweise von Vorlesungen in Karlsruhe unterschieden. Die positiven Kontakte zu den Studierenden und Gastfamilien in Brasilien gehören dabei genauso zum Austausch, wie die Erfahrungen unterschiedlicher bürokratischer Systeme.
Literatur und Zusatzinformationen
OpenLB - Open source lattice boltzmann code
International Student Office am KIT
I. Waltschläger: Windsimulation im Stadtgebiet, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 14, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
Benedikt Kottler hat sich in Vorbereitung seiner Master-Arbeit mit der Molekulardynamik befasst. Er möchte die Interaktion von molekularen Partikeln im Rahmen der Kontinuumsmechanik modellieren und mit der Software OpenLB durchführen. Diese Prozesse treten schon in der Betrachtung des Wassermoleküls H2O auf. Eine naheliegende Anwendung ist daher die Simulation von Filtrationsprozessen, wo kleine Schmutzpartikel aus einem Fluid herausgefiltert werden sollen.
Das Forschungsthema von Hakan Demirel dreht sich um Feinstaub im Stadtgebiet, genauer um die drei Themen Windsimulation, Partikelsimulation und Feinstaub-Emission durch den Autoverkehr. Dazu konnte er in Brasilien auf eine Verkehrssimulation zurückgreifen und ein stochastisches Modell für Windrichtungen und -intensitäten aufstellen. Dabei hat sich ergeben, dass sich die Stadtgeometrie in der Form von Gebäuden und Straßenzügen einen großen Einfluss auf die sinnvolle Diskretisierung der Windmodelle haben und entsprechend berücksichtigt werden müssen.
Die Idee für das Auslandssemester in Brasilien entstand nach einem Vortrag über die Simulationssoftware OpenLB, zu der bestehende Kooperationen zwischen Forschungseinrichtungen in Brasilien und dem KIT bestehen. Die Finanzierung wurde dabei insbesondere durch das Baden-Württemberg-Programm nach Bewerbungsphase ermöglicht.
Natürlich gehört auch der Besuch von Vorlesungen zum Auslandsstudium, die teilweise für die beiden in englisch gehalten wurden- und sich teilweise von Vorlesungen in Karlsruhe unterschieden. Die positiven Kontakte zu den Studierenden und Gastfamilien in Brasilien gehören dabei genauso zum Austausch, wie die Erfahrungen unterschiedlicher bürokratischer Systeme.
Literatur und Zusatzinformationen
OpenLB - Open source lattice boltzmann code
International Student Office am KIT
I. Waltschläger: Windsimulation im Stadtgebiet, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 14, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
21 Minuten
Im Rahmen eines Bogy-Praktikums hat Finn Schmidt sich mit dem RSA-Verfahren befasst, einem Vertreter der Asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren und eine elementare Basis für private Kommunikation- besonders angesichts der globalen Überwachung, die 2013 nochmal besonders in die öffentliche Aufmerksamkeit rückte. Elementare Rechte, wie das im Grundgesetz gesicherte Recht auf das Postgeheimnis bei einem verschlossenen Briefumschlag, kann man in elektronischen Medien nur durch Kryptoverfahren erreichen.
Aus mathematischer Sicht sind Primzahlen grundlegende Bausteine, aus denen RSA-Schlüsselpaare, bestehend aus einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel, bestimmt werden. Dazu werden zwei große Primzahlen multipliziert- und das Produkt im öffentlichen Schlüssel preisgegeben. Dies schützt die einzelnen Faktoren, da die Rückrechnung in Form einer Faktorisierung viel aufwendiger als die Multiplikation ist. Zur Betrachtung der Sicherheit des Verfahrens, muss man genau diese Verfahren untersuchen.
Ein effizientes Faktorisierungsverfahren ist das Quadratische Sieb, das auf der dritten binomischen Formel basiert. Dazu sucht man zwei Quadratzahlen, deren Differenz die zu faktorisierende Zahl ergibt, da man so eine Faktorisierung erhält. Ein noch besseres Verfahren verspricht der Shor-Algorithmus, jedoch benötigt dieser zur effizienten Ausführung einen Quantencomputer.
Das RSA-Verfahren ist bei Betrachtung von Faktorisierungsmethoden auf gängigen Digitalrechnern in dem Sinne sicher, dass die Faktorisierung um Größenordnungen aufwendiger als die Schlüsselerzeugung ist. So kann jedes gewünschte Sicherheitsniveau erreicht werden. Dies ändert sich jedoch sobald Quantencomputer in beliebiger Größe realisiert werden können, da die Faktorisierung mit dem Shor-Algorithmus unmittelbar erfolgen kann. Außerdem werden heute sicher verschlüsselte Texte eventuell mit den leistungsfähigeren Computern der Zukunft in einigen Jahren relativ leicht zu entschlüsseln sein.
Literatur und Zusatzinformationen
Koziol et al: RSA – Primzahlen zur Verschlüsselung von Nachrichten, Skript und Arbeitsblätter, Fraunhofer Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI und Mathematisches Institut der Universität zu Köln.
A. Beutelspacher, J. Schwenk, K.-D. Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie, Vieweg, 2006.
Bogy-Praktikum G. Thäter: Wasserraketen. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 49, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
S. Ritterbusch: Digitale Währungen. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
Aus mathematischer Sicht sind Primzahlen grundlegende Bausteine, aus denen RSA-Schlüsselpaare, bestehend aus einem privaten und einem öffentlichen Schlüssel, bestimmt werden. Dazu werden zwei große Primzahlen multipliziert- und das Produkt im öffentlichen Schlüssel preisgegeben. Dies schützt die einzelnen Faktoren, da die Rückrechnung in Form einer Faktorisierung viel aufwendiger als die Multiplikation ist. Zur Betrachtung der Sicherheit des Verfahrens, muss man genau diese Verfahren untersuchen.
Ein effizientes Faktorisierungsverfahren ist das Quadratische Sieb, das auf der dritten binomischen Formel basiert. Dazu sucht man zwei Quadratzahlen, deren Differenz die zu faktorisierende Zahl ergibt, da man so eine Faktorisierung erhält. Ein noch besseres Verfahren verspricht der Shor-Algorithmus, jedoch benötigt dieser zur effizienten Ausführung einen Quantencomputer.
Das RSA-Verfahren ist bei Betrachtung von Faktorisierungsmethoden auf gängigen Digitalrechnern in dem Sinne sicher, dass die Faktorisierung um Größenordnungen aufwendiger als die Schlüsselerzeugung ist. So kann jedes gewünschte Sicherheitsniveau erreicht werden. Dies ändert sich jedoch sobald Quantencomputer in beliebiger Größe realisiert werden können, da die Faktorisierung mit dem Shor-Algorithmus unmittelbar erfolgen kann. Außerdem werden heute sicher verschlüsselte Texte eventuell mit den leistungsfähigeren Computern der Zukunft in einigen Jahren relativ leicht zu entschlüsseln sein.
Literatur und Zusatzinformationen
Koziol et al: RSA – Primzahlen zur Verschlüsselung von Nachrichten, Skript und Arbeitsblätter, Fraunhofer Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI und Mathematisches Institut der Universität zu Köln.
A. Beutelspacher, J. Schwenk, K.-D. Wolfenstetter: Moderne Verfahren der Kryptographie, Vieweg, 2006.
Bogy-Praktikum G. Thäter: Wasserraketen. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 49, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
S. Ritterbusch: Digitale Währungen. Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
29 Minuten
This episode discusses the Born-Infeld model for Electromagnetodynamics. Here, the standard model are the Maxwell equations coupling the interaction of magnetic and electric field with the help of a system of partial differential equations. This is a well-understood classical system. But in this classical model, one serious drawback is that the action of a point charge (which is represented by a Dirac measure on the right-hand side) leads to an infinite energy in the electric field which physically makes no sense.
On the other hand, it should be possible to study the electric field of point charges since this is how the electric field is created. One solution for this challenge is to slightly change the point of view in a way similar to special relativity theory of Einstein. There, instead of taking the momentum (mv2) as preserved quantity and Lagrange parameter the Lagrangian is changed in a way that the bound for the velocity (in relativity the speed of light) is incorporated in the model.
In the electromagnetic model, the Lagrangian would have to restrict the intensity of the fields. This was the idea which Borne and Infeld published already at the beginning of the last century. For the resulting system it is straightforward to calculate the fields for point charges. But unfortunately it is impossible to add the fields for several point charges (no superposition principle) since the resulting theory (and the PDE) are nonlinear. Physically this expresses, that the point charges do not act independently from each other but it accounts for certain interaction between the charges. Probably this interaction is really only important if charges are near enough to each other and locally it should be only influenced by the charge nearest. But it has not been possible to prove that up to now.
The electrostatic case is elliptic but has a singularity at each point charge. So no classical regularity results are directly applicable. On the other hand, there is an interesting interplay with geometry since the PDE occurs as the mean curvature equation of hypersurfaces in the Minkowski space in relativity.
The evolution problem is completely open. In the static case we have existence and uniqueness without really looking at the PDEs from the way the system is built. The PDE should provide at least qualitative information on the electric field. So if, e.g., there is a positive charge there could be a maximum of the field (for negative charges a minimum - respectively), and we would expect the field to be smooth outside these singular points. So a Lipschitz regular solution would seem probable. But it is open how to prove this mathematically.
A special property is that the model has infinitely many inherent scales, namely all even powers of the gradient of the field. So to understand maybe asymptotic limits in theses scales could be a first interesting step.
Denis Bonheure got his mathematical education at the Free University of Brussels and is working there as Professor of Mathematics at the moment.
Literature and additional material
M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 1, The Born Legacy, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1057-1122, 2004.
M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 2, A Least Invasively Quantized Theory, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1123-1159, 2004.
M. Kiessling: On the motion of point defects in relativistic fields, in Quantum Field Theory and Gravity, Conceptual and Mathematical Advances in the Search for a Unified Framework, Finster e.a. (ed.), Springer, 2012.
Y. Brenier: Some Geometric PDEs Related to Hydrodynamics and Electrodynamics, ICM Vol. III pp 761--772, 2002.
On the other hand, it should be possible to study the electric field of point charges since this is how the electric field is created. One solution for this challenge is to slightly change the point of view in a way similar to special relativity theory of Einstein. There, instead of taking the momentum (mv2) as preserved quantity and Lagrange parameter the Lagrangian is changed in a way that the bound for the velocity (in relativity the speed of light) is incorporated in the model.
In the electromagnetic model, the Lagrangian would have to restrict the intensity of the fields. This was the idea which Borne and Infeld published already at the beginning of the last century. For the resulting system it is straightforward to calculate the fields for point charges. But unfortunately it is impossible to add the fields for several point charges (no superposition principle) since the resulting theory (and the PDE) are nonlinear. Physically this expresses, that the point charges do not act independently from each other but it accounts for certain interaction between the charges. Probably this interaction is really only important if charges are near enough to each other and locally it should be only influenced by the charge nearest. But it has not been possible to prove that up to now.
The electrostatic case is elliptic but has a singularity at each point charge. So no classical regularity results are directly applicable. On the other hand, there is an interesting interplay with geometry since the PDE occurs as the mean curvature equation of hypersurfaces in the Minkowski space in relativity.
The evolution problem is completely open. In the static case we have existence and uniqueness without really looking at the PDEs from the way the system is built. The PDE should provide at least qualitative information on the electric field. So if, e.g., there is a positive charge there could be a maximum of the field (for negative charges a minimum - respectively), and we would expect the field to be smooth outside these singular points. So a Lipschitz regular solution would seem probable. But it is open how to prove this mathematically.
A special property is that the model has infinitely many inherent scales, namely all even powers of the gradient of the field. So to understand maybe asymptotic limits in theses scales could be a first interesting step.
Denis Bonheure got his mathematical education at the Free University of Brussels and is working there as Professor of Mathematics at the moment.
Literature and additional material
M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 1, The Born Legacy, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1057-1122, 2004.
M. Kiessling: Electromagnetic Field Theory Without Divergence Problems 2, A Least Invasively Quantized Theory, Journal of Statistical Physics, Volume 116, Issue 1, pp 1123-1159, 2004.
M. Kiessling: On the motion of point defects in relativistic fields, in Quantum Field Theory and Gravity, Conceptual and Mathematical Advances in the Search for a Unified Framework, Finster e.a. (ed.), Springer, 2012.
Y. Brenier: Some Geometric PDEs Related to Hydrodynamics and Electrodynamics, ICM Vol. III pp 761--772, 2002.
31 Minuten
Stefanie Hollborn arbeitet an der Universität Mainz am Thema Elektrische Impedanztomographie, die im Vergleich zur Röntgentomographie deutlich weniger schädlich ist und im Vergleich zur Magnetresonanztomographie deutlich preiswerter ist. Mit Hilfe von Elektroden auf der Oberfläche von Objekten wird niedriger Strom auf den Rand des Objektes angelegt und anschließend die resultierende Spannung und dadurch die Impedanz gemessen. Mit Hilfe der daraus abgeleiteten Leitfähigkeitsverteilung im Schnittbild kann man dann Rückschlüsse darauf ziehen, ob im Körper Verunreinigungen vorhanden sind. Dies findet beispielsweise Anwendung bei der Sichtbarmachung, also der Tomographie, von Krebszellen oder beim Auffinden von Blasen in Zement. Der Vorteil des Verfahrens ist, dass es billig einsetzbar und nicht schädlich für lebende Organismen ist. Außerdem sind Kontraste häufig sehr gut auflösbar.
Mathematisch werden die Gleichungen für die Wechselwirkung von Strom- und Magnetfeld als Modell zugrunde gelegt. Das Spannungspotential, das als Reaktion auf den Input vom Rand entsteht, lässt sich als Überlagerung von harmonischen Funktionen darstellen. Die Verunreinigungen sind überall da, wo eine harmonische Fortsetzung der Lösung vom Rand her nicht mehr möglich ist. Dort weicht das Feld dann nämlich vom homogenen Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen müsste.
Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar eng nebeneinander liegende Elektroden entstehen. Die Hoffnung ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen. Mathematisch muss hier ein eindimensionales Randwertproblem gelöst werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem Fehler verstärkt werden. Dieser Begriff geht zurück auf Jacques Hadamard, der den Begriff der gut gestellten Probleme eingeführt hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die Lösungen zu Regularisieren bzw. die regulären Lösungen aus der Schar aller möglichen Lösungen auszuwählen.
Stefanie Hollborn hat sowohl Philosophie als auch Mathematik studiert. Für beide Gebiete ist die Logik ein fundamentales Konzept, wobei die formale mathematische Beschreibung ihre Anwendung sehr erleichtert.
Literatur und weiterführende Informationen
L. Borcea: Electrical impedance tomography, Inverse Probl. 18, R99-R136, 2002.
M. Cheney, D. Isaacson, J. Newell: Electrical impedance tomography, SIAM Rev. 41, No.1, 85-101, 1999.
M. Brühl, M. Hanke-Bourgeois: Kann die Mathematik der elektrischen Impedanztomographie zum Durchbruch verhelfen? Beitrag im Forschungsmagazin der Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 2000.
M. Hanke, S. Reusswig, N. Hyvönen: An inverse backscatter problem for electric impedance tomography, SIAM J. Math. Anal. 41.5, 1948-1966, 2009.
S. Hollborn: Wie zwei Elektroden tiefe Einblicke gewähren
Mathematisch werden die Gleichungen für die Wechselwirkung von Strom- und Magnetfeld als Modell zugrunde gelegt. Das Spannungspotential, das als Reaktion auf den Input vom Rand entsteht, lässt sich als Überlagerung von harmonischen Funktionen darstellen. Die Verunreinigungen sind überall da, wo eine harmonische Fortsetzung der Lösung vom Rand her nicht mehr möglich ist. Dort weicht das Feld dann nämlich vom homogenen Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen müsste.
Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar eng nebeneinander liegende Elektroden entstehen. Die Hoffnung ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen. Mathematisch muss hier ein eindimensionales Randwertproblem gelöst werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem Fehler verstärkt werden. Dieser Begriff geht zurück auf Jacques Hadamard, der den Begriff der gut gestellten Probleme eingeführt hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die Lösungen zu Regularisieren bzw. die regulären Lösungen aus der Schar aller möglichen Lösungen auszuwählen.
Stefanie Hollborn hat sowohl Philosophie als auch Mathematik studiert. Für beide Gebiete ist die Logik ein fundamentales Konzept, wobei die formale mathematische Beschreibung ihre Anwendung sehr erleichtert.
Literatur und weiterführende Informationen
L. Borcea: Electrical impedance tomography, Inverse Probl. 18, R99-R136, 2002.
M. Cheney, D. Isaacson, J. Newell: Electrical impedance tomography, SIAM Rev. 41, No.1, 85-101, 1999.
M. Brühl, M. Hanke-Bourgeois: Kann die Mathematik der elektrischen Impedanztomographie zum Durchbruch verhelfen? Beitrag im Forschungsmagazin der Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 2000.
M. Hanke, S. Reusswig, N. Hyvönen: An inverse backscatter problem for electric impedance tomography, SIAM J. Math. Anal. 41.5, 1948-1966, 2009.
S. Hollborn: Wie zwei Elektroden tiefe Einblicke gewähren
32 Minuten
Wie wirkt sich die Biegesteifigkeit von Klaviersaiten auf die Stimmung aus? Dieser Frage ist Niels Ranosch nachgegangen und erklärt uns im Gespräch mit Gudrun Thäter seine Ergebnisse.
Das Schwingen von Klaviersaiten wird oft mit mit der Wellengleichung modelliert und simuliert; die Annahme ist hier, dass die Saite unendlich dünn ist. Betrachtet man die Saite jedoch mit realistischer Querschnittsfläche, so treten durch Dehnung und Stauchung weitere Kräfte im Material auf, und man muss in einem erweiterten Modell gerade für dicke oder kurze Saiten die Biegesteifigkeit der Saiten berücksichtigen.
Die Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Auslenkung der Saite mit zweiten Ableitungen im Raum und Zeit beschreibt. Zur Erweiterung des Modells wurde die Saite in einzelne Teilfasern aufgeteilt, für die jeweils einzeln die Biegesteifigkeit berücksichtigt wurde. Beim Übergang zu unendliche dünnen Teilfasern erhält man eine erweiterte Differentialgleichung, in der nun auch Raumableitungen vierter Ordnung auftreten.
Bei der Lösung des erweiterten Modells ergibt sich nun, dass die Obertöne nicht perfekte Vielfache des Grundtons sind, und daher bei genauer Stimmung des Grundtons nicht harmonisch zu höheren Tönen wären. Daher werden die Grundtöne der Saiten absichtlich leicht verstimmt, damit die Obertöne akzeptabel zu höheren Tönen passen.
Ein weiteres Problem für die Harmonie auf dem Klavier liegt im Quintenzirkel oder am Pythagoreischen Komma: Grundsätzlich kann man nicht gleichzeitig Quinten mit Frequenzverhältnis 3/2 und Oktaven mit Frequenzverhältnis 2 auf einem Klavier perfekt stimmen; man kann durch Multiplikation mit 3/2 kein Vielfaches von 2 erreichen. Nach 12 Quinten kommt man dem Ton nach 7 Oktaven sehr nahe, und dies wurde als Grundlage für das Klavier mit 12 Tasten pro Oktave gewählt. Den Fehler versucht man dann mit unterschiedlichen Stimmungen irgendwie erträglich zu machen, wie mit der heutzutage gängigen gleichstufigen Stimmung.
Literatur und weiterführende Informationen
Gareth Loy: Musimathics, MIT Press, 2007.
S. M. Han, H. Benaroya, T. Wei: Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories, Journal of sound and vibration 225.5: 935-988, 1999.
Das Schwingen von Klaviersaiten wird oft mit mit der Wellengleichung modelliert und simuliert; die Annahme ist hier, dass die Saite unendlich dünn ist. Betrachtet man die Saite jedoch mit realistischer Querschnittsfläche, so treten durch Dehnung und Stauchung weitere Kräfte im Material auf, und man muss in einem erweiterten Modell gerade für dicke oder kurze Saiten die Biegesteifigkeit der Saiten berücksichtigen.
Die Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Auslenkung der Saite mit zweiten Ableitungen im Raum und Zeit beschreibt. Zur Erweiterung des Modells wurde die Saite in einzelne Teilfasern aufgeteilt, für die jeweils einzeln die Biegesteifigkeit berücksichtigt wurde. Beim Übergang zu unendliche dünnen Teilfasern erhält man eine erweiterte Differentialgleichung, in der nun auch Raumableitungen vierter Ordnung auftreten.
Bei der Lösung des erweiterten Modells ergibt sich nun, dass die Obertöne nicht perfekte Vielfache des Grundtons sind, und daher bei genauer Stimmung des Grundtons nicht harmonisch zu höheren Tönen wären. Daher werden die Grundtöne der Saiten absichtlich leicht verstimmt, damit die Obertöne akzeptabel zu höheren Tönen passen.
Ein weiteres Problem für die Harmonie auf dem Klavier liegt im Quintenzirkel oder am Pythagoreischen Komma: Grundsätzlich kann man nicht gleichzeitig Quinten mit Frequenzverhältnis 3/2 und Oktaven mit Frequenzverhältnis 2 auf einem Klavier perfekt stimmen; man kann durch Multiplikation mit 3/2 kein Vielfaches von 2 erreichen. Nach 12 Quinten kommt man dem Ton nach 7 Oktaven sehr nahe, und dies wurde als Grundlage für das Klavier mit 12 Tasten pro Oktave gewählt. Den Fehler versucht man dann mit unterschiedlichen Stimmungen irgendwie erträglich zu machen, wie mit der heutzutage gängigen gleichstufigen Stimmung.
Literatur und weiterführende Informationen
Gareth Loy: Musimathics, MIT Press, 2007.
S. M. Han, H. Benaroya, T. Wei: Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories, Journal of sound and vibration 225.5: 935-988, 1999.
39 Minuten
Nanophotonics is one great path into our future since it renders possible to build e.g. absorber, emitter or amplifier on a scale of a few dozen nanometers. To use this effectively we will have to understand firstly the resonances of plasmons and secondly the interaction of electromagnetic waves with complex media. Here on the one hand we can model light as waves and describe what is happening for the different frequencies of monochromatic light waves. We have to model the evolution in air or in more complex media.
On the other hand - taking the more particle centered point of view - we can try to model the reaction of the photons to certain stimuli.
The modelling is still in progress and explored in many different ways.
The main focus of our guest Claire Scheid who is working on nanophotonics is to solve the corresponding partial differential equations numerically. It is challenging that the nanoscale-photons have to be visible in a discretization for a makro domain. So one needs special ideas to have a geometrical description for changing properties of the material. Even on the fastest available computers it is still the bottleneck to make these computations fast and precise enough.
A special property which has to be reflected in the model is the delay in response of a photon to incoming light waves - also depending on the frequency of the light (which is connected to its velocity- also known as dispersion). So an equation for the the evolution of the electron polarization must be added to the standard model (which is the Maxwell system).
One can say that the model for the permeability has to take into account the whole history of the process. Mathematically this is done through a convolution operator in the equation. There is also the possibility to explain the same phenomenon in the frequency space as well.
In general the work in this field is possible only in good cooperation and interdisciplinary interaction with physicists - which also makes it especially interesting.
Since 2009 Claire Scheid works at INRIA méditerranée in Sophia-Antipolis as part of the Nachos-Team and is teaching at the university of Nice as a member of the Laboratoire Dieudonné.
She did her studies at the Ecole Normale Superieure in Lyon and later in Paris VI (Université Pierre et Marie Curie). For her PhD she changed to Grenoble and spent two years as Postdoc at the university in Oslo (Norway).
Literature and additional material
R. Léger, J. Viquerat, C. Durochat, C. Scheid and S. Lanteri: A parallel non-confoming multi-element DGTD method for the simulation of electromagnetic wave interaction with metallic nanoparticles, J. Comput. Appl. Math. Vol 270, p. 330-342, 2014.
S. Descombes, C. Durochat, S. Lanteri, L. Moya, C. Scheid, J. Viquerat: Recent advances on a DGTD method for time-domain electromagnetism, Photonics and Nanostructures, Volume 11, issue 4, 291-302, 2013.
K. Busch, M. König, J. Niegemann: Discontinuous Galerkin methods in nanophotonics, Laser and Photonics Reviews, 5, pp. 1–37, 2011.
On the other hand - taking the more particle centered point of view - we can try to model the reaction of the photons to certain stimuli.
The modelling is still in progress and explored in many different ways.
The main focus of our guest Claire Scheid who is working on nanophotonics is to solve the corresponding partial differential equations numerically. It is challenging that the nanoscale-photons have to be visible in a discretization for a makro domain. So one needs special ideas to have a geometrical description for changing properties of the material. Even on the fastest available computers it is still the bottleneck to make these computations fast and precise enough.
A special property which has to be reflected in the model is the delay in response of a photon to incoming light waves - also depending on the frequency of the light (which is connected to its velocity- also known as dispersion). So an equation for the the evolution of the electron polarization must be added to the standard model (which is the Maxwell system).
One can say that the model for the permeability has to take into account the whole history of the process. Mathematically this is done through a convolution operator in the equation. There is also the possibility to explain the same phenomenon in the frequency space as well.
In general the work in this field is possible only in good cooperation and interdisciplinary interaction with physicists - which also makes it especially interesting.
Since 2009 Claire Scheid works at INRIA méditerranée in Sophia-Antipolis as part of the Nachos-Team and is teaching at the university of Nice as a member of the Laboratoire Dieudonné.
She did her studies at the Ecole Normale Superieure in Lyon and later in Paris VI (Université Pierre et Marie Curie). For her PhD she changed to Grenoble and spent two years as Postdoc at the university in Oslo (Norway).
Literature and additional material
R. Léger, J. Viquerat, C. Durochat, C. Scheid and S. Lanteri: A parallel non-confoming multi-element DGTD method for the simulation of electromagnetic wave interaction with metallic nanoparticles, J. Comput. Appl. Math. Vol 270, p. 330-342, 2014.
S. Descombes, C. Durochat, S. Lanteri, L. Moya, C. Scheid, J. Viquerat: Recent advances on a DGTD method for time-domain electromagnetism, Photonics and Nanostructures, Volume 11, issue 4, 291-302, 2013.
K. Busch, M. König, J. Niegemann: Discontinuous Galerkin methods in nanophotonics, Laser and Photonics Reviews, 5, pp. 1–37, 2011.
40 Minuten
Im Rahmen des ersten Alumitreffens im neu renovierten Mathematikgebäude gibt uns unser Alumnus Markus Even einen Einblick in seine Arbeit als Mathematiker am Fraunhofer IOSB, dem Fraunhofer-Institut für Optronik, Systemtechnik und Bildauswertung in Ettlingen in der Arbeitsgruppe zur Analyse und Visualisierung von SAR-Bilddaten.
Er befasst sich mit der Entwicklung von Algorithmen für die Fernerkundung, genauer gesagt für die Deformationsanalyse mit Hilfe von SAR-Interferometrie (InSAR). Deformation bezieht sich hier auf Bewegungen der Erdkruste oder auf ihr befindlicher Strukturen, z.B. von Bauwerken. Hinter dem Stichwort SAR-Interferometrie verbirgt sich eine Vielfalt von Verfahren der Fernerkundung, die auf Synthetic Aperture Radar, auf Deutsch Radar mit synthetischer Apertur, beruhen, und die die Fähigkeit der Sensorik ein kohärentes Signal zu verarbeiten zur Erzeugung sogenannter Interferogramme nutzen.
Für SAR ist es wesentlich, dass der Sensor bewegt wird. Zu diesem Zweck ist er auf einen Satelliten, ein Flugzeug oder auch auf einem auf Schienen laufenden Schlitten montiert. Für die Mehrzahl der Anwendungen wird er entlang einer näherungsweise geradlinigen Bahn bewegt und sendet in festen Zeitabständen elektromagnetische Signale im Mikrowellenbereich aus, deren Returns er, unterteilt in sehr kurze Zeitintervalle, aufzeichnet. Dabei "blickt" er schräg nach unten, um nicht systematisch von zwei verschiedenen Orten der Erdoberfläche rückkehrende Signale zu vermischen. Herauszuheben ist, dass er unabhängig von der Tageszeit- er beleuchtet die Szene selbst- und weitgehend unabhängig von den Wetterverhältnissen- die Atmosphäre verzögert das Signal, ist aber für diese Wellenlängen (ca. 3cm-85cm) bis auf seltene Ausnahmen durchlässig dafür- Aufnahmen machen kann. Dies ist ein Vorzug gegenüber Sensoren, die im optischen oder infraroten Teil des Spektrums arbeiten, und nachts oder bei Bewölkung nicht die gewünschten Informationen liefern können. Neben der Magnitude des rückgestreuten Signals zeichnet der SAR-Sensor auch dessen Phasenverschiebung gegenüber einem Referenzoszillator auf, die die Grundlage für die Interferometrie darstellt und viele Anwendungsmöglichkeiten bietet.
Aus dem aufgezeichneten Signal wird das sogenannte fokusierte Bild berechnet. (Mathematisch gesehen handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein inverses Problem.) Die Achsen dieses komplexwertigen Bildes entsprechen eine der Position des Satelliten auf seiner Bahn und die andere der Laufzeit des Signals. Der Zahlenwert eines Pixels kann vereinfacht als Mittel der aufgezeichneten Rückstreuung aus dem Volumen angesehen werden, dass durch das jeweilige Paar aus Bahninterval und Laufzeitinterval definiert ist. Dies ist der Kern von SAR: Die Radarkeule erfasst eine größere Fläche auf dem Boden, so dass das aufgezeichnete Signal aus der Überlagerung aller zurückkehrenden Wellen besteht. Diese Überlagerung wird durch die Fokusierung rückgängig gemacht. Dazu benutzt man, dass ein Auflösungselement am Boden zu allen Returns beiträgt, solange es von der Radarkeule erfasst wird und dabei eine bekannte Entfernungskurve durchläuft.
Die Magnitude des sich so ergebenden Bildes erinnert bei hochaufgelösten Aufnahmen auf den ersten Blick an eine Schwarzweißphotographie. Betrachtet man sie jedoch genauer, so stellt man schnell Unterschiede fest. Erhabene Objekte kippen zum Sensor, da die höhergelegenen Punkte näher zu ihm liegen. Hohe Werte der Magnitude, also hohe Rückstreuung, sind in der Regel mit günstigen geometrischen Konstellationen verbunden: Eine ebene Fläche muss dazu beispielsweise senkrecht zum einfallenden Signal ausgerichtet sein, was selten der Fall ist. Geht man an die Grenze des aktuell Möglichen und betrachtet ein Bild einer städtischen Umgebung eines luftgetragenen Sensors mit wenigen Zentimetern Auflösung, so scheint es beinahe in punktförmige Streuer zu zerfallen. Diese werden durch dihedrale (Pfosten) und- häufiger- trihedrale Strukturen erzeugt. Trihedrale Strukturen reflektieren das einfallende Signal parallel zur Einfallsrichtung (man kennt das von den an Fahrzeugen verwendeten, Katzenaugen genannten Reflektoren). Sehr niedrige Rückstreuung ist meist darin begründet, dass kein Signal mit der entsprechenden Laufzeit zum Sensor zurückkehrt, sei es weil keine Streuer erreicht werden (Schatten) oder das Signal auf glatten Flächen vom Satelliten weggespiegelt wird. Für Wellenlängen von einigen Zentimetern sind z.B. asphaltierte oder gepflasterte Flächen glatt, bei Windstille ist es auch Wasser. Daneben gibt es auch kompliziertere Streumechanismen, die zu Magnituden mittlerer Höhe führen, etwa Volumenstreuung in Vegetation, Schnee und Sand, verteilte Streuung an Flächen mit vielen kleinen, homogen verteilten Objekten (z.B. Kiesflächen oder andere Flächen mit spärlicher Vegetation) oder einer gewissen Rauigkeit. Außer diesen gibt es noch viele weitere Möglichkeiten, wie Mehrfachreflektionen oder das Zusammenfallen in verschiedenen Höhen positionierter Streuer in einer Entfernungszelle.
Die für die SAR-Interferometrie wesentliche Information aber ist die Phase. Sie kann allerdings nur genutzt werden, wenn zwei oder mehr Aufnahmen aus annähernd der gleichen Position vorliegen. Die grundlegende Idee dabei ist die Betrachtung von Doppeldifferenzen der Phase zweier Pixel zweier Aufnahmezeitpunkte. Um sie zu verstehen nehmen wir zunächst an, dass sich in beiden Auflösungszellen je ein dominanter, punktförmiger Streuer befindet, was so gemeint ist, dass die Phase einer Laufzeit entspricht. Da die Subpixelpositionen unbekannt sind und die Größe der Auflösungszelle um Vieles größer als die Wellenlänge ist, ist die Phasendifferenz zweier Pixel eines einzelnen Bildes nicht verwertbar. In der Doppeldifferenz heben sich die unbekannten Subpixelpositionen allerdings heraus. Die Doppeldifferenz ist in dieser idealisierten Situation die Summe dreier Anteile: des Laufzeitunterschiedes auf Grund der verschiedenen Aufnahmegeometrien, des Laufzeitunterschiedes auf Grund einer relativen Positionsänderung der Streuer während der zwischen den Aufnahmen verstrichenen Zeit und des Laufzeitunterschiedes auf Grund der räumlichen und zeitlichen Variation der atmosphärischen Verzögerung. Diese drei Anteile können jeder für sich nützliche Information darstellen. Der Erste wird zur Gewinnung von Höhenmodellen genutzt, der Zweite zur Detektion von Deformationen der Erdoberfläche und der Dritte, obwohl meist als Störterm angesehen, kann bei der Bestimmung der Verteilung von Wasserdampf in der Atmosphäre genutzt werden. Es stellt sich aber die Frage, wie man diese Terme separiert, zumal noch die Mehrdeutigkeit aufgelöst werden muss, die darin liegt, dass die Phase nur bis auf ganzzahlige Vielfache von zwei Pi bekannt ist.
Weitere Fragen ergeben sich, da in realen Daten diese Annahmen für viele Pixel nicht erfüllt sind. Stellt man sich beispielsweise eine Auflösungszelle mit mehreren oder vielen kleineren Streuern vor (z.B. mit Geröll), so ändert sich die Phase der überlagerten Returns mit dem Einfallswinkel des Signals. Sie ändert sich auch, wenn manche der Streuer bewegt wurden oder die beiden Aufnahmen nicht ausreichend genau zur Deckung gebracht wurden. Dies führt dazu, dass die Phase sich um einen schlecht quantifizierbaren Betrag ändert. Man spricht dann von Dekorrelation. Eventuell besteht nach Änderung der physischen Gegebenheiten in der Auflösungszelle keine Beziehung mehr zwischen den Phasenwerten eines Pixels. Dies ist etwa der Fall, wenn ein dominanter Streuer hinzu kommt oder nicht mehr anwesend ist, ein Gelände überschwemmt wird oder trocken fällt. Es stellt sich also die Frage, welche Pixel überhaupt Information tragen, bzw. wie ihre Qualität ist und wie sie extrahiert werden kann.
Die Geschichte der SAR-Interferometrie begann nach dem Start des ESA-Satelliten ERS 1 im Jahr 1991 mit einfachen differentiellen Interferogrammen. Das berühmteste ist sicher das vom Landers-Erdbeben 1992 in Kalifornien. Zum ersten Mal in der Geschichte der Wissenschaft war es möglich, das Deformationsfeld eines Erdbebens flächig zu messen, wenn auch nur die Komponente in Sichtlinie des Sensors. Statt Werte hunderter in der Region installierter Messstationen stellte das Interferogramm ein Bild des Erdbebens mit Millionen Datenpunkten dar. Diese Fähigkeit, großflächig Deformationen der Erdoberfläche aufzuzeichnen, besitzt nur die SAR-Interferometrie! Allerdings ist zu bemerken, dass dieses Resultat seine Entstehung auch günstigen Umständen verdankt. Landers liegt in der Mojave-Wüste, so dass die Variation der atmosphärischen Verzögerung und die Dekorrelation vernachlässigbar waren. Dank der Verfügbarkeit eines guten Höhenmodells konnte der Anteil des Laufzeitunterschiedes auf Grund der verschiedenen Aufnahmegeometrien eliminiert werden (man spricht dann von einem differentiellen Interferogramm). Ein weiterer Meilenstein war die Shuttle Radar Topography Mission des Space Shuttle Endeavour im Februar 2000, während der die Daten für ein Höhenmodell der gesamten Landmasse zwischen 54 Grad südlicher Breite und 60 Grad nördlicher Breite aufgezeichnet wurden. Für diesen Zweck wurde die Endeavour mit zwei SAR-Antennen ausgestattet, eine am Rumpf, eine an einem 60 Meter langen Ausleger. Dank zeitgleicher Aufnahmen waren die Phasenanteile auf Grund Deformation und atmosphärischer Verzögerung vernachlässigbar. Dekorrelation auf Grund von Änderungen der physischen Gegebenheiten spielt hier auch keine Rolle. Dem Wunsch nach einem weltweiten, dazu deutlich höher aufgelösten Höhenmodell kommt seit 2010 die TanDEM-X-Mission des DLR nach, bei der die beiden SAR-Antennen von zwei Satelliten im Formationsflug getragen werden.
Auch in der Algorithmik gab es entscheidende Fortschritte. Einer der fruchtbarsten war die Erfindung von Permanent Scatterer Interferometric SAR (PSInSAR) um das Jahr 2000, das durch die Verwendung einer längeren Zeitreihe von differentiellen Interferogrammen und einiger neuer Ideen das Problem der Separierung der im vorangehenden Abschnitt genannten Terme löste. Der Ausgangspunkt hierfür war die Entdeckung, dass häufig eine größere Anzahl über lange Zeiträume phasenstabile Streuer, die sogenannten Permanent Scatterer (auch Persistent Scatterer oder PS), gefunden werden können, die man sich vereinfacht als Pixel vorstellen darf, deren Auflösungszelle einen dominanten, punktförmigen, über die Zeitreihe unveränderten Streuer enthält. Auf diese wird nun die Auswertung beschränkt, die vereinfacht folgende Schritte durchläuft:
Definition eines Graphen mit den PS als Knoten und Paaren benachbarter PS als Kanten; Schätzung einer Modellphase für Deformation und Höhenmodellfehler an Hand der Doppeldifferenzen aller verwendeten differentiellen Interferogramme für alle Kanten; Entrollen von Originalphase minus Modellphase, d.h. Auflösen der Mehrdeutigkeiten; räumlich-zeitliche Filterung, um die Variation der atmosphärischen Verzögerung zu eliminieren.
Als Produkt ergeben sich für jeden PS seine Bewegung in Sichtlinie des Sensors und eine Korrektur seiner Höhenlage relativ zum für die Erzeugung der differentiellen Interferogramme verwendeten Höhenmodell. Seither wurden diese Grundideen modifiziert und verfeinert. Vor allem müssen die Berücksichtigung verteilter Streuer (auch Distributed Scatterer oder DS) für die Deformationsanalyse erwähnt werden, was die Informationsdichte vor allem in ariden Gebieten drastisch erhöhen kann, sowie die SAR-Tomographie, die eine Analyse auch dann erlaubt, wenn zwei oder drei vergleichbar starke Streuer in einer Auflösungszelle vorhanden sind (z.B. wenn ein Streuer am Boden, eine Fensterniche und eine Dachstruktur den gleichen Abstand zum Sensor haben).
Die SAR-Interferometrie, insbesondere die Deformationsanalyse, verwendet vor allem mathematische Methoden aus den Bereichen Stochastik, Signalverarbeitung, Optimierungstheorie und Numerik. Besondere Herausforderungen ergeben sich daraus, dass die Vielfalt natürlicher Phänomene sich nur bedingt durch einfache statistische Modelle beschreiben lässt und aus dem Umstand, dass die Datensätze in der Regel sehr groß sind (ein Stapel von 30 Aufnahmen mit komplexwertigen 600 Megapixeln ist durchaus typisch). Es treten lineare Gleichungssysteme mit mehreren Zehntausend Unbekannten auf, die robust gelöst sein wollen. Für die Auflösung der Mehrdeutigkeiten verwenden die fortgeschrittensten Algorithmen ganzzahlige Optimierung. Wavelet-basierte Filterverfahren werden genutzt, um die atmosphärische Verzögerung vom Nutzsignal zu trennen. Im Zusammenhang mit der Schätzung der Variation der atmosphärischen Verzögerung werden geostatistische Verfahren wie Kriging eingesetzt. Statistische Tests werden bei der Auswahl der DS, sowie zur Detektion schlechter Pixel eingesetzt. Bei der Prozessierung der DS spielen Schätzer der Kovarianzmatrix eine prominente Rolle. Die SAR-Tomographie nutzt Compressive Sensing und viele weitere Verfahren.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die SAR-Interferometrie auch aus Perspektive eines Mathematikers ein reichhaltiges und spannendes Arbeitsgebiet ist.
Eine wichtige Anwendung ist die Deformationsanalyse durch die InSAR-Methode: Die SAR-Interferometrie zeichnet sich vor allen anderen Techniken dadurch aus, dass sie bei geeignetem Gelände sehr großflächige Phänomene mit sehr hoher Informationsdichte abbilden kann. Allerdings liefert sie relative Messungen, so dass in der Regel eine Kombination mit Nivellement oder hochgenauen GPS-Messungen verwendet wird. Ihre Genauigkeit hängt neben der Qualität der Daten von der Wellenlänge ab und zeigt bei 3cm Wellenlänge meist nur wenige Millimeter je Jahr Standardabweichung. Damit können selbst sehr feine Bewegungen, wie z.B. die Hebung des Oberrheingrabens (ca. 2mm/y), nachgewiesen werden. Allerdings können wegen der Mehrdeutigkeit der Phase Bewegungen auch zu stark sein, um noch mit PSInSAR auswertbar zu sein. In diesem Fall können längere Wellenlängen, höhere zeitliche Abtastung oder Korrelationsverfahren helfen. Trotz der diskutierten Einschränkungen lässt sich die Deformationsanalyse mit InSAR in vielen Zusammenhängen nutzensreich einsetzen, denn auch die Ursachen für Deformationen der Erdoberfläche sind vielfältig. Neben geologischen und anderen natürlichen Phänomenen werden sie von Bergbau, Förderung von Wasser, Erdgas, Erdöl, durch Geothermiebohrungen, Tunnelbau oder andere Bautätigkeiten ausgelöst. Meist steht bei den Anwendungen die Einschätzung von Risiken im Fokus. Erdbeben, Vulkanismus, aber auch Schäden an kritischer Infrastruktur, wie Deichen, Staudämmen oder Kernkraftwerken können katastrophale Folgen haben.
Ein weiteres wichtiges Thema ist die Entdeckung oder Beobachtung von Erdbewegungen, die sich potentiell zu einem Erdrutsch entwickeln könnten. Allein in den Alpen gibt es tausende Bergflanken, wo sich größere Bereiche in langsamer Bewegung befinden und in Leben oder Infrastruktur gefährdende Hangrutsche münden könnten. Auf Grund der zunehmenden Erderwärmung nimmt diese Bedrohung überall dort zu, wo Permafrost zu tauen beginnt, der bisher den Boden stabilisierte. InSAR wird bei der Erstellung von Risikokarten genutzt, die der Beurteilung der Gefährdungslage und der Entscheidung über Gegenmaßnahmen dienen.
In vielen Regionen der Erde werden Deformationen der Erdoberfläche durch veränderte Grundwasserstände verursacht. Nimmt das Grundwasser ab, etwa wegen Entnahme zur Bewässerung oder industriellen Verwendung, so senkt sich die Erdoberfläche. Nimmt das Grundwasser während regenreicher Zeiten zu, so hebt sich die Erdoberfläche. Das Monitoring mit InSAR ist hier aus mehreren Gründen interessant. Bewegungen der Erdoberfläche können Schäden an Gebäuden oder anderen Strukturen verursachen (Bsp. Mexico City). Übermäßige Wasserentnahme kann zu irreversibler Verdichtung der wasserführenden Schichten führen, was Konsequenzen für die zukünftige Verfügbarkeit der lebenswichtigen Flüssigkeit hat. Bei Knappheit muss die Entnahme reguliert und überwacht werden (Bsp. Central Valley, Kalifornien).
Von besonderer Bedeutung sind durch geologische Phänomene wie Vulkanismus oder tektonische Bewegungen verursachte Deformationen der Erdoberfläche. Die von SAR-Satelliten gewonnenen Daten werden zur Einschätzung von Risiken benutzt, auch wenn eine sichere, frühzeitige und zeitgenaue Vorhersage von Erdbeben oder Vulkanausbrüchen mit den heutigen Methoden nicht möglich ist. Sie sind aber die Grundlage für eine ausgedehnte Forschungsaktivität, die unser Verständnis der Vorgänge in der Erdkruste stetig wachsen lässt und immer genauere Vorhersagen erlaubt. Dies ist in erster Linie den SAR-Satelliten der ESA (ERS-1, ERS-2, Envisat und aktuell Sentinel-1A) zu verdanken, die seit 1991 mit lediglich einer Lücke von zwei Jahren (2012-2014) kontinuierlich die gesamte Erde aufnehmen. Die Idee dabei ist, dass so in festem zeitlichen Rhythmus (bei ERS alle 35 Tage) jeder Punkt der Erde aufgenommen wird. Dadurch ist ein großes Archiv entstanden, das es nach einem geologischen Ereignis ermöglicht, dieses mit den Methoden der SAR-Interferometrie zu untersuchen, da die Vorgeschichte verfügbar ist.
Eine Entwicklung der letzten Jahre ist die Nutzung bei der Erschließung von Erdgas und Erdöl. Die mit InSAR sichtbar gemachten Deformationen erlauben es, neue Einsicht in die Struktur der Lagerstätten zu erhalten, geomechanische Modelle zu kalibrieren und letztlich die Rohstoffe Dank optimierter Positionierung von Bohrlöchern effektiver und kostengünstiger zu fördern.
Wer InSAR noch besser verstehen will, der findet in den InSAR Guidlines der ESA die Grundlagen sehr gut erklärt. Einen etwas breiteren Überblick über Anwendungsmöglichkeiten kann man sich auf der Homepage von TRE verschaffen, einem Unternehmen, das von den Schöpfern von PSInSAR gegründet wurde und im Bereich InSAR-Auswertungen nach wie vor führend ist. Die Wettbewerber ADS und e-GEOS bieten außer InSAR weitere Anwendungen von SAR-Daten. Aus wissenschaftlich/politischer Perspektive kann man sich in der Broschüre der DLR über Themenfelder der Erdbeobachtung informieren. Zu dem speziellen Thema der Erdbewegung auf Grund Absenkung des Grundwasserspiegels in den USA gibt es weitere Informationen.
Literatur und weiterführende Informationen
A. Ferretti, A. Monti-Guarnieri, C. Prati, F. Rocca, D. Massonnet: InSAR Principles: Guidelines for SAR Interferometry Processing and Interpretation, TM-19, ESA Publications, 2007.
M. Fleischmann, D. Gonzalez (eds): Erdbeobachtung – Unseren Planeten erkunden, vermessen und verstehen, Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt e.V., 2013.
Land Subsidence, U.S. Geological Survey.
M. Even, A. Schunert, K. Schulz, U. Soergel: Atmospheric phase screen-estimation for PSInSAR applied to TerraSAR-X high resolution spotlight-data, Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS), IEEE International, 2010.
M. Even, A. Schunert, K. Schulz, U. Soergel: Variograms for atmospheric phase screen estimation from TerraSAR-X high resolution spotlight data, SPIE Proceedings Vol. 7829, SAR Image Analysis, Modeling, and Techniques X, 2010.
M. Even: Advanced InSAR processing in the footsteps of SqueeSAR
Podcast: Raumzeit RZ037: TanDEM-X
Podcast: Modellansatz Modell010: Positionsbestimmung
Podcast: Modellansatz Modell012: Erdbeben und Optimale Versuchsplanung
Podcast: Modellansatz Modell015: Lawinen
Er befasst sich mit der Entwicklung von Algorithmen für die Fernerkundung, genauer gesagt für die Deformationsanalyse mit Hilfe von SAR-Interferometrie (InSAR). Deformation bezieht sich hier auf Bewegungen der Erdkruste oder auf ihr befindlicher Strukturen, z.B. von Bauwerken. Hinter dem Stichwort SAR-Interferometrie verbirgt sich eine Vielfalt von Verfahren der Fernerkundung, die auf Synthetic Aperture Radar, auf Deutsch Radar mit synthetischer Apertur, beruhen, und die die Fähigkeit der Sensorik ein kohärentes Signal zu verarbeiten zur Erzeugung sogenannter Interferogramme nutzen.
Für SAR ist es wesentlich, dass der Sensor bewegt wird. Zu diesem Zweck ist er auf einen Satelliten, ein Flugzeug oder auch auf einem auf Schienen laufenden Schlitten montiert. Für die Mehrzahl der Anwendungen wird er entlang einer näherungsweise geradlinigen Bahn bewegt und sendet in festen Zeitabständen elektromagnetische Signale im Mikrowellenbereich aus, deren Returns er, unterteilt in sehr kurze Zeitintervalle, aufzeichnet. Dabei "blickt" er schräg nach unten, um nicht systematisch von zwei verschiedenen Orten der Erdoberfläche rückkehrende Signale zu vermischen. Herauszuheben ist, dass er unabhängig von der Tageszeit- er beleuchtet die Szene selbst- und weitgehend unabhängig von den Wetterverhältnissen- die Atmosphäre verzögert das Signal, ist aber für diese Wellenlängen (ca. 3cm-85cm) bis auf seltene Ausnahmen durchlässig dafür- Aufnahmen machen kann. Dies ist ein Vorzug gegenüber Sensoren, die im optischen oder infraroten Teil des Spektrums arbeiten, und nachts oder bei Bewölkung nicht die gewünschten Informationen liefern können. Neben der Magnitude des rückgestreuten Signals zeichnet der SAR-Sensor auch dessen Phasenverschiebung gegenüber einem Referenzoszillator auf, die die Grundlage für die Interferometrie darstellt und viele Anwendungsmöglichkeiten bietet.
Aus dem aufgezeichneten Signal wird das sogenannte fokusierte Bild berechnet. (Mathematisch gesehen handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein inverses Problem.) Die Achsen dieses komplexwertigen Bildes entsprechen eine der Position des Satelliten auf seiner Bahn und die andere der Laufzeit des Signals. Der Zahlenwert eines Pixels kann vereinfacht als Mittel der aufgezeichneten Rückstreuung aus dem Volumen angesehen werden, dass durch das jeweilige Paar aus Bahninterval und Laufzeitinterval definiert ist. Dies ist der Kern von SAR: Die Radarkeule erfasst eine größere Fläche auf dem Boden, so dass das aufgezeichnete Signal aus der Überlagerung aller zurückkehrenden Wellen besteht. Diese Überlagerung wird durch die Fokusierung rückgängig gemacht. Dazu benutzt man, dass ein Auflösungselement am Boden zu allen Returns beiträgt, solange es von der Radarkeule erfasst wird und dabei eine bekannte Entfernungskurve durchläuft.
Die Magnitude des sich so ergebenden Bildes erinnert bei hochaufgelösten Aufnahmen auf den ersten Blick an eine Schwarzweißphotographie. Betrachtet man sie jedoch genauer, so stellt man schnell Unterschiede fest. Erhabene Objekte kippen zum Sensor, da die höhergelegenen Punkte näher zu ihm liegen. Hohe Werte der Magnitude, also hohe Rückstreuung, sind in der Regel mit günstigen geometrischen Konstellationen verbunden: Eine ebene Fläche muss dazu beispielsweise senkrecht zum einfallenden Signal ausgerichtet sein, was selten der Fall ist. Geht man an die Grenze des aktuell Möglichen und betrachtet ein Bild einer städtischen Umgebung eines luftgetragenen Sensors mit wenigen Zentimetern Auflösung, so scheint es beinahe in punktförmige Streuer zu zerfallen. Diese werden durch dihedrale (Pfosten) und- häufiger- trihedrale Strukturen erzeugt. Trihedrale Strukturen reflektieren das einfallende Signal parallel zur Einfallsrichtung (man kennt das von den an Fahrzeugen verwendeten, Katzenaugen genannten Reflektoren). Sehr niedrige Rückstreuung ist meist darin begründet, dass kein Signal mit der entsprechenden Laufzeit zum Sensor zurückkehrt, sei es weil keine Streuer erreicht werden (Schatten) oder das Signal auf glatten Flächen vom Satelliten weggespiegelt wird. Für Wellenlängen von einigen Zentimetern sind z.B. asphaltierte oder gepflasterte Flächen glatt, bei Windstille ist es auch Wasser. Daneben gibt es auch kompliziertere Streumechanismen, die zu Magnituden mittlerer Höhe führen, etwa Volumenstreuung in Vegetation, Schnee und Sand, verteilte Streuung an Flächen mit vielen kleinen, homogen verteilten Objekten (z.B. Kiesflächen oder andere Flächen mit spärlicher Vegetation) oder einer gewissen Rauigkeit. Außer diesen gibt es noch viele weitere Möglichkeiten, wie Mehrfachreflektionen oder das Zusammenfallen in verschiedenen Höhen positionierter Streuer in einer Entfernungszelle.
Die für die SAR-Interferometrie wesentliche Information aber ist die Phase. Sie kann allerdings nur genutzt werden, wenn zwei oder mehr Aufnahmen aus annähernd der gleichen Position vorliegen. Die grundlegende Idee dabei ist die Betrachtung von Doppeldifferenzen der Phase zweier Pixel zweier Aufnahmezeitpunkte. Um sie zu verstehen nehmen wir zunächst an, dass sich in beiden Auflösungszellen je ein dominanter, punktförmiger Streuer befindet, was so gemeint ist, dass die Phase einer Laufzeit entspricht. Da die Subpixelpositionen unbekannt sind und die Größe der Auflösungszelle um Vieles größer als die Wellenlänge ist, ist die Phasendifferenz zweier Pixel eines einzelnen Bildes nicht verwertbar. In der Doppeldifferenz heben sich die unbekannten Subpixelpositionen allerdings heraus. Die Doppeldifferenz ist in dieser idealisierten Situation die Summe dreier Anteile: des Laufzeitunterschiedes auf Grund der verschiedenen Aufnahmegeometrien, des Laufzeitunterschiedes auf Grund einer relativen Positionsänderung der Streuer während der zwischen den Aufnahmen verstrichenen Zeit und des Laufzeitunterschiedes auf Grund der räumlichen und zeitlichen Variation der atmosphärischen Verzögerung. Diese drei Anteile können jeder für sich nützliche Information darstellen. Der Erste wird zur Gewinnung von Höhenmodellen genutzt, der Zweite zur Detektion von Deformationen der Erdoberfläche und der Dritte, obwohl meist als Störterm angesehen, kann bei der Bestimmung der Verteilung von Wasserdampf in der Atmosphäre genutzt werden. Es stellt sich aber die Frage, wie man diese Terme separiert, zumal noch die Mehrdeutigkeit aufgelöst werden muss, die darin liegt, dass die Phase nur bis auf ganzzahlige Vielfache von zwei Pi bekannt ist.
Weitere Fragen ergeben sich, da in realen Daten diese Annahmen für viele Pixel nicht erfüllt sind. Stellt man sich beispielsweise eine Auflösungszelle mit mehreren oder vielen kleineren Streuern vor (z.B. mit Geröll), so ändert sich die Phase der überlagerten Returns mit dem Einfallswinkel des Signals. Sie ändert sich auch, wenn manche der Streuer bewegt wurden oder die beiden Aufnahmen nicht ausreichend genau zur Deckung gebracht wurden. Dies führt dazu, dass die Phase sich um einen schlecht quantifizierbaren Betrag ändert. Man spricht dann von Dekorrelation. Eventuell besteht nach Änderung der physischen Gegebenheiten in der Auflösungszelle keine Beziehung mehr zwischen den Phasenwerten eines Pixels. Dies ist etwa der Fall, wenn ein dominanter Streuer hinzu kommt oder nicht mehr anwesend ist, ein Gelände überschwemmt wird oder trocken fällt. Es stellt sich also die Frage, welche Pixel überhaupt Information tragen, bzw. wie ihre Qualität ist und wie sie extrahiert werden kann.
Die Geschichte der SAR-Interferometrie begann nach dem Start des ESA-Satelliten ERS 1 im Jahr 1991 mit einfachen differentiellen Interferogrammen. Das berühmteste ist sicher das vom Landers-Erdbeben 1992 in Kalifornien. Zum ersten Mal in der Geschichte der Wissenschaft war es möglich, das Deformationsfeld eines Erdbebens flächig zu messen, wenn auch nur die Komponente in Sichtlinie des Sensors. Statt Werte hunderter in der Region installierter Messstationen stellte das Interferogramm ein Bild des Erdbebens mit Millionen Datenpunkten dar. Diese Fähigkeit, großflächig Deformationen der Erdoberfläche aufzuzeichnen, besitzt nur die SAR-Interferometrie! Allerdings ist zu bemerken, dass dieses Resultat seine Entstehung auch günstigen Umständen verdankt. Landers liegt in der Mojave-Wüste, so dass die Variation der atmosphärischen Verzögerung und die Dekorrelation vernachlässigbar waren. Dank der Verfügbarkeit eines guten Höhenmodells konnte der Anteil des Laufzeitunterschiedes auf Grund der verschiedenen Aufnahmegeometrien eliminiert werden (man spricht dann von einem differentiellen Interferogramm). Ein weiterer Meilenstein war die Shuttle Radar Topography Mission des Space Shuttle Endeavour im Februar 2000, während der die Daten für ein Höhenmodell der gesamten Landmasse zwischen 54 Grad südlicher Breite und 60 Grad nördlicher Breite aufgezeichnet wurden. Für diesen Zweck wurde die Endeavour mit zwei SAR-Antennen ausgestattet, eine am Rumpf, eine an einem 60 Meter langen Ausleger. Dank zeitgleicher Aufnahmen waren die Phasenanteile auf Grund Deformation und atmosphärischer Verzögerung vernachlässigbar. Dekorrelation auf Grund von Änderungen der physischen Gegebenheiten spielt hier auch keine Rolle. Dem Wunsch nach einem weltweiten, dazu deutlich höher aufgelösten Höhenmodell kommt seit 2010 die TanDEM-X-Mission des DLR nach, bei der die beiden SAR-Antennen von zwei Satelliten im Formationsflug getragen werden.
Auch in der Algorithmik gab es entscheidende Fortschritte. Einer der fruchtbarsten war die Erfindung von Permanent Scatterer Interferometric SAR (PSInSAR) um das Jahr 2000, das durch die Verwendung einer längeren Zeitreihe von differentiellen Interferogrammen und einiger neuer Ideen das Problem der Separierung der im vorangehenden Abschnitt genannten Terme löste. Der Ausgangspunkt hierfür war die Entdeckung, dass häufig eine größere Anzahl über lange Zeiträume phasenstabile Streuer, die sogenannten Permanent Scatterer (auch Persistent Scatterer oder PS), gefunden werden können, die man sich vereinfacht als Pixel vorstellen darf, deren Auflösungszelle einen dominanten, punktförmigen, über die Zeitreihe unveränderten Streuer enthält. Auf diese wird nun die Auswertung beschränkt, die vereinfacht folgende Schritte durchläuft:
Definition eines Graphen mit den PS als Knoten und Paaren benachbarter PS als Kanten; Schätzung einer Modellphase für Deformation und Höhenmodellfehler an Hand der Doppeldifferenzen aller verwendeten differentiellen Interferogramme für alle Kanten; Entrollen von Originalphase minus Modellphase, d.h. Auflösen der Mehrdeutigkeiten; räumlich-zeitliche Filterung, um die Variation der atmosphärischen Verzögerung zu eliminieren.
Als Produkt ergeben sich für jeden PS seine Bewegung in Sichtlinie des Sensors und eine Korrektur seiner Höhenlage relativ zum für die Erzeugung der differentiellen Interferogramme verwendeten Höhenmodell. Seither wurden diese Grundideen modifiziert und verfeinert. Vor allem müssen die Berücksichtigung verteilter Streuer (auch Distributed Scatterer oder DS) für die Deformationsanalyse erwähnt werden, was die Informationsdichte vor allem in ariden Gebieten drastisch erhöhen kann, sowie die SAR-Tomographie, die eine Analyse auch dann erlaubt, wenn zwei oder drei vergleichbar starke Streuer in einer Auflösungszelle vorhanden sind (z.B. wenn ein Streuer am Boden, eine Fensterniche und eine Dachstruktur den gleichen Abstand zum Sensor haben).
Die SAR-Interferometrie, insbesondere die Deformationsanalyse, verwendet vor allem mathematische Methoden aus den Bereichen Stochastik, Signalverarbeitung, Optimierungstheorie und Numerik. Besondere Herausforderungen ergeben sich daraus, dass die Vielfalt natürlicher Phänomene sich nur bedingt durch einfache statistische Modelle beschreiben lässt und aus dem Umstand, dass die Datensätze in der Regel sehr groß sind (ein Stapel von 30 Aufnahmen mit komplexwertigen 600 Megapixeln ist durchaus typisch). Es treten lineare Gleichungssysteme mit mehreren Zehntausend Unbekannten auf, die robust gelöst sein wollen. Für die Auflösung der Mehrdeutigkeiten verwenden die fortgeschrittensten Algorithmen ganzzahlige Optimierung. Wavelet-basierte Filterverfahren werden genutzt, um die atmosphärische Verzögerung vom Nutzsignal zu trennen. Im Zusammenhang mit der Schätzung der Variation der atmosphärischen Verzögerung werden geostatistische Verfahren wie Kriging eingesetzt. Statistische Tests werden bei der Auswahl der DS, sowie zur Detektion schlechter Pixel eingesetzt. Bei der Prozessierung der DS spielen Schätzer der Kovarianzmatrix eine prominente Rolle. Die SAR-Tomographie nutzt Compressive Sensing und viele weitere Verfahren.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die SAR-Interferometrie auch aus Perspektive eines Mathematikers ein reichhaltiges und spannendes Arbeitsgebiet ist.
Eine wichtige Anwendung ist die Deformationsanalyse durch die InSAR-Methode: Die SAR-Interferometrie zeichnet sich vor allen anderen Techniken dadurch aus, dass sie bei geeignetem Gelände sehr großflächige Phänomene mit sehr hoher Informationsdichte abbilden kann. Allerdings liefert sie relative Messungen, so dass in der Regel eine Kombination mit Nivellement oder hochgenauen GPS-Messungen verwendet wird. Ihre Genauigkeit hängt neben der Qualität der Daten von der Wellenlänge ab und zeigt bei 3cm Wellenlänge meist nur wenige Millimeter je Jahr Standardabweichung. Damit können selbst sehr feine Bewegungen, wie z.B. die Hebung des Oberrheingrabens (ca. 2mm/y), nachgewiesen werden. Allerdings können wegen der Mehrdeutigkeit der Phase Bewegungen auch zu stark sein, um noch mit PSInSAR auswertbar zu sein. In diesem Fall können längere Wellenlängen, höhere zeitliche Abtastung oder Korrelationsverfahren helfen. Trotz der diskutierten Einschränkungen lässt sich die Deformationsanalyse mit InSAR in vielen Zusammenhängen nutzensreich einsetzen, denn auch die Ursachen für Deformationen der Erdoberfläche sind vielfältig. Neben geologischen und anderen natürlichen Phänomenen werden sie von Bergbau, Förderung von Wasser, Erdgas, Erdöl, durch Geothermiebohrungen, Tunnelbau oder andere Bautätigkeiten ausgelöst. Meist steht bei den Anwendungen die Einschätzung von Risiken im Fokus. Erdbeben, Vulkanismus, aber auch Schäden an kritischer Infrastruktur, wie Deichen, Staudämmen oder Kernkraftwerken können katastrophale Folgen haben.
Ein weiteres wichtiges Thema ist die Entdeckung oder Beobachtung von Erdbewegungen, die sich potentiell zu einem Erdrutsch entwickeln könnten. Allein in den Alpen gibt es tausende Bergflanken, wo sich größere Bereiche in langsamer Bewegung befinden und in Leben oder Infrastruktur gefährdende Hangrutsche münden könnten. Auf Grund der zunehmenden Erderwärmung nimmt diese Bedrohung überall dort zu, wo Permafrost zu tauen beginnt, der bisher den Boden stabilisierte. InSAR wird bei der Erstellung von Risikokarten genutzt, die der Beurteilung der Gefährdungslage und der Entscheidung über Gegenmaßnahmen dienen.
In vielen Regionen der Erde werden Deformationen der Erdoberfläche durch veränderte Grundwasserstände verursacht. Nimmt das Grundwasser ab, etwa wegen Entnahme zur Bewässerung oder industriellen Verwendung, so senkt sich die Erdoberfläche. Nimmt das Grundwasser während regenreicher Zeiten zu, so hebt sich die Erdoberfläche. Das Monitoring mit InSAR ist hier aus mehreren Gründen interessant. Bewegungen der Erdoberfläche können Schäden an Gebäuden oder anderen Strukturen verursachen (Bsp. Mexico City). Übermäßige Wasserentnahme kann zu irreversibler Verdichtung der wasserführenden Schichten führen, was Konsequenzen für die zukünftige Verfügbarkeit der lebenswichtigen Flüssigkeit hat. Bei Knappheit muss die Entnahme reguliert und überwacht werden (Bsp. Central Valley, Kalifornien).
Von besonderer Bedeutung sind durch geologische Phänomene wie Vulkanismus oder tektonische Bewegungen verursachte Deformationen der Erdoberfläche. Die von SAR-Satelliten gewonnenen Daten werden zur Einschätzung von Risiken benutzt, auch wenn eine sichere, frühzeitige und zeitgenaue Vorhersage von Erdbeben oder Vulkanausbrüchen mit den heutigen Methoden nicht möglich ist. Sie sind aber die Grundlage für eine ausgedehnte Forschungsaktivität, die unser Verständnis der Vorgänge in der Erdkruste stetig wachsen lässt und immer genauere Vorhersagen erlaubt. Dies ist in erster Linie den SAR-Satelliten der ESA (ERS-1, ERS-2, Envisat und aktuell Sentinel-1A) zu verdanken, die seit 1991 mit lediglich einer Lücke von zwei Jahren (2012-2014) kontinuierlich die gesamte Erde aufnehmen. Die Idee dabei ist, dass so in festem zeitlichen Rhythmus (bei ERS alle 35 Tage) jeder Punkt der Erde aufgenommen wird. Dadurch ist ein großes Archiv entstanden, das es nach einem geologischen Ereignis ermöglicht, dieses mit den Methoden der SAR-Interferometrie zu untersuchen, da die Vorgeschichte verfügbar ist.
Eine Entwicklung der letzten Jahre ist die Nutzung bei der Erschließung von Erdgas und Erdöl. Die mit InSAR sichtbar gemachten Deformationen erlauben es, neue Einsicht in die Struktur der Lagerstätten zu erhalten, geomechanische Modelle zu kalibrieren und letztlich die Rohstoffe Dank optimierter Positionierung von Bohrlöchern effektiver und kostengünstiger zu fördern.
Wer InSAR noch besser verstehen will, der findet in den InSAR Guidlines der ESA die Grundlagen sehr gut erklärt. Einen etwas breiteren Überblick über Anwendungsmöglichkeiten kann man sich auf der Homepage von TRE verschaffen, einem Unternehmen, das von den Schöpfern von PSInSAR gegründet wurde und im Bereich InSAR-Auswertungen nach wie vor führend ist. Die Wettbewerber ADS und e-GEOS bieten außer InSAR weitere Anwendungen von SAR-Daten. Aus wissenschaftlich/politischer Perspektive kann man sich in der Broschüre der DLR über Themenfelder der Erdbeobachtung informieren. Zu dem speziellen Thema der Erdbewegung auf Grund Absenkung des Grundwasserspiegels in den USA gibt es weitere Informationen.
Literatur und weiterführende Informationen
A. Ferretti, A. Monti-Guarnieri, C. Prati, F. Rocca, D. Massonnet: InSAR Principles: Guidelines for SAR Interferometry Processing and Interpretation, TM-19, ESA Publications, 2007.
M. Fleischmann, D. Gonzalez (eds): Erdbeobachtung – Unseren Planeten erkunden, vermessen und verstehen, Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt e.V., 2013.
Land Subsidence, U.S. Geological Survey.
M. Even, A. Schunert, K. Schulz, U. Soergel: Atmospheric phase screen-estimation for PSInSAR applied to TerraSAR-X high resolution spotlight-data, Geoscience and Remote Sensing Symposium (IGARSS), IEEE International, 2010.
M. Even, A. Schunert, K. Schulz, U. Soergel: Variograms for atmospheric phase screen estimation from TerraSAR-X high resolution spotlight data, SPIE Proceedings Vol. 7829, SAR Image Analysis, Modeling, and Techniques X, 2010.
M. Even: Advanced InSAR processing in the footsteps of SqueeSAR
Podcast: Raumzeit RZ037: TanDEM-X
Podcast: Modellansatz Modell010: Positionsbestimmung
Podcast: Modellansatz Modell012: Erdbeben und Optimale Versuchsplanung
Podcast: Modellansatz Modell015: Lawinen
35 Minuten
Photobioreaktoren sind eine große Hoffnung für unsere Zukunft ohne Erdöl. Sie nutzen die Tatsache aus, dass verschiedenste Algensorten für uns nützliche Stoffe produzieren können. Im einfachsten Fall Futter für unsere Tiere, aber auch Äthanol als Treibstoff oder allgemein als Energieträger. Bei Grünalgen ist die Photosynthese der wichtige Stoffwechselprozess, der natürlich auch Licht braucht und Kohlendioxid. Bevor Photobioreaktoren wirklich effektiv arbeiten können, müssen jedoch viele Aspekte des Prozesses noch viel besser verstanden werden. Hier stehen wir erst am Anfang der Entwicklung.
Judith Kolbe hat in ihrer Masterarbeit ein Modell erprobt, das die Verklumpung (technisch: Agglomeration) von Algen beim Fließen durch geschlossene Zylinder beschreiben soll. Das Anliegen ist, durch vorherige Simulation die Bedingungen im Reaktor so zu optimieren, dass die Verklumpung möglichst vermieden wird, damit es nicht zu Fäule und zum Absterben der Algen kommt. Besondere Effekte am Rand des Behälters wurden hier zunächst gar nicht betrachtet.
Als Beispielfall wurden sehr kleine Algen- Mikroorganismen- betrachtet, für die die eigene Geometrie keine allzu große Rolle bei der Verklumpung spielt. Der wichtigste Aspekt im Modell ist die Annahme, dass die kugelförmigen Partikel einen Schmierfilm auf ihrer Oberfläche tragen. Zwei Partikel, die während ihrer Bewegung im Fluid zufällig zusammenstloßen, verschmelzen zu einem größeren, wenn die umgesetzte Energie im Schierfilm dissipieren kann. Die Strömung des Trägerfluids geht hier vor allem als Kraftwirkung auf die Algenpartikel ein (inklusive der Bewegungsrichtung).
Der Vorteil dieses Modells ist zum einen, dass es so einfach ist, dass es nur wenige Parameter benötigt und zum anderen, dass die Interpretation der Ergebnisse klar ist (im sogenannten Postprocessing).
Ein großer Nachteil ist, dass die Zahl der Partikel, die man einzeln so behandeln kann, durch die Rechenstärke schnell sehr stark eingeschränkt wird, selbst wenn ausgenutzt wird, dass man die Rechnungen hervorragend parallelisieren kann. Deshalb wurde in der Arbeit schließlich auch nur ein prototypischer Würfel von 4mm Seitenlänge in der Mitte des zylindrischen Reaktors simuliert.
Literatur und weiterführende Informationen
H. Chmiel: Bioreaktoren, Bioprozesstechnik, Spektrum Akademischer Verlag, 2011.
C. T. Crowe, J. D. Schwarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji: Multiphase flows with droplets and particles, CRC press, 2011.
B. J. Ennis, G. Tardos, R. Pfeffer: A microlevel-based characterization of granulation phenomena, Powder Technology, 65(1), 257-272, 1991.
D. Hänel: Molekulare Gasdynamik: Einführung in die kinetische Theorie der Gase und Lattice-Boltzmann-Methoden, Springer-Verlag, 2006.
W. Pietsch, Wolfgang: Size enlargement by agglomeration, New York, Wiley, 1991.
Podcast Konscience KNS015: Energie aus Biomasse, Erstmal die Chinchillas ruhigstellen, 2014.
Judith Kolbe hat in ihrer Masterarbeit ein Modell erprobt, das die Verklumpung (technisch: Agglomeration) von Algen beim Fließen durch geschlossene Zylinder beschreiben soll. Das Anliegen ist, durch vorherige Simulation die Bedingungen im Reaktor so zu optimieren, dass die Verklumpung möglichst vermieden wird, damit es nicht zu Fäule und zum Absterben der Algen kommt. Besondere Effekte am Rand des Behälters wurden hier zunächst gar nicht betrachtet.
Als Beispielfall wurden sehr kleine Algen- Mikroorganismen- betrachtet, für die die eigene Geometrie keine allzu große Rolle bei der Verklumpung spielt. Der wichtigste Aspekt im Modell ist die Annahme, dass die kugelförmigen Partikel einen Schmierfilm auf ihrer Oberfläche tragen. Zwei Partikel, die während ihrer Bewegung im Fluid zufällig zusammenstloßen, verschmelzen zu einem größeren, wenn die umgesetzte Energie im Schierfilm dissipieren kann. Die Strömung des Trägerfluids geht hier vor allem als Kraftwirkung auf die Algenpartikel ein (inklusive der Bewegungsrichtung).
Der Vorteil dieses Modells ist zum einen, dass es so einfach ist, dass es nur wenige Parameter benötigt und zum anderen, dass die Interpretation der Ergebnisse klar ist (im sogenannten Postprocessing).
Ein großer Nachteil ist, dass die Zahl der Partikel, die man einzeln so behandeln kann, durch die Rechenstärke schnell sehr stark eingeschränkt wird, selbst wenn ausgenutzt wird, dass man die Rechnungen hervorragend parallelisieren kann. Deshalb wurde in der Arbeit schließlich auch nur ein prototypischer Würfel von 4mm Seitenlänge in der Mitte des zylindrischen Reaktors simuliert.
Literatur und weiterführende Informationen
H. Chmiel: Bioreaktoren, Bioprozesstechnik, Spektrum Akademischer Verlag, 2011.
C. T. Crowe, J. D. Schwarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji: Multiphase flows with droplets and particles, CRC press, 2011.
B. J. Ennis, G. Tardos, R. Pfeffer: A microlevel-based characterization of granulation phenomena, Powder Technology, 65(1), 257-272, 1991.
D. Hänel: Molekulare Gasdynamik: Einführung in die kinetische Theorie der Gase und Lattice-Boltzmann-Methoden, Springer-Verlag, 2006.
W. Pietsch, Wolfgang: Size enlargement by agglomeration, New York, Wiley, 1991.
Podcast Konscience KNS015: Energie aus Biomasse, Erstmal die Chinchillas ruhigstellen, 2014.
32 Minuten
Catherine Bandle war bis 2003 Professorin am Mathematischen Institut der Universität in Basel. Aber auch über die Emeritierung hinaus ist sie sehr rege in der Forschung zu elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen. Das zeigt sich an einer beeindruckenden Zahl von Publikationen, der Teilnahme an Tagungen und im Einbringen ihrer Erfahrung in die Tätigkeit von Gremien wie dem Landeshochschulrat Brandenburg und dem Steering Committee of the European Science Foundation program: Global and Geometric Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations.
Ihre Faszination für die Vielseitigkeit dieses Themas in den Anwendungen und die Zusammenhänge zur Geometrie haben sich über viele Jahrzehnte erhalten. Für den Workshop Nonlinear Days 2015 wurde sie für einen Hauptvortrag nach Karlsruhe eingeladen. Wir haben diese Gelegenheit genutzt, das Thema der Modellbildung mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen mit ihr etwas allgemeiner zu beleuchten.
Traditionell stehen elliptische wie parabolische Gleichungen am Beginn der modernen Modellbildung von Prozessen in der Physik, der Biologie und Chemie. Hier sind es Diffusions-, Reaktions-, Transport- und Wachstumsprozesse, die zunächst durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben wurden. Allerdings waren vor etwa 150 Jahren die Anwendungen in Teilen schon zu komplex für dieses zu einfache Modell. Abhängigkeiten von Veränderungen in allen Raum- und der Zeitrichtung sollten interagierend erfasst werden. Das führte zwingend auf die partiellen Differentialgleichungen.
Mit dem Aufstellen der Gleichungen verband sich die Hoffnung, durch die zugehörigen Lösungen Vorhersagen treffen zu können. Um diese Lösungen zu finden, brauchte es aber ganz neue Konzepte. Am Anfang der Entwicklung standen beispielsweise die Fourierreihen, die (unter den richtigen Voraussetzungen) eine Darstellung solcher Lösungen sein können. Werkzeuge wie Fourier- und Lapalacetransformation konnten zumindest für bestimmte Geometrien hilfreiche Antworten geben. Später wurder der Begriff der schwachen Lösung bzw. schwachen Formulierung geprägt und die damit verbundenen Sobolevräume auf verschiedenen Wegen entwickelt und untersucht. Die Suche nach den Lösungen der Gleichungen hat damit die theoretische Entwicklung in der Mathematik stark vorangetrieben.
Heute sind wir froh, dass wir in der linearen Theorie (siehe auch Lemma von Lax-Milgram) vieles verstanden haben und versuchen uns Stück für Stück nichtlineare Modellen anzueignen. Ein erster Schritt ist häufig eine lokale Linearisierung oder das Zulassen von Nichtlinearitäten in untergeordneten Termen (semilineare Probleme). Ein integraler Bestandteil ist hier jedoch auch die Möglichkeit, mehr als eine Lösung der Gleichung zu haben und wir brauchen deshalb Konzepte, die physikalisch relevante unter ihnen zu finden. Hier sind Konzepte der Stabilität wichtig. Nur stabile Lösungen sind solche, die zu beobachtbaren Phänomenen führen.
Wichtige Werkzeuge in der Lösungstheorie sind auch die Normen, in denen wir unsere Lösungen messen. Am überzeugendsten ist es, wenn sich Normen in Energien des Systems übersetzen lassen. Dann kann man auch die Stabilität im Rahmen von Energieerhaltung und Energieminimierung diskutieren.
Literatur und Zusatzinformationen
Catherine Bandle: Die Mathematik als moderne Weltsprache - Am Beispiel der Differenzialgleichungen, UniNova Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Band 87, 2000.
R.Farwig: Skript zu Elementaren Differentialgleichungen, Technische Universität Darmstadt, 2008.
Videos zu PDEs (in Englisch)
Video zur Fourierreihenidee auf Deutsch
Ihre Faszination für die Vielseitigkeit dieses Themas in den Anwendungen und die Zusammenhänge zur Geometrie haben sich über viele Jahrzehnte erhalten. Für den Workshop Nonlinear Days 2015 wurde sie für einen Hauptvortrag nach Karlsruhe eingeladen. Wir haben diese Gelegenheit genutzt, das Thema der Modellbildung mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen mit ihr etwas allgemeiner zu beleuchten.
Traditionell stehen elliptische wie parabolische Gleichungen am Beginn der modernen Modellbildung von Prozessen in der Physik, der Biologie und Chemie. Hier sind es Diffusions-, Reaktions-, Transport- und Wachstumsprozesse, die zunächst durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben wurden. Allerdings waren vor etwa 150 Jahren die Anwendungen in Teilen schon zu komplex für dieses zu einfache Modell. Abhängigkeiten von Veränderungen in allen Raum- und der Zeitrichtung sollten interagierend erfasst werden. Das führte zwingend auf die partiellen Differentialgleichungen.
Mit dem Aufstellen der Gleichungen verband sich die Hoffnung, durch die zugehörigen Lösungen Vorhersagen treffen zu können. Um diese Lösungen zu finden, brauchte es aber ganz neue Konzepte. Am Anfang der Entwicklung standen beispielsweise die Fourierreihen, die (unter den richtigen Voraussetzungen) eine Darstellung solcher Lösungen sein können. Werkzeuge wie Fourier- und Lapalacetransformation konnten zumindest für bestimmte Geometrien hilfreiche Antworten geben. Später wurder der Begriff der schwachen Lösung bzw. schwachen Formulierung geprägt und die damit verbundenen Sobolevräume auf verschiedenen Wegen entwickelt und untersucht. Die Suche nach den Lösungen der Gleichungen hat damit die theoretische Entwicklung in der Mathematik stark vorangetrieben.
Heute sind wir froh, dass wir in der linearen Theorie (siehe auch Lemma von Lax-Milgram) vieles verstanden haben und versuchen uns Stück für Stück nichtlineare Modellen anzueignen. Ein erster Schritt ist häufig eine lokale Linearisierung oder das Zulassen von Nichtlinearitäten in untergeordneten Termen (semilineare Probleme). Ein integraler Bestandteil ist hier jedoch auch die Möglichkeit, mehr als eine Lösung der Gleichung zu haben und wir brauchen deshalb Konzepte, die physikalisch relevante unter ihnen zu finden. Hier sind Konzepte der Stabilität wichtig. Nur stabile Lösungen sind solche, die zu beobachtbaren Phänomenen führen.
Wichtige Werkzeuge in der Lösungstheorie sind auch die Normen, in denen wir unsere Lösungen messen. Am überzeugendsten ist es, wenn sich Normen in Energien des Systems übersetzen lassen. Dann kann man auch die Stabilität im Rahmen von Energieerhaltung und Energieminimierung diskutieren.
Literatur und Zusatzinformationen
Catherine Bandle: Die Mathematik als moderne Weltsprache - Am Beispiel der Differenzialgleichungen, UniNova Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Band 87, 2000.
R.Farwig: Skript zu Elementaren Differentialgleichungen, Technische Universität Darmstadt, 2008.
Videos zu PDEs (in Englisch)
Video zur Fourierreihenidee auf Deutsch
