Modellansatz Archiv
256 Episoden
36 Minuten
Vojtěch Cvrček ist im Herbst 2013 als Erasmusstudent von der CTU in Prag nach Karlsruhe ans KIT entsandt worden. Er hatte schon in der Grundschule Deutsch gelernt und wollte seine Sprachkenntnisse direkt in Deutschland verbessern. Deshalb wollte er auch ein ganzes Jahr bleiben (nicht nur ein Semester). Das bedeutete insbesondere, dass er die Einarbeitung in seine Masterarbeit schon in Karlsruhe beginnen müsste und deshalb ein Thema und ein Betreuerteam finden müsste, dass dies ermöglicht.
Seine deutsche Wunschstadt war eigentlich Berlin - wegen der räumlichen Nähe zur Prag und weil ihm die Stadt gut gefiel. Leider gab es im Rahmen des Erasmusprogrammes aber keine Möglichkeit für ihn, dort sein Mathematikstudium fortzuführen. Infrage kamen dafür nur die TU Hamburg, TU Darmstadt und das KIT in Karlsruhe. Unter seinen Professoren und Mitstudenten in Prag war das KIT in Karlsruhe nicht gut bekannt, aber ein ordentlicher Fußballverein war in seinen Augen ein Pluspunkt für Karlsruhe.
Nach der Entscheidung für Karlsruhe suchte er nach persönlichen Ansprechpartnern. Er fand die Projekte von Matthias Krause im Internet und ihn begeisterte insbesondere die dort vorgestellte Zusammenarbeit der Mathematik mit dem studentischen Projekt KAraceing. Deshalb schrieb er Matthias Krause eine e-mail und stellte sich als künftiger Erasmusstudent vor, der den einen oder anderen Rat einholen wollen würde. Er fand ein offenes Ohr und geeignete Lehrveranstaltungen wurden entsprechend seinen Zielen für das Jahr in Karlsruhe zusammengestellt. Für die Zeit in Karlsruhe und darüber hinaus hatte er damit einen Mentor, der ihn schließlich auch in seine Arbeitsgruppe integriert hat. Vojtěch Cvrček wurde studentische Hilfskraft und unterstützte Matthias Krause zunächst in der Lehre bis er in der Lage war, das Softwareprojekt OpenLB mit weiter zu entwickeln. Die Gruppenmeetings des Teams um OpenLB gehörten selbstverständlich zu seiner Arbeit und der Austausch in der Gruppe war dadurch sehr intensiv.
Deshalb sieht Vojtěch Cvrček das Jahr in Karlsruhe als das beste Jahr in seinem Studium an. Er hat hier sehr viel gelernt und tolle Unterstützung durch Mitstudierende gefunden.
Als Vorlesungen entschied er sich für Mathematische Modellbildung und Simulation in der Praxis, Partielle Differentialgleichungen, das Projektorientierte Praktikum, Inverse Probleme und Paralleles Rechnen. Anschließend stand die Vorbereitung der Masterarbeit zum Thema Mischung von nichtnewtonschen Fluiden im Vordergrund. Nichtnewtonsche Fluide finden sich überall, z.B. auch in der Medizin (hier vor allem das Fluid Blut). Seine Professor in Prag hat schon lange Beziehung zum Institut für experimentelle Medizin, deshalb war dieses Thema für beide Seiten (Karlsruhe und Prag) sehr interessant.
Seine Vorkenntnisse und der Wunsch, die deutschen Sprache wirklich zu sprechen, erwiesen sich als Vorteil, weil Vojtěch Cvrček so leichter Kontakte knüpfen konnte zu den deutschen Studierenden und Mitarbeitern. Nach einer Anfangszeit mit einer Unterkunft am Stadtrand von Karlsruhe konnte er im Studentenwohnheim HaDiKo (kurz für Hans-Dickmann-Kolleg) einziehen, was einem reichhaltiges sozialen Leben zur Folge hatte und auch vielen Kontakten zu nicht-Mathematikern.
Nach erfolgreichem Abschluss des Studiums in Prag wollte er gern in Deutschland eine Arbeit als Ingenieur finden. Dafür hat er auch die Karrieremessen des KIT genutzt, um direkt Kontakt zu Firmen zu knüpfen. Das hat schließlich dazu geführt, dass er sogar die Wahl zwischen verschiedenen Angeboten hatte. Er wird nun als Mathematiker im Maschinenbau tätig sein in der Nähe von Karlsruhe.
Referenzen:
OpenLB Open source lattice Boltzmann code
I. Wayand: Palo Alto, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 106, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
H. Wilson: Viscoelastic Fluids, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 92, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
Seine deutsche Wunschstadt war eigentlich Berlin - wegen der räumlichen Nähe zur Prag und weil ihm die Stadt gut gefiel. Leider gab es im Rahmen des Erasmusprogrammes aber keine Möglichkeit für ihn, dort sein Mathematikstudium fortzuführen. Infrage kamen dafür nur die TU Hamburg, TU Darmstadt und das KIT in Karlsruhe. Unter seinen Professoren und Mitstudenten in Prag war das KIT in Karlsruhe nicht gut bekannt, aber ein ordentlicher Fußballverein war in seinen Augen ein Pluspunkt für Karlsruhe.
Nach der Entscheidung für Karlsruhe suchte er nach persönlichen Ansprechpartnern. Er fand die Projekte von Matthias Krause im Internet und ihn begeisterte insbesondere die dort vorgestellte Zusammenarbeit der Mathematik mit dem studentischen Projekt KAraceing. Deshalb schrieb er Matthias Krause eine e-mail und stellte sich als künftiger Erasmusstudent vor, der den einen oder anderen Rat einholen wollen würde. Er fand ein offenes Ohr und geeignete Lehrveranstaltungen wurden entsprechend seinen Zielen für das Jahr in Karlsruhe zusammengestellt. Für die Zeit in Karlsruhe und darüber hinaus hatte er damit einen Mentor, der ihn schließlich auch in seine Arbeitsgruppe integriert hat. Vojtěch Cvrček wurde studentische Hilfskraft und unterstützte Matthias Krause zunächst in der Lehre bis er in der Lage war, das Softwareprojekt OpenLB mit weiter zu entwickeln. Die Gruppenmeetings des Teams um OpenLB gehörten selbstverständlich zu seiner Arbeit und der Austausch in der Gruppe war dadurch sehr intensiv.
Deshalb sieht Vojtěch Cvrček das Jahr in Karlsruhe als das beste Jahr in seinem Studium an. Er hat hier sehr viel gelernt und tolle Unterstützung durch Mitstudierende gefunden.
Als Vorlesungen entschied er sich für Mathematische Modellbildung und Simulation in der Praxis, Partielle Differentialgleichungen, das Projektorientierte Praktikum, Inverse Probleme und Paralleles Rechnen. Anschließend stand die Vorbereitung der Masterarbeit zum Thema Mischung von nichtnewtonschen Fluiden im Vordergrund. Nichtnewtonsche Fluide finden sich überall, z.B. auch in der Medizin (hier vor allem das Fluid Blut). Seine Professor in Prag hat schon lange Beziehung zum Institut für experimentelle Medizin, deshalb war dieses Thema für beide Seiten (Karlsruhe und Prag) sehr interessant.
Seine Vorkenntnisse und der Wunsch, die deutschen Sprache wirklich zu sprechen, erwiesen sich als Vorteil, weil Vojtěch Cvrček so leichter Kontakte knüpfen konnte zu den deutschen Studierenden und Mitarbeitern. Nach einer Anfangszeit mit einer Unterkunft am Stadtrand von Karlsruhe konnte er im Studentenwohnheim HaDiKo (kurz für Hans-Dickmann-Kolleg) einziehen, was einem reichhaltiges sozialen Leben zur Folge hatte und auch vielen Kontakten zu nicht-Mathematikern.
Nach erfolgreichem Abschluss des Studiums in Prag wollte er gern in Deutschland eine Arbeit als Ingenieur finden. Dafür hat er auch die Karrieremessen des KIT genutzt, um direkt Kontakt zu Firmen zu knüpfen. Das hat schließlich dazu geführt, dass er sogar die Wahl zwischen verschiedenen Angeboten hatte. Er wird nun als Mathematiker im Maschinenbau tätig sein in der Nähe von Karlsruhe.
Referenzen:
OpenLB Open source lattice Boltzmann code
I. Wayand: Palo Alto, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 106, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
H. Wilson: Viscoelastic Fluids, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 92, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.
16 Minuten
Isabell Wayand ist eine Studentin im Masterstudiengang Mathematik am KIT. Sie hat an verschiedene Lehrveranstaltungen in der angewandten Mathematik teilgenommen, deren Dozentin Gudrun war. Anlass des Podcast-Gespräches war ein 6-monatiges Praktikum, dass Frau Wayand kürzlich bei der Firma Bosch am Sitz in Palo Alto im US-Bundesstaat Kalifornien absolviert hat.
In der Arbeitsgruppe in der Frau Wayand beschäftigt war, wird Software entwickelt, die Einspritzsysteme simulieren kann, d.h. es geht um die Nachbildung komplizierter physikalischer Vorgänge in denen die Strömung eines Benzin bzw. Diesel-Luft-Gemisches und das erzeugte Spray in einer komplexen Geometrie interagieren. Ihre Aufgabe bestand darin, die dort benutzte Implementierung von Zustandsgleichungen in der Strömungssimulation zu verbessern.
Ein konkreter Teilaspekt dabei war, wie unter Kenntnis von Dichte und Temperatur der zugehörige Druck berechnet wird. Die vorhandene Implementierung sollte deutlich beschleunigt werden und die Fluid-Eigenschaften realistischer. Der hierfür gewählte Weg war schließlich, die Zustandsgleichung als Tabelle von Tripeln zu hinterlegen. Das führte auf Tabellen mit mehreren 100.000 bis einige Millionen abgespeicherten Zuständen (als Triple von Dichte, Temperatur und Druck). Selbst das ist noch nicht genau genug für alle Berechnungen, weshalb für Zwischenwerte noch interpoliert werden muss. Durch die großen Tabellen (bzw. die vielen hinterlegten Werte) sind die so zu überbrückenden Lücken jedoch klein genug, dass eine einfache lineare Interpolation ausreicht.
Ein wichtiger Aspekt hierbei ist die Organisation der Tabellen, um einen schnellen Zugriff auf das richtige Datentripel zu gewährleisten. Die Wahl war schließlich ein Octree, damit die Daten schnell gefunden werden können.
Ein Grund sich für das Praktikum in Palo Alto zu bewerben, war Frau Wayands Wunsch im Studium schon Auslandserfahrung zu sammeln. Da sie ein Praktikum bei Bosch in Stuttgart mit guten Erfahrungen beendet hatte, kam es ihr sehr gelegen, dass es von dort die Beziehungen nach Palo Alto in die Themen der Strömungsrechnung gab.
In Silikon Valley sind Arbeitsgruppen stets sehr international besetzt. In ihrer Gruppe waren es z.B. Mitarbeiter aus Indien, China, Korea und Frankreich, neben nur einem US-Amerikaner. So muss man natürlich kulturelle Unterschiede überbrücken.
In Bezug auf die inhaltliche Arbeit war Frau Wayand sehr zufrieden. Sie bekam mehrfach Rückmeldung von ihrem Betreuer, nachdem sie ihren Arbeitsstand im Gruppen-Meeting vorgestellt hatte. Am Ende gab es ein Feedbackgespräch mit Personalabteilung und Betreuer (inkl. Arbeits-Zeugnis). Sie fühlte sich durch die Ausbildung in Karlsruhe gut auf die Aufgaben im Praktikum vorbereitet.
Durch das Studentenbindungsprogramm bei Bosch wurde sie stark unterstützt. Das betraf finanzielle Hilfe als auch Hilfe bei den Formalitäten. Außerdem wurde in Palo Alto sogar eine Wohnung wurde gestellt, die sie mit einer anderen Praktikantin geteilt hat.
Ihr Fazit nach der Herausforderung: Man sollte sich das durchaus zutrauen.
Verwandte Podcast
C.Straub: Injektoren, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 8, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2013. http://modellansatz.de/injektoren
In der Arbeitsgruppe in der Frau Wayand beschäftigt war, wird Software entwickelt, die Einspritzsysteme simulieren kann, d.h. es geht um die Nachbildung komplizierter physikalischer Vorgänge in denen die Strömung eines Benzin bzw. Diesel-Luft-Gemisches und das erzeugte Spray in einer komplexen Geometrie interagieren. Ihre Aufgabe bestand darin, die dort benutzte Implementierung von Zustandsgleichungen in der Strömungssimulation zu verbessern.
Ein konkreter Teilaspekt dabei war, wie unter Kenntnis von Dichte und Temperatur der zugehörige Druck berechnet wird. Die vorhandene Implementierung sollte deutlich beschleunigt werden und die Fluid-Eigenschaften realistischer. Der hierfür gewählte Weg war schließlich, die Zustandsgleichung als Tabelle von Tripeln zu hinterlegen. Das führte auf Tabellen mit mehreren 100.000 bis einige Millionen abgespeicherten Zuständen (als Triple von Dichte, Temperatur und Druck). Selbst das ist noch nicht genau genug für alle Berechnungen, weshalb für Zwischenwerte noch interpoliert werden muss. Durch die großen Tabellen (bzw. die vielen hinterlegten Werte) sind die so zu überbrückenden Lücken jedoch klein genug, dass eine einfache lineare Interpolation ausreicht.
Ein wichtiger Aspekt hierbei ist die Organisation der Tabellen, um einen schnellen Zugriff auf das richtige Datentripel zu gewährleisten. Die Wahl war schließlich ein Octree, damit die Daten schnell gefunden werden können.
Ein Grund sich für das Praktikum in Palo Alto zu bewerben, war Frau Wayands Wunsch im Studium schon Auslandserfahrung zu sammeln. Da sie ein Praktikum bei Bosch in Stuttgart mit guten Erfahrungen beendet hatte, kam es ihr sehr gelegen, dass es von dort die Beziehungen nach Palo Alto in die Themen der Strömungsrechnung gab.
In Silikon Valley sind Arbeitsgruppen stets sehr international besetzt. In ihrer Gruppe waren es z.B. Mitarbeiter aus Indien, China, Korea und Frankreich, neben nur einem US-Amerikaner. So muss man natürlich kulturelle Unterschiede überbrücken.
In Bezug auf die inhaltliche Arbeit war Frau Wayand sehr zufrieden. Sie bekam mehrfach Rückmeldung von ihrem Betreuer, nachdem sie ihren Arbeitsstand im Gruppen-Meeting vorgestellt hatte. Am Ende gab es ein Feedbackgespräch mit Personalabteilung und Betreuer (inkl. Arbeits-Zeugnis). Sie fühlte sich durch die Ausbildung in Karlsruhe gut auf die Aufgaben im Praktikum vorbereitet.
Durch das Studentenbindungsprogramm bei Bosch wurde sie stark unterstützt. Das betraf finanzielle Hilfe als auch Hilfe bei den Formalitäten. Außerdem wurde in Palo Alto sogar eine Wohnung wurde gestellt, die sie mit einer anderen Praktikantin geteilt hat.
Ihr Fazit nach der Herausforderung: Man sollte sich das durchaus zutrauen.
Verwandte Podcast
C.Straub: Injektoren, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 8, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2013. http://modellansatz.de/injektoren
1 Stunde 19 Minuten
Im Anschluss ihres Erasmus-Auslandsjahr in Lyon hat sich Alexandra Krause als angehende Physikerin in den Bereich der Quanteninformatik vertieft. Dazu hat sie im Rahmen der Gulasch Programmiernacht (GPN16) des Entropia e.V. in der Hochschule für Gestaltung und dem ZKM in Karlsruhe über Quantum Speedup (video) vorgetragen und Zeit gefunden, uns auch im Podcast etwas über das Thema zu erzählen.
Im Gegensatz zur klassischen Physik gelten in der Quantenmechanik eigene Regeln: So geht es hier um Teilchen in der Größenordnung von Atomen, wo die Begriffe Teilchen und Welle verschwimmen und der quantenmechanische Zustand unbeobachtet nur noch als Zustandsgemisch beschrieben werden kann.
Genau diese Eigenschaft will man sich beim Quantencomputer zu Nutze machen, wo gegenüber dem klassischen digitalen Computer, der immer auf einzelnen festen Zuständen in Bits mit Logikgattern rechnet, der Quantenrechner pro Schritt in Qubits auf allen Zuständen gleichzeitig operiert. Das eigentliche Ergebnis erhält man dort erst bei der Messung, wodurch sich der reine Zustand des Quantensystems einstellt.
Der Grover-Algorithmus ist eine bekannte Anwendung für einen Quantencomputer, der Datenbanken schneller als klassische Verfahren durchsuchen kann. Der Shor-Algorithmus kann hingegen mit einer Quanten-Fouriertransformation in polynomialer Zeit Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen kann. Damit werden viele assymetrische Kryptoverfahren wie das RSA-Verfahren obsolet, da sie auf der Schwierigkeit der klassischen Faktorisierung basieren. Shor hat in der gleichen Publikation auch ein Verfahren zur effizienten Berechnung von diskreten Logarithmen auf Quantencomputern veröffentlicht, so dass auch Kryptoverfahren auf elliptischen Kurven durch Quantencomputer gebrochen werden, die neben dem RSA-Verfahren Basis für viele Kryptowährungen sind.
Zum jetzigen Zeitpunkt ist es der Experimentalphysik noch nicht gelungen, allgemeine Quantensysteme in einer Größe zu erschaffen, die für sinnvolle Anwendungen der Verfahren erforderlich wären. Die Schwierigkeit liegt darin, den Quantenzustand einzelner Qubits von der Umwelt abzukoppeln und nur für die Berechnung zu verwenden, wenn doch alles in der Umgebung in Bewegung ist. In der Größe weniger Qubits, die allgemeine Quantencomputer bisher erreichen konnten, wurden Zahlen wie 15 und 21 erfolgreich faktorisiert.
Eine Hoffnung besteht hier auf dem adiabatischen Quantencomputer auf Basis adiabatischen Theorems, der von der Firma D-Wave Systems gebaut, und 2011 mit unvergleichlich vielen 128 Qubits auf den Markt gebracht wurde. Das Problem ist dabei, dass adiabatischen Quantencomputer im normalen Arbeitszustand keine universellen Quantencomputer sind, und hauptsächlich Optimierungsprobleme lösen können.
Universelle Quantencomputer können im Circuit model anschaulich jedes herkömmliches Programm abbilden: Jedes klassische Logik-Gatter kann durch Hinzufügen weiterer Ausgänge reversibel werden, und dann als eine unitäre Abbildung oder Matrizen im Quantencomputer realisiert werden. Unitäre Abbildungen sind lineare Abbildungen mit der Eigenschaft, dass sie das komplexe Skalarprodukt zweier Vektoren nach der Abbildung erhalten, d.h. Vektoren behalten die gleiche Länge, und zwei Vektoren behalten den gleichen Winkel zueinander. Der Nachteil des reversiblen Ansatzes ist jedoch, dass dafür womöglich viele Bits benötigt werden, wenn man die Abbildungen nicht zuvor zusammenfassen kann.
Theoretisch kann der adiabatische Quantencomputer auch universell sein, nur ist dazu ideal eine ungestörte Umgebung Voraussetzung, was in Realität nicht erreicht werden kann. Es verbleiben Optimierungsprobleme, die über den Hamiltonoperator abgebildet werden können: physikalische Prozesse möchten den energetisch niedrigsten Zustand zu erreichen. Ein Beispiel sind hier Minimalflächen, wie sie von Seifenhäuten und Seifenblasen angenommen werden- und auch zum Bau des Olympiageländes in München genutzt wurden. Im Schülerlabor für Mathematik in Karlsruhe kann man auch viele Experimente dazu durchführen.
Wenn man ein Optimierungsproblem lösen möchte, so sind lokale Minima ein Problem- in ihrer Umgebung erscheinen sie als Lösung, sie sind es jedoch insgesamt betrachtet nicht. Eine Möglichkeit die lokalen Minima zu umgehen ist das Verfahren des Simulated Annealing. Hier wird durch externe Störquellen begünstigt, dass lokale Minima verlassen werden, um das globale Minimum zu erreichen. In Quantensystemen spielt hier beim Quantum Annealing zusätzlich der Tunneleffekt eine besondere Rolle, wodurch die Störung noch leichter von lokalen Minima hinweg streut. Dadurch ist das Quantum Annealing prinzipiell und aus der Theorie schneller- oder zumindest nicht langsamer- als das Simulated Annealing.
Dabei ist das Quantum Annealing natürlich nur auf einem Quantencomputer effizient umsetzbar. Das ist dabei ein Beispiel für eine Quantensimulation auf einem Quantencomputer in dem Forschungsfeld, das sich mit der Abbildung und Simulation von Quantensystemen befasst.
Damit ist der adiabatische Quantencomputer auf eine kleinere Klasse von lösbaren Problemen beschränkt, jedoch soll er dieses mit einer erheblichen höheren Anzahl von Qubits durchführen können- zur Zeit der Aufnahme waren dies mit dem D-Wave Two etwa 512 Qubits. Die Frage, ob diese adiabatischen Quantencomputer mit dieser großen Anzahl von Qubits wirklich als Quantencomputer arbeiten, wurde wissenschaftlich diskutiert:
Im Artikel Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits legen die Autoren dar, dass der betrachtete adiabatische Quantencomputer starke Anzeichen für die tatsächliche Umsetzung des Quantum Annealing zeigt. In wie weit jedoch nun eine quantenbedingte Beschleunigung feststellen ist, diskutieren T. Rønnow und Mitautoren in der Arbeit Defining and detecting quantum speedup. Sie erhielten das ernüchternde Ergebnis, dass eine Beschleunigung durch Nutzung des betrachteten Quantensystems nicht eindeutig nachgewiesen werden konnte. Dagegen argumentierten V. Denchev et al. in What is the Computational Value of Finite Range Tunneling?, dass eine 100'000'000-fache Beschleunigung mit hoher Wahrscheinlichkeit gegenüber einem Einprozessor-System nachgewiesen werden kann.
Ein Problem bei der Analyse ist, dass die betrachteten Algorithmen für den Quantencomputer in den Bereich der probabilistischen Algorithmen fallen, die Ergebnisse also eine Fehlerwahrscheinlichkeit besitzen, die durch mehrfache Ausführung verringert werden kann. In der Kryptographie werden probabilistische Primzahltests sehr häufig eingesetzt, die auch in diese Klasse der Algorithmen fallen. So wurde im ersten Paper das Verhalten des Quantencomputers in einer Vielzahl von Versuchen mit simulierten Algorithmen verglichen und mit hoher Wahrscheinlichkeit festgestellt, dass der D-Wave-Rechner tatsächlich den Quantum Annealing Algorithmus ausführt.
Über den D-Wave-Rechner ist bekannt, dass die einzelnen Qubits durch supraleitende Ringe abgebildet sind und die beiden Stromlaufrichtungen die superpositionierten Zustände darstellen. Die Kopplung zwischen Qubits und nach außen erfolgt durch Spulen, die über die entstehenden Magnetfelder mit den Strömen in den Ringen interagieren. Die Kopplung zwischen Qubits wird damit durch die parametrisierte Kopplung der Spulen realisiert.
Für klassische Algorithmen und parallelisierte Computersysteme beschreibt der Begriff des Speedup die Effizienzsteigerung durch Nutzung einer erhöhten Parallelisierung. Je nach Algorithmus gibt es nach Amdahls Gesetz logische Grenzen, wo weitere Parallelisierung keine Gewinn mehr erzielt. Entsprechend besteht der Wunsch den Begriff des Quantum Speedup analog zu definieren und nachzuweisen: Diesen Ansatz verfolgten T. Rønnow und Mitautoren und definierten verschiedene Klassen von Quantum Speedup, wobei der adiabatische D-Wave Quantencomputer für sie nur Anzeichen für ein potentielles Speed-up ergab. Das ist ein ernüchterndes Ergebnis, wobei die Autoren klar weiteren Forschungsbedarf sahen.
Hier war das Paper von V. Denchev und Mitautoren eine große Überraschung, wo dem D-Wave 2X Rechner mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Beschleunigung von 10^8 nachgesagt wurde. Neben den Annealing-Verfahren kam hier auch Quantum Monte Carlo zum Einsatz. Im Ergebnis erhielten sie für die Annealing-Verfahren ein asymptotisches Speed-Up, das sich für größere Problemstellungen einstellt, für Quantum Monte Carlo eine von der Problemgröße unabhängige Beschleunigung gegenüber einem klassischen Single-core Rechner.
Diese Aussagen trafen aber schnell auf Widerstand und den Nachweis, dass ein im Paper betrachtetes Problem mit anderen Algorithmen teilweise auf einem klassischen Rechner vielfach schneller gelöst werden kann als auf dem Quantencomputer.
Literatur und weiterführende Informationen
S. Boixo, et al.: Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits, Nature Physics 10.3: 218-224, 2014.
T. Rønnow, et al.: Defining and detecting quantum speedup, Science 345.6195: 420-424, 2014.
V. Denchev, et al.: What is the Computational Value of Finite Range Tunneling? arXiv preprint arXiv:1512.02206, 2015.
R. Harris, R., et al.: Compound Josephson-junction coupler for flux qubits with minimal crosstalk, Physical Review B 80.5: 052506, 2009.
S. Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/digitale-waehrungen
E. Dittrich: Schülerlabor, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 103, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/schuelerlabor
Bernd Fix: Post-Quantum Krypto, Afra-Berlin.de, Vortrag am 13.12.2013.
F. Rieger, F. von Leitner: Fnord Jahresrückblick, 32c3, Vortrag am 29.12.2015.
S. Aaronson: Google, D-Wave, and the case of the factor-10^8 speedup for WHAT? Blog-Post mit Updates 16.5.2013-16.12.2015.
Quantum Annealing Solver für den Laptop
Im Gegensatz zur klassischen Physik gelten in der Quantenmechanik eigene Regeln: So geht es hier um Teilchen in der Größenordnung von Atomen, wo die Begriffe Teilchen und Welle verschwimmen und der quantenmechanische Zustand unbeobachtet nur noch als Zustandsgemisch beschrieben werden kann.
Genau diese Eigenschaft will man sich beim Quantencomputer zu Nutze machen, wo gegenüber dem klassischen digitalen Computer, der immer auf einzelnen festen Zuständen in Bits mit Logikgattern rechnet, der Quantenrechner pro Schritt in Qubits auf allen Zuständen gleichzeitig operiert. Das eigentliche Ergebnis erhält man dort erst bei der Messung, wodurch sich der reine Zustand des Quantensystems einstellt.
Der Grover-Algorithmus ist eine bekannte Anwendung für einen Quantencomputer, der Datenbanken schneller als klassische Verfahren durchsuchen kann. Der Shor-Algorithmus kann hingegen mit einer Quanten-Fouriertransformation in polynomialer Zeit Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen kann. Damit werden viele assymetrische Kryptoverfahren wie das RSA-Verfahren obsolet, da sie auf der Schwierigkeit der klassischen Faktorisierung basieren. Shor hat in der gleichen Publikation auch ein Verfahren zur effizienten Berechnung von diskreten Logarithmen auf Quantencomputern veröffentlicht, so dass auch Kryptoverfahren auf elliptischen Kurven durch Quantencomputer gebrochen werden, die neben dem RSA-Verfahren Basis für viele Kryptowährungen sind.
Zum jetzigen Zeitpunkt ist es der Experimentalphysik noch nicht gelungen, allgemeine Quantensysteme in einer Größe zu erschaffen, die für sinnvolle Anwendungen der Verfahren erforderlich wären. Die Schwierigkeit liegt darin, den Quantenzustand einzelner Qubits von der Umwelt abzukoppeln und nur für die Berechnung zu verwenden, wenn doch alles in der Umgebung in Bewegung ist. In der Größe weniger Qubits, die allgemeine Quantencomputer bisher erreichen konnten, wurden Zahlen wie 15 und 21 erfolgreich faktorisiert.
Eine Hoffnung besteht hier auf dem adiabatischen Quantencomputer auf Basis adiabatischen Theorems, der von der Firma D-Wave Systems gebaut, und 2011 mit unvergleichlich vielen 128 Qubits auf den Markt gebracht wurde. Das Problem ist dabei, dass adiabatischen Quantencomputer im normalen Arbeitszustand keine universellen Quantencomputer sind, und hauptsächlich Optimierungsprobleme lösen können.
Universelle Quantencomputer können im Circuit model anschaulich jedes herkömmliches Programm abbilden: Jedes klassische Logik-Gatter kann durch Hinzufügen weiterer Ausgänge reversibel werden, und dann als eine unitäre Abbildung oder Matrizen im Quantencomputer realisiert werden. Unitäre Abbildungen sind lineare Abbildungen mit der Eigenschaft, dass sie das komplexe Skalarprodukt zweier Vektoren nach der Abbildung erhalten, d.h. Vektoren behalten die gleiche Länge, und zwei Vektoren behalten den gleichen Winkel zueinander. Der Nachteil des reversiblen Ansatzes ist jedoch, dass dafür womöglich viele Bits benötigt werden, wenn man die Abbildungen nicht zuvor zusammenfassen kann.
Theoretisch kann der adiabatische Quantencomputer auch universell sein, nur ist dazu ideal eine ungestörte Umgebung Voraussetzung, was in Realität nicht erreicht werden kann. Es verbleiben Optimierungsprobleme, die über den Hamiltonoperator abgebildet werden können: physikalische Prozesse möchten den energetisch niedrigsten Zustand zu erreichen. Ein Beispiel sind hier Minimalflächen, wie sie von Seifenhäuten und Seifenblasen angenommen werden- und auch zum Bau des Olympiageländes in München genutzt wurden. Im Schülerlabor für Mathematik in Karlsruhe kann man auch viele Experimente dazu durchführen.
Wenn man ein Optimierungsproblem lösen möchte, so sind lokale Minima ein Problem- in ihrer Umgebung erscheinen sie als Lösung, sie sind es jedoch insgesamt betrachtet nicht. Eine Möglichkeit die lokalen Minima zu umgehen ist das Verfahren des Simulated Annealing. Hier wird durch externe Störquellen begünstigt, dass lokale Minima verlassen werden, um das globale Minimum zu erreichen. In Quantensystemen spielt hier beim Quantum Annealing zusätzlich der Tunneleffekt eine besondere Rolle, wodurch die Störung noch leichter von lokalen Minima hinweg streut. Dadurch ist das Quantum Annealing prinzipiell und aus der Theorie schneller- oder zumindest nicht langsamer- als das Simulated Annealing.
Dabei ist das Quantum Annealing natürlich nur auf einem Quantencomputer effizient umsetzbar. Das ist dabei ein Beispiel für eine Quantensimulation auf einem Quantencomputer in dem Forschungsfeld, das sich mit der Abbildung und Simulation von Quantensystemen befasst.
Damit ist der adiabatische Quantencomputer auf eine kleinere Klasse von lösbaren Problemen beschränkt, jedoch soll er dieses mit einer erheblichen höheren Anzahl von Qubits durchführen können- zur Zeit der Aufnahme waren dies mit dem D-Wave Two etwa 512 Qubits. Die Frage, ob diese adiabatischen Quantencomputer mit dieser großen Anzahl von Qubits wirklich als Quantencomputer arbeiten, wurde wissenschaftlich diskutiert:
Im Artikel Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits legen die Autoren dar, dass der betrachtete adiabatische Quantencomputer starke Anzeichen für die tatsächliche Umsetzung des Quantum Annealing zeigt. In wie weit jedoch nun eine quantenbedingte Beschleunigung feststellen ist, diskutieren T. Rønnow und Mitautoren in der Arbeit Defining and detecting quantum speedup. Sie erhielten das ernüchternde Ergebnis, dass eine Beschleunigung durch Nutzung des betrachteten Quantensystems nicht eindeutig nachgewiesen werden konnte. Dagegen argumentierten V. Denchev et al. in What is the Computational Value of Finite Range Tunneling?, dass eine 100'000'000-fache Beschleunigung mit hoher Wahrscheinlichkeit gegenüber einem Einprozessor-System nachgewiesen werden kann.
Ein Problem bei der Analyse ist, dass die betrachteten Algorithmen für den Quantencomputer in den Bereich der probabilistischen Algorithmen fallen, die Ergebnisse also eine Fehlerwahrscheinlichkeit besitzen, die durch mehrfache Ausführung verringert werden kann. In der Kryptographie werden probabilistische Primzahltests sehr häufig eingesetzt, die auch in diese Klasse der Algorithmen fallen. So wurde im ersten Paper das Verhalten des Quantencomputers in einer Vielzahl von Versuchen mit simulierten Algorithmen verglichen und mit hoher Wahrscheinlichkeit festgestellt, dass der D-Wave-Rechner tatsächlich den Quantum Annealing Algorithmus ausführt.
Über den D-Wave-Rechner ist bekannt, dass die einzelnen Qubits durch supraleitende Ringe abgebildet sind und die beiden Stromlaufrichtungen die superpositionierten Zustände darstellen. Die Kopplung zwischen Qubits und nach außen erfolgt durch Spulen, die über die entstehenden Magnetfelder mit den Strömen in den Ringen interagieren. Die Kopplung zwischen Qubits wird damit durch die parametrisierte Kopplung der Spulen realisiert.
Für klassische Algorithmen und parallelisierte Computersysteme beschreibt der Begriff des Speedup die Effizienzsteigerung durch Nutzung einer erhöhten Parallelisierung. Je nach Algorithmus gibt es nach Amdahls Gesetz logische Grenzen, wo weitere Parallelisierung keine Gewinn mehr erzielt. Entsprechend besteht der Wunsch den Begriff des Quantum Speedup analog zu definieren und nachzuweisen: Diesen Ansatz verfolgten T. Rønnow und Mitautoren und definierten verschiedene Klassen von Quantum Speedup, wobei der adiabatische D-Wave Quantencomputer für sie nur Anzeichen für ein potentielles Speed-up ergab. Das ist ein ernüchterndes Ergebnis, wobei die Autoren klar weiteren Forschungsbedarf sahen.
Hier war das Paper von V. Denchev und Mitautoren eine große Überraschung, wo dem D-Wave 2X Rechner mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Beschleunigung von 10^8 nachgesagt wurde. Neben den Annealing-Verfahren kam hier auch Quantum Monte Carlo zum Einsatz. Im Ergebnis erhielten sie für die Annealing-Verfahren ein asymptotisches Speed-Up, das sich für größere Problemstellungen einstellt, für Quantum Monte Carlo eine von der Problemgröße unabhängige Beschleunigung gegenüber einem klassischen Single-core Rechner.
Diese Aussagen trafen aber schnell auf Widerstand und den Nachweis, dass ein im Paper betrachtetes Problem mit anderen Algorithmen teilweise auf einem klassischen Rechner vielfach schneller gelöst werden kann als auf dem Quantencomputer.
Literatur und weiterführende Informationen
S. Boixo, et al.: Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits, Nature Physics 10.3: 218-224, 2014.
T. Rønnow, et al.: Defining and detecting quantum speedup, Science 345.6195: 420-424, 2014.
V. Denchev, et al.: What is the Computational Value of Finite Range Tunneling? arXiv preprint arXiv:1512.02206, 2015.
R. Harris, R., et al.: Compound Josephson-junction coupler for flux qubits with minimal crosstalk, Physical Review B 80.5: 052506, 2009.
S. Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/digitale-waehrungen
E. Dittrich: Schülerlabor, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 103, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/schuelerlabor
Bernd Fix: Post-Quantum Krypto, Afra-Berlin.de, Vortrag am 13.12.2013.
F. Rieger, F. von Leitner: Fnord Jahresrückblick, 32c3, Vortrag am 29.12.2015.
S. Aaronson: Google, D-Wave, and the case of the factor-10^8 speedup for WHAT? Blog-Post mit Updates 16.5.2013-16.12.2015.
Quantum Annealing Solver für den Laptop
1 Stunde 1 Minute
Im Bundesland Baden-Württemberg (BW) ist die Ausbildung von Lehrerinnen und Lehrern für verschiedene Schulformen unterschiedlich geregelt. Für Lehrpersonen, die am Gymnasium Schülerinnen und Schüler bis zum Abitur begleiten wollen, ist die Ausbildung an den Universitäten vorgesehen, alle anderen erhalten ihre Ausbildung an den Pädagogischen Hochschulen (PH). Auch an unsere Fakultät kommen Studierende mit dem Ziel, später an Gymnasien Mathematik zu vermitteln. Es ist deshalb höchste Zeit, auch einmal über die Lehramtsausbildung an unserer Fakultät zu reden. Andreas Kirsch begleitet die Organisation der Lehramtsstudiengänge schon viele Jahre und war deshalb Gudruns Wunsch-Gesprächspartner zu diesem Thema.
Prinzipiell müssen Lehramtskandidaten mindestens zwei Fächer studieren, weshalb ihre Ausbildung (und ihr Abschluss) nur zum Teil in den Händen unserer Fakultät liegen kann. Generell ist der Lehramtsstudiengang deshalb auch durch eine Ordnung geregelt, die für das ganze KIT (alle Fakultäten) gilt und sich an klaren Vorgaben des BW-Kultusministeriums orientieren muss. Hier wird dann auch festgelegt, wie groß der Anteil von pädagogischen/psychologischen Veranstaltungen ist, der neben den beiden Fachstudien-Anteilen absolviert werden muss.
Viele Jahrzehnte war die Gymnasial-Lehramts-Ausbildung in BW an den Universitäten so geregelt, dass in den ersten Jahren das Studium Diplom und Lehramt Mathematik quasi identisch waren - und das in zwei Fächern. Die Idee dahinter war, dass Personen, die das Bild von Mathematik in den Köpfen unserer Kinder prägen, selbst kompetente Mathematiker und darüber hinaus von ihrem Fach begeistert sind.
Das Lehramtsstudium endete mit dem ersten Staatsexamen und wurde über eine anschließende Schulpraxis-orientierte Ausbildung im Referendariat fortgesetzt, die mit dem zweiten Staatsexamen beendet wurde. Vor Ablegen des ersten Staatsexamens war auch das Anfertigen einer wissenschaftlichen Arbeit in einem der Unterrichtsfächer oder in Pädagogik verpflichtend.
Schon immer gehörte zur Lehramtsausbildung auch die Vermittlung von Didaktik im Fach Mathematik. Da es in BW keine Professuren für Didaktik der Mathematik an den Universitäten gibt, wurden und werden für diese Veranstaltungen häufig Gastdozenten gewonnen.
Seit 2008 änderte sich diese traditionelle Lehrerbildung an den Universitäten in BW Stück für Stück in verschiedenen Aspekten grundlegend. Zunächst wurde der Anteil der Fachdidaktik sehr stark erhöht (was zwangsläufig bedeutet, dass sich der wissenschaftliche Anteil im Faches verringerte, da das Studium nicht verlängert wurde) - inklusive eines verpflichtenden Praxis-Semesters von 13 (inzwischen 12) Wochen an einer Schule. Mit Hilfe dieses Praktikums können angehende Lehrpersonen rechtzeitig ausprobieren, ob der Schulalltag "etwas für sie ist".
Etwas später wurden die Lehrinhalte in sogenannte Module gegliedert, die in der Regel schon im Verlauf des Studiums (nach Absolvieren des Moduls) geprüft werden. Damit wurde die Rolle des ersten Staatsexamens gründlich verändert. Seit dem Studienbeginn im Wintersemester 2015/16 ist der Studiengang aufgeteilt in einen ersten Teil, dem Bachelor of Education, und einen zweiten Teil,der zum Abschluss Master of Education führt. Der Masterabschluss hat dabei das erste Staatsexamen vollständig abgelöst. Wenn man heute den wissenschaftlichen Mathematik-Anteil des Studiums Lehramt Mathematik anschaut, ist er etwa so hoch wie in den Bachelor-Studiengängen Mathematik.
In Karlsruhe haben wir einige dieser Veränderungen in der Lehramts-Ausbildung dadurch aufgefangen, dass die Abteilung für Didaktik vergrößert wurde und sehr erfinderisch neuartige fachdidaktische Angebote entwickelte (und entwickelt), die nicht nur den Studierenden etwas bringen. In enger Zusammenarbeit mit den Schulen in Karlsruhe und dem Schülerlabor können bei uns angehende Lehrpersonen z.B. mit besonders interessierten Schülern arbeiten oder anhand von Projekten im Schülerlabor Unterricht in sehr unterschiedlichen Formen entwickeln und erproben. Es wurden außerdem einige speziell für die Lehramtsstudierenden konzipierte Vorlesungen eingeführt.
Andreas Kirsch ist seit vielen Jahren als Professor an der Fakultät für Mathematik in Karlsruhe tätig. Zu den Aufgaben der von ihm geleiteten Arbeitsgruppe gehört die Mathematikausbildung von Maschinenbauern, Bauingenieuren, Verfahrenstechnikern und den angehenden Ingenieuren in verwandten Gebieten. Sein mathematisches Spezialgebiet sind inverse Probleme. Das ist ein sehr komplexes Gebiet zwischen Analysis und Numerik mit vielen Anwendungen. Einige dieser Anwendungen waren auch schon Gesprächsthema in unserem Podcast:
Unsichtbarkeit,
Erdölsuche,
Erdbeben und Optimale Versuchsplanung,
Splitting Waves.
Literatur und weiterführende Informationen
Antworten auf oft gestellte Fragen rund ums Lehramtsstudium in Karlsruhe
Studienberatung am KIT und in der Fakultät zum Lehramtsstudium
Zentrum für Lehrerbildung am KIT
Lehrer online in BW
Landes Bildungsserver BW
Prinzipiell müssen Lehramtskandidaten mindestens zwei Fächer studieren, weshalb ihre Ausbildung (und ihr Abschluss) nur zum Teil in den Händen unserer Fakultät liegen kann. Generell ist der Lehramtsstudiengang deshalb auch durch eine Ordnung geregelt, die für das ganze KIT (alle Fakultäten) gilt und sich an klaren Vorgaben des BW-Kultusministeriums orientieren muss. Hier wird dann auch festgelegt, wie groß der Anteil von pädagogischen/psychologischen Veranstaltungen ist, der neben den beiden Fachstudien-Anteilen absolviert werden muss.
Viele Jahrzehnte war die Gymnasial-Lehramts-Ausbildung in BW an den Universitäten so geregelt, dass in den ersten Jahren das Studium Diplom und Lehramt Mathematik quasi identisch waren - und das in zwei Fächern. Die Idee dahinter war, dass Personen, die das Bild von Mathematik in den Köpfen unserer Kinder prägen, selbst kompetente Mathematiker und darüber hinaus von ihrem Fach begeistert sind.
Das Lehramtsstudium endete mit dem ersten Staatsexamen und wurde über eine anschließende Schulpraxis-orientierte Ausbildung im Referendariat fortgesetzt, die mit dem zweiten Staatsexamen beendet wurde. Vor Ablegen des ersten Staatsexamens war auch das Anfertigen einer wissenschaftlichen Arbeit in einem der Unterrichtsfächer oder in Pädagogik verpflichtend.
Schon immer gehörte zur Lehramtsausbildung auch die Vermittlung von Didaktik im Fach Mathematik. Da es in BW keine Professuren für Didaktik der Mathematik an den Universitäten gibt, wurden und werden für diese Veranstaltungen häufig Gastdozenten gewonnen.
Seit 2008 änderte sich diese traditionelle Lehrerbildung an den Universitäten in BW Stück für Stück in verschiedenen Aspekten grundlegend. Zunächst wurde der Anteil der Fachdidaktik sehr stark erhöht (was zwangsläufig bedeutet, dass sich der wissenschaftliche Anteil im Faches verringerte, da das Studium nicht verlängert wurde) - inklusive eines verpflichtenden Praxis-Semesters von 13 (inzwischen 12) Wochen an einer Schule. Mit Hilfe dieses Praktikums können angehende Lehrpersonen rechtzeitig ausprobieren, ob der Schulalltag "etwas für sie ist".
Etwas später wurden die Lehrinhalte in sogenannte Module gegliedert, die in der Regel schon im Verlauf des Studiums (nach Absolvieren des Moduls) geprüft werden. Damit wurde die Rolle des ersten Staatsexamens gründlich verändert. Seit dem Studienbeginn im Wintersemester 2015/16 ist der Studiengang aufgeteilt in einen ersten Teil, dem Bachelor of Education, und einen zweiten Teil,der zum Abschluss Master of Education führt. Der Masterabschluss hat dabei das erste Staatsexamen vollständig abgelöst. Wenn man heute den wissenschaftlichen Mathematik-Anteil des Studiums Lehramt Mathematik anschaut, ist er etwa so hoch wie in den Bachelor-Studiengängen Mathematik.
In Karlsruhe haben wir einige dieser Veränderungen in der Lehramts-Ausbildung dadurch aufgefangen, dass die Abteilung für Didaktik vergrößert wurde und sehr erfinderisch neuartige fachdidaktische Angebote entwickelte (und entwickelt), die nicht nur den Studierenden etwas bringen. In enger Zusammenarbeit mit den Schulen in Karlsruhe und dem Schülerlabor können bei uns angehende Lehrpersonen z.B. mit besonders interessierten Schülern arbeiten oder anhand von Projekten im Schülerlabor Unterricht in sehr unterschiedlichen Formen entwickeln und erproben. Es wurden außerdem einige speziell für die Lehramtsstudierenden konzipierte Vorlesungen eingeführt.
Andreas Kirsch ist seit vielen Jahren als Professor an der Fakultät für Mathematik in Karlsruhe tätig. Zu den Aufgaben der von ihm geleiteten Arbeitsgruppe gehört die Mathematikausbildung von Maschinenbauern, Bauingenieuren, Verfahrenstechnikern und den angehenden Ingenieuren in verwandten Gebieten. Sein mathematisches Spezialgebiet sind inverse Probleme. Das ist ein sehr komplexes Gebiet zwischen Analysis und Numerik mit vielen Anwendungen. Einige dieser Anwendungen waren auch schon Gesprächsthema in unserem Podcast:
Unsichtbarkeit,
Erdölsuche,
Erdbeben und Optimale Versuchsplanung,
Splitting Waves.
Literatur und weiterführende Informationen
Antworten auf oft gestellte Fragen rund ums Lehramtsstudium in Karlsruhe
Studienberatung am KIT und in der Fakultät zum Lehramtsstudium
Zentrum für Lehrerbildung am KIT
Lehrer online in BW
Landes Bildungsserver BW
26 Minuten
Ernestina Dittrich ist Studiendirektorin und hat Mathematik, Physik und Informatik am Gymnasium unterrichtet. Sie arbeitete außerdem am Studienseminar in Karlsruhe, ist Fachberaterin am Regierungspräsidium Karlsruhe und wurde 2005 an unsere Fakultät geholt, um die Abteilung für Didaktik zu verstärken und neue Ideen zu verwirklichen. Dieses Jahr geht sie in den Ruhestand und so wurde es höchste Zeit, ein Gespräch über das Schülerlabor Mathematik und die Entwicklung bis heute zu führen.
Frau Dittrich hatte sich schon lange vor ihrem Wechsel an unsere Fakultät mit der Idee getragen, dass wie in der Physik auch in der Mathematik Experimente den Stoff auf neuartige Weise zugänglich machen könnten. Ist das Schulfach Mathematik meist polarisierend also entweder Horror- oder Lieblingsfach so stünde doch ein entdeckender und spielerischer Zugang ohne Formeln allen gleichermaßen offen. Das wurde nun seit 2005 an unserer Fakultät Stück für Stück verwirklicht.
Insgesamt wurden 90 mathematische Experimente zusammengetragen. Es war das erste seiner Art in Baden Württemberg und lange Zeit auch das einzige. Von der 3.-12. Klasse sind Schülerinnen und Schüler aller Schulformen oder auch Lehrergruppen bzw. Referendare vom Studienseminar und Lehramtsstudierende willkommen. An je einem Freitag Nachmittag im Monat steht die Tür sogar für alle interessierten offen. Darüber hinaus gehen Exponate auch auf Reisen, z.B. zur Kinderuni, zum Wissenschaftsfestival EFFEKTE im Schlosspark oder zu anderen Wissenschaftsfesten wie im Luisenpark in Mannheim oder im Europapark Rust. Die weiteste Reise führte bisher zum Science Festival nach Abu Dhabi.
Das Schülerlabor wird sehr gut angenommen. Schon über 1000 Schulklassen haben es besucht. In der Regel dauert eine Veranstaltung 90 min. Am Anfang steht eine Einführung in drei wichtige Experimente - dann dürfen sich alle frei bewegen. Für Fragen gibt es stets Betreuung durch Mitarbeiterinnen der Abteilung für Didaktik. Die Lehrpersonen der Schulklassen sind außerdem mit dabei. Alle Versuche sind kurz und knapp beschrieben und es gibt einen Kasten mit Tipps, wenn man allein einfach nicht weiterkommt. Natürlich geht es dabei meist lebhaft zu: Die Schülerinnen und Schüler unterhalten sich über Lösungsversuche, es gibt Jubelgeschreie, wenn etwas geklappt hat und an einigen Stationen müssen sich die Kinder auch bewegen, um die Aufgaben zu lösen.
Nachdem das Labor für die ersten Jahre sein Domizil in der Hertzstraße hatte, ist es nun seit dem Umzug der Fakultät ins renovierte Kollegiengebäude Mathematik endlich auch für alle Mitarbeiter und Gäste der Fakultät sichtbar und spürbar, welche Arbeit hier stattfindet.
Im Unterschied zu ähnlichen Angeboten in Museen ist die Zusammenstellung der Experimente und Exponate didaktisch nach verschiedenen Aspekten durchdacht. Z.B. gibt es viele verschiedenartige Angebote rings um das Thema platonische Körper (inkl. eines Workshops).
Während des Gespräches wurden folgende Exponate angesprochen:
Die Unendlichkeit (realisiert mit Spiegeln)
Ich bin eine Funktion (ein Bewegungsspiel)
Glockenkurve (Normalverteilung als Grenzprozess für Bernoulli-Experimente)
Minimalhäute (Seifenhäute um Gestelle aus platonischen Körpern)
Der Besuch im Schülerlabor ist kostenlos. Die Einrichtung und die nötigen Mitarbeiterstellen wurden bisher vor allem von der Hector Stiftung gefördert. Inzwischen gibt es von der Abteilung für Didaktik noch eine ganze Anzahl weiterer Angebote, die zum Teil auch das Schülerlabor nutzen. So ist das Labor ein Lehr-Lern-Labor in der Ausbildung der Lehramtsstudierenden, d.h. die Experimente werden in der Fachdidaktik-Ausbildung verwendet, um didaktische Konzepte für die Umsetzung der mathematischen Sachverhalte und Kompetenzen im Unterricht zu entwickeln.
Es gibt bisher 15 Workshops für verschiedene Altersstufen (Dauer je 90 min), die Schulklassen und andere Gruppen buchen können. Die sogenannten Mathekids (7./8. Klasse) und Matheprofis (9./10. Klasse) sind ein Schuljahr lang jede Woche für 90 min in der Fakultät, um im Rahmen der Begabtenförderung Workshops zu erleben. Diese werden von zwei erfahrenen Lehrkräften und von Lehramtsstudierenden gehalten. Die Studierenden gewinnen Praxiserfahrung während ihrer Fachdidaktikausbildung. Die Kinder entwickeln durch kleine Forschungsaufträge dabei auch neue Workshops selbst. Für zwei dieser Projekte haben die Gruppen sogar einen Preis für junge Forscher - den sogenannten OsKarl gewonnen.
Literatur und weiterführende Informationen
Alle Schülerlabore am KIT
Begabtenförderung am KIT
Fotos vom girls' day 2015 im Schülerlabor
Frau Dittrich hatte sich schon lange vor ihrem Wechsel an unsere Fakultät mit der Idee getragen, dass wie in der Physik auch in der Mathematik Experimente den Stoff auf neuartige Weise zugänglich machen könnten. Ist das Schulfach Mathematik meist polarisierend also entweder Horror- oder Lieblingsfach so stünde doch ein entdeckender und spielerischer Zugang ohne Formeln allen gleichermaßen offen. Das wurde nun seit 2005 an unserer Fakultät Stück für Stück verwirklicht.
Insgesamt wurden 90 mathematische Experimente zusammengetragen. Es war das erste seiner Art in Baden Württemberg und lange Zeit auch das einzige. Von der 3.-12. Klasse sind Schülerinnen und Schüler aller Schulformen oder auch Lehrergruppen bzw. Referendare vom Studienseminar und Lehramtsstudierende willkommen. An je einem Freitag Nachmittag im Monat steht die Tür sogar für alle interessierten offen. Darüber hinaus gehen Exponate auch auf Reisen, z.B. zur Kinderuni, zum Wissenschaftsfestival EFFEKTE im Schlosspark oder zu anderen Wissenschaftsfesten wie im Luisenpark in Mannheim oder im Europapark Rust. Die weiteste Reise führte bisher zum Science Festival nach Abu Dhabi.
Das Schülerlabor wird sehr gut angenommen. Schon über 1000 Schulklassen haben es besucht. In der Regel dauert eine Veranstaltung 90 min. Am Anfang steht eine Einführung in drei wichtige Experimente - dann dürfen sich alle frei bewegen. Für Fragen gibt es stets Betreuung durch Mitarbeiterinnen der Abteilung für Didaktik. Die Lehrpersonen der Schulklassen sind außerdem mit dabei. Alle Versuche sind kurz und knapp beschrieben und es gibt einen Kasten mit Tipps, wenn man allein einfach nicht weiterkommt. Natürlich geht es dabei meist lebhaft zu: Die Schülerinnen und Schüler unterhalten sich über Lösungsversuche, es gibt Jubelgeschreie, wenn etwas geklappt hat und an einigen Stationen müssen sich die Kinder auch bewegen, um die Aufgaben zu lösen.
Nachdem das Labor für die ersten Jahre sein Domizil in der Hertzstraße hatte, ist es nun seit dem Umzug der Fakultät ins renovierte Kollegiengebäude Mathematik endlich auch für alle Mitarbeiter und Gäste der Fakultät sichtbar und spürbar, welche Arbeit hier stattfindet.
Im Unterschied zu ähnlichen Angeboten in Museen ist die Zusammenstellung der Experimente und Exponate didaktisch nach verschiedenen Aspekten durchdacht. Z.B. gibt es viele verschiedenartige Angebote rings um das Thema platonische Körper (inkl. eines Workshops).
Während des Gespräches wurden folgende Exponate angesprochen:
Die Unendlichkeit (realisiert mit Spiegeln)
Ich bin eine Funktion (ein Bewegungsspiel)
Glockenkurve (Normalverteilung als Grenzprozess für Bernoulli-Experimente)
Minimalhäute (Seifenhäute um Gestelle aus platonischen Körpern)
Der Besuch im Schülerlabor ist kostenlos. Die Einrichtung und die nötigen Mitarbeiterstellen wurden bisher vor allem von der Hector Stiftung gefördert. Inzwischen gibt es von der Abteilung für Didaktik noch eine ganze Anzahl weiterer Angebote, die zum Teil auch das Schülerlabor nutzen. So ist das Labor ein Lehr-Lern-Labor in der Ausbildung der Lehramtsstudierenden, d.h. die Experimente werden in der Fachdidaktik-Ausbildung verwendet, um didaktische Konzepte für die Umsetzung der mathematischen Sachverhalte und Kompetenzen im Unterricht zu entwickeln.
Es gibt bisher 15 Workshops für verschiedene Altersstufen (Dauer je 90 min), die Schulklassen und andere Gruppen buchen können. Die sogenannten Mathekids (7./8. Klasse) und Matheprofis (9./10. Klasse) sind ein Schuljahr lang jede Woche für 90 min in der Fakultät, um im Rahmen der Begabtenförderung Workshops zu erleben. Diese werden von zwei erfahrenen Lehrkräften und von Lehramtsstudierenden gehalten. Die Studierenden gewinnen Praxiserfahrung während ihrer Fachdidaktikausbildung. Die Kinder entwickeln durch kleine Forschungsaufträge dabei auch neue Workshops selbst. Für zwei dieser Projekte haben die Gruppen sogar einen Preis für junge Forscher - den sogenannten OsKarl gewonnen.
Literatur und weiterführende Informationen
Alle Schülerlabore am KIT
Begabtenförderung am KIT
Fotos vom girls' day 2015 im Schülerlabor
43 Minuten
Petra Schwer ist seit Oktober 2014 Juniorprofessorin an unserer Fakultät. Sie arbeitet im Institut für Algebra und Geometrie in der Arbeitsgruppe Metrische Geometrie. Ab Oktober 2016 startet in diesem Institut ein neues Graduiertenkolleg mit dem Titel Asymptotic Invariants and Limits of Groups and Spaces und Petra Schwer freut sich darauf, dort viele mit ihrer Begeisterung anstecken zu können. Ihr Weg in die Algebra war nicht ganz direkt: Sie hat zunächst Wirtschaftsmathematik in Ulm studiert. Ein Wechsel an die Uni Bonn ebnete den Weg ins etwas abstraktere Fahrwasser. Zwei Ausflüge in die Industrie (zwischen Diplom und Promotionszeit und in der Postdoc-Phase) haben ihre Entscheidung für die akademische Mathematik bekräftigt.
Im Gegensatz zur Differentialgeometrie, die von Ihrem Ursprung her auf analytischen Methoden und Methoden der Differentialrechnung (wie zum Beispiel des Ableitens) beruht, untersucht die Metrische Geometrie Mengen mit Abstandsfunktion. Darunter fallen auch die klassischen Riemannschen Geometrien, aber auch viel allgemeinere geometrische Strukturen, wie zum Beispiel Gruppen oder Graphen. Eine Metrik ist nichts anderers als eine Funktion, die einen Abstand zwischen zwei Punkten definiert.
Die Euklidische Geometrie (in zwei bzw. drei Dimensionen) ist sicher allen aus der Schule bekannt. Sie ist ein Beispiel eines Geometriemodells in der metrischen Geometrie. Euklid versuchte erstmals Geometrie von Ihren Grundbausteinen her zu beschreiben. Er hat sich gefragt: Was ist ein Punkt? Was ist eine Gerade? Wie lässt sich der Abstand eines Punktes zu einer Geraden definieren? Schließlich stellte er eine Liste von grundlegenden Objekten sowie deren Eigenschaften und Beziehungen auf (Axiome genannt) die eine Geometrie erfüllen soll. Diese Axiome sind dabei die Eigenschaften, die sich nicht aus anderen ableiten lassen, also nicht beweisbar sind. Eines dieser Axiome besagte, dass durch einen festen Punkt genau eine Gerade parallel zu einer vorgegebenen anderen Geraden verläuft. Es entbrannte ein Jahrhunderte dauernder Streit darüber, ob sich dieses Parallelenaxiom aus den anderen aufgestellten Axiomen ableiten lässt, oder ob man diese Eigenschaft als Axiom fordern muss. Sehr viel später wurde klar, dass der Streit durchaus einen wichtigen und tief liegenden Aspekt unserer Anschauungsgeometrie berührte. Denn es wurden gleich mehrere Mengen (mit Abstandsfunktion) entdeckt, in denen diese Eigenschaft nicht gilt. Deshalb nannte man die Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt nichteuklidische Geometrien.
Ein sehr nahe liegendes Beispiele für nichteuklidische Strukturen ist z.B. die Kugel-Oberfläche (damit auch unsere Erdoberfläche) wo die euklidische Geometrie nicht funktioniert.
In der Ebene ist der traditionelle Abstand zwischen zwei Punkten die Länge der Strecke, die beide Punkte verbindet. Das lässt sich im Prinzip auf der Kugeloberfläche imitieren, indem man einen Faden zwischen zwei Punkten spannt, dessen Länge dann anschließend am Lineal gemessen wird. Spannt man den Faden aber "falschrum" um die Kugel ist die so beschriebene Strecke aber nicht unbedingt die kürzeste Verbindung zwischen den beiden Punkten.
Es gibt aber neben der klassischen Abstandsmessung verschiedene andere sinnvolle Methoden, einen Abstand in der Ebene zu definieren. In unserem Gespräch nennen wir als Beispiel die Pariser Metrik (oder auch SNCF oder Eisenbahnmetrik). Der Name beschreibt, dass man im französischen Schnellzugliniennetz nur mit umsteigen in Paris (sozusagen dem Nullpunkt oder Zentrum des Systems) von Ort A nach Ort B kommt. Für den Abstand von A nach B müssen also zwei Abstände addiert werden, weil man von A nach Paris und dann von Paris nach B fährt. Das verleiht der Ebene eine Baumstruktur. Das ist nicht nur für TGV-Reisende wichtig, sondern gut geeignet, um über Ordnung zu reden. Ebenso sinnvoll ist z.B. auch die sogenannte Bergsteiger-Metrik, die nicht allein die Distanz berücksichtigt, sondern auch den Aufwand (bergauf vs. bergab). Damit ist sie aber in den relevanten Fällen sogar asymmetrisch. D.h. von A nach X ist es "weiter" als von X nach A, wenn X oben auf dem Berg ist und A im Tal. Analog ist es wenn man mit dem Boot oder schwimmend mit bzw. gegen die Strömung oder den Wind unterwegs ist. Dann misst man besser statt der räumlichen Distanz die Kraft bzw. Energie, die man für den jeweiligen Weg braucht.
Für Karlsruher interessant ist sicher auch die KVV-Metrik, die wie folgt beschrieben wird: Um den Abstand von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B der Ebene zu messen, läuft man von A und B senkrecht zur x-Achse (und trifft diese in Punkten A', bzw B') und addiert zu diesen beiden Abständen den Abstand von A' zu B'. Anschaulich gesprochen muss man also immer erst von A zur Kaiserstrasse, ein Stück die Kaiserstraße entlang und dann zu B. Eben so, wie die KVV ihre Strecken plant.
Zwischen einer Ebene und z.B. der Kugeloberfläche gibt es einfach zu verstehende und doch wichtige geometrische Unterschiede. Eine Strecke in der Ebene läßt sich z.B. in zwei Richtungen unendlich weit fortsetzen. Auf der Kugeloberfläche kommt nach einer Umrundung der Kugel die Verlängerung der Strecke an dem Punkt wieder an, wo man die Konstruktion begonnen hat. D.h. insbesondere, dass Punkte auf einer Kugeloberfläche nicht beliebig weit voneinander entfernt sein können. Es gibt außerdem genau einen Punkt, der genau gegenüber liegt und unendlich (!) viele kürzeste Wege dorthin (in jeder Richtung einen). Verblüffend ist dabei auch: So verschieden sich Ebene und Kugeloberfläche verhalten, in einer fußläufigen Umgebung jedes Punktes fühlt sich die Erdoberfläche für uns wie ein Ausschnitt der Ebene an. Mathematisch würde man sagen, dass sich eine Kugel lokal (also in einer sehr kleinen Umgebung) um einen Punkt genauso verhält, wie eine Ebene lokal um einen Punkt. Die Krümmung oder Rundung der Kugel ist dabei nicht spürbar. Versucht man die gesamte Kugel auf einer ebenen Fläche darzustellen, wie zum Beispiel für eine Weltkarte, so kann dies nur gelingen, wenn man Abstände verzerrt. Für unsere ebenen Darstellungen der Erdkugel als Landkarte muss man also immer im Hinterkopf behalten, dass diese (zum Teil stark) verzerrt sind, d.h. Längen, Winkel und Flächen durch die ebene Darstellung verändert werden.
Ein wichtiges Konzept zur Unterscheidung von (z.B.) Ebene und Kugeloberfläche ist die eben schon erwähnte Krümmung. Es gibt verschiedene Definitionen - insbesondere, wenn man Flächen eingebettet im dreidimensionalen Raum untersucht. Dabei hat ein flachgestrichenes Blatt Papier keine Krümmung - eine Kugeloberfläche ist gekrümmt. Um das formal zu untersuchen, werden Tangentialflächen an Punkte auf der Oberfläche angelegt. In einer kleinen Umgebung des Berührpunktes wird die Abweichung der Tangentialebene von der Oberfläche betrachtet. Bei der Kugel liegt die Kugeloberfläche immer auf einer Seite von der Tangentialebene. Das muss nicht so sein. Die Tangentialfläche kann z.B. in einem Sattelpunkt die zu untersuchende Fläche durchdringen - d.h. in unterschiedliche Richtungen ist die Krümmung entweder positiv oder negativ.
Man braucht aber eigentlich gar keine Tangentialflächen, denn auch Winkelsummen verraten uns etwas über die Krümmung. In der Ebene ergeben die drei Innenwinkel jedes Dreiecks zusammen addiert immer 180 Grad. Auf der Kugel, also auf einer gekrümmten Fläche, sind es immer mehr als 180 Grad. Legt man zum Beispiel einen Punkt in den Nordpol und zwei weitere so auf den Äquator, dass die Verbindungsstrecken zum Nordpol einen Winkel von 90 Grad einschließen, so hat das entstehende Dreieck eine Winkelsumme von 270 Grad.
Etwas komplexer ist die Situation bezüglich Krümmung auf einem Torus (der sieht aus wie ein Schwimmreifen oder Donut). Betrachtet man das lokale Krümmungsverhalten in Punkten auf der Donut-/Torusoberfläche ist sie außen so gekrümmt wie eine Kugel, innen sieht sie aber aus wie eine Sattelfläche.
Es läßt sich aber auch ein abstraktes Modell des Torus konstruieren, das genauso flach, wie die euklidische Ebene ist. Dazu wähle in der Ebene ein Quadrat mit fester Seitenlänge und klebe gedanklich die gegenüberliegenden Seiten (also oben und unten, sowie links mit rechts) zusammen. Man erhält so ein "periodisches" Quadrat: Wenn man auf einer Seite hinauswandert, kommt man gegenüber an der gleichen Stelle wieder in das Quadrat hinein. Dieses Objekt ist topologisch ebenfalls ein Torus, hat aber, weil das Quadrat Teil der Ebene ist, Krümmung 0.
Literatur und weiterführende Informationen
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, eine sehr schöne, (in weiten Teilen) auch mit wenig mathematischen Vorkenntnissen gut verständliche Einführung in viele verschiedene Bereiche der Geometrie.
D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov: A Course in Metric Geometry, eines der Standardlehrbücher über metrische Geometrie.
Euklid, Elemente, Digitale Version der 5 Bücher von Euklid.
Gromov: Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Das "grüne Buch" - Kursnotizen einer Vorlesung von Gromov, die später in Buchform gebracht wurden.
Im Gegensatz zur Differentialgeometrie, die von Ihrem Ursprung her auf analytischen Methoden und Methoden der Differentialrechnung (wie zum Beispiel des Ableitens) beruht, untersucht die Metrische Geometrie Mengen mit Abstandsfunktion. Darunter fallen auch die klassischen Riemannschen Geometrien, aber auch viel allgemeinere geometrische Strukturen, wie zum Beispiel Gruppen oder Graphen. Eine Metrik ist nichts anderers als eine Funktion, die einen Abstand zwischen zwei Punkten definiert.
Die Euklidische Geometrie (in zwei bzw. drei Dimensionen) ist sicher allen aus der Schule bekannt. Sie ist ein Beispiel eines Geometriemodells in der metrischen Geometrie. Euklid versuchte erstmals Geometrie von Ihren Grundbausteinen her zu beschreiben. Er hat sich gefragt: Was ist ein Punkt? Was ist eine Gerade? Wie lässt sich der Abstand eines Punktes zu einer Geraden definieren? Schließlich stellte er eine Liste von grundlegenden Objekten sowie deren Eigenschaften und Beziehungen auf (Axiome genannt) die eine Geometrie erfüllen soll. Diese Axiome sind dabei die Eigenschaften, die sich nicht aus anderen ableiten lassen, also nicht beweisbar sind. Eines dieser Axiome besagte, dass durch einen festen Punkt genau eine Gerade parallel zu einer vorgegebenen anderen Geraden verläuft. Es entbrannte ein Jahrhunderte dauernder Streit darüber, ob sich dieses Parallelenaxiom aus den anderen aufgestellten Axiomen ableiten lässt, oder ob man diese Eigenschaft als Axiom fordern muss. Sehr viel später wurde klar, dass der Streit durchaus einen wichtigen und tief liegenden Aspekt unserer Anschauungsgeometrie berührte. Denn es wurden gleich mehrere Mengen (mit Abstandsfunktion) entdeckt, in denen diese Eigenschaft nicht gilt. Deshalb nannte man die Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt nichteuklidische Geometrien.
Ein sehr nahe liegendes Beispiele für nichteuklidische Strukturen ist z.B. die Kugel-Oberfläche (damit auch unsere Erdoberfläche) wo die euklidische Geometrie nicht funktioniert.
In der Ebene ist der traditionelle Abstand zwischen zwei Punkten die Länge der Strecke, die beide Punkte verbindet. Das lässt sich im Prinzip auf der Kugeloberfläche imitieren, indem man einen Faden zwischen zwei Punkten spannt, dessen Länge dann anschließend am Lineal gemessen wird. Spannt man den Faden aber "falschrum" um die Kugel ist die so beschriebene Strecke aber nicht unbedingt die kürzeste Verbindung zwischen den beiden Punkten.
Es gibt aber neben der klassischen Abstandsmessung verschiedene andere sinnvolle Methoden, einen Abstand in der Ebene zu definieren. In unserem Gespräch nennen wir als Beispiel die Pariser Metrik (oder auch SNCF oder Eisenbahnmetrik). Der Name beschreibt, dass man im französischen Schnellzugliniennetz nur mit umsteigen in Paris (sozusagen dem Nullpunkt oder Zentrum des Systems) von Ort A nach Ort B kommt. Für den Abstand von A nach B müssen also zwei Abstände addiert werden, weil man von A nach Paris und dann von Paris nach B fährt. Das verleiht der Ebene eine Baumstruktur. Das ist nicht nur für TGV-Reisende wichtig, sondern gut geeignet, um über Ordnung zu reden. Ebenso sinnvoll ist z.B. auch die sogenannte Bergsteiger-Metrik, die nicht allein die Distanz berücksichtigt, sondern auch den Aufwand (bergauf vs. bergab). Damit ist sie aber in den relevanten Fällen sogar asymmetrisch. D.h. von A nach X ist es "weiter" als von X nach A, wenn X oben auf dem Berg ist und A im Tal. Analog ist es wenn man mit dem Boot oder schwimmend mit bzw. gegen die Strömung oder den Wind unterwegs ist. Dann misst man besser statt der räumlichen Distanz die Kraft bzw. Energie, die man für den jeweiligen Weg braucht.
Für Karlsruher interessant ist sicher auch die KVV-Metrik, die wie folgt beschrieben wird: Um den Abstand von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B der Ebene zu messen, läuft man von A und B senkrecht zur x-Achse (und trifft diese in Punkten A', bzw B') und addiert zu diesen beiden Abständen den Abstand von A' zu B'. Anschaulich gesprochen muss man also immer erst von A zur Kaiserstrasse, ein Stück die Kaiserstraße entlang und dann zu B. Eben so, wie die KVV ihre Strecken plant.
Zwischen einer Ebene und z.B. der Kugeloberfläche gibt es einfach zu verstehende und doch wichtige geometrische Unterschiede. Eine Strecke in der Ebene läßt sich z.B. in zwei Richtungen unendlich weit fortsetzen. Auf der Kugeloberfläche kommt nach einer Umrundung der Kugel die Verlängerung der Strecke an dem Punkt wieder an, wo man die Konstruktion begonnen hat. D.h. insbesondere, dass Punkte auf einer Kugeloberfläche nicht beliebig weit voneinander entfernt sein können. Es gibt außerdem genau einen Punkt, der genau gegenüber liegt und unendlich (!) viele kürzeste Wege dorthin (in jeder Richtung einen). Verblüffend ist dabei auch: So verschieden sich Ebene und Kugeloberfläche verhalten, in einer fußläufigen Umgebung jedes Punktes fühlt sich die Erdoberfläche für uns wie ein Ausschnitt der Ebene an. Mathematisch würde man sagen, dass sich eine Kugel lokal (also in einer sehr kleinen Umgebung) um einen Punkt genauso verhält, wie eine Ebene lokal um einen Punkt. Die Krümmung oder Rundung der Kugel ist dabei nicht spürbar. Versucht man die gesamte Kugel auf einer ebenen Fläche darzustellen, wie zum Beispiel für eine Weltkarte, so kann dies nur gelingen, wenn man Abstände verzerrt. Für unsere ebenen Darstellungen der Erdkugel als Landkarte muss man also immer im Hinterkopf behalten, dass diese (zum Teil stark) verzerrt sind, d.h. Längen, Winkel und Flächen durch die ebene Darstellung verändert werden.
Ein wichtiges Konzept zur Unterscheidung von (z.B.) Ebene und Kugeloberfläche ist die eben schon erwähnte Krümmung. Es gibt verschiedene Definitionen - insbesondere, wenn man Flächen eingebettet im dreidimensionalen Raum untersucht. Dabei hat ein flachgestrichenes Blatt Papier keine Krümmung - eine Kugeloberfläche ist gekrümmt. Um das formal zu untersuchen, werden Tangentialflächen an Punkte auf der Oberfläche angelegt. In einer kleinen Umgebung des Berührpunktes wird die Abweichung der Tangentialebene von der Oberfläche betrachtet. Bei der Kugel liegt die Kugeloberfläche immer auf einer Seite von der Tangentialebene. Das muss nicht so sein. Die Tangentialfläche kann z.B. in einem Sattelpunkt die zu untersuchende Fläche durchdringen - d.h. in unterschiedliche Richtungen ist die Krümmung entweder positiv oder negativ.
Man braucht aber eigentlich gar keine Tangentialflächen, denn auch Winkelsummen verraten uns etwas über die Krümmung. In der Ebene ergeben die drei Innenwinkel jedes Dreiecks zusammen addiert immer 180 Grad. Auf der Kugel, also auf einer gekrümmten Fläche, sind es immer mehr als 180 Grad. Legt man zum Beispiel einen Punkt in den Nordpol und zwei weitere so auf den Äquator, dass die Verbindungsstrecken zum Nordpol einen Winkel von 90 Grad einschließen, so hat das entstehende Dreieck eine Winkelsumme von 270 Grad.
Etwas komplexer ist die Situation bezüglich Krümmung auf einem Torus (der sieht aus wie ein Schwimmreifen oder Donut). Betrachtet man das lokale Krümmungsverhalten in Punkten auf der Donut-/Torusoberfläche ist sie außen so gekrümmt wie eine Kugel, innen sieht sie aber aus wie eine Sattelfläche.
Es läßt sich aber auch ein abstraktes Modell des Torus konstruieren, das genauso flach, wie die euklidische Ebene ist. Dazu wähle in der Ebene ein Quadrat mit fester Seitenlänge und klebe gedanklich die gegenüberliegenden Seiten (also oben und unten, sowie links mit rechts) zusammen. Man erhält so ein "periodisches" Quadrat: Wenn man auf einer Seite hinauswandert, kommt man gegenüber an der gleichen Stelle wieder in das Quadrat hinein. Dieses Objekt ist topologisch ebenfalls ein Torus, hat aber, weil das Quadrat Teil der Ebene ist, Krümmung 0.
Literatur und weiterführende Informationen
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, eine sehr schöne, (in weiten Teilen) auch mit wenig mathematischen Vorkenntnissen gut verständliche Einführung in viele verschiedene Bereiche der Geometrie.
D. Burago, Y. Burago, S. Ivanov: A Course in Metric Geometry, eines der Standardlehrbücher über metrische Geometrie.
Euklid, Elemente, Digitale Version der 5 Bücher von Euklid.
Gromov: Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Das "grüne Buch" - Kursnotizen einer Vorlesung von Gromov, die später in Buchform gebracht wurden.
36 Minuten
Sven Müller ist Professor für Verkehrsbetriebswirtschaft im Studiengang Verkehrssystemmanagement an der HTW hier in Karlsruhe.
Im Rahmen seiner Promotion an der TU Dresden in der Gruppe von Knut Haase begann er der Frage nachzugehen, welche Faktoren die Verkehrsmittelwahl für den Schulweg beeinflussen. Hintergrund dieser Frage war, dass zu der Zeit in Dresden die Schließung von Schulstandorten heiß diskutiert wurde. Die Notwendigkeit von Schulschließungen war dabei nicht umstritten, jedoch welche konkrete Variante die für alle beste Lösung darstellen würde. Hier war die Diskussion emotional stark aufgeladen, d.h. ein Modell, das bei der Planung des Schulnetzes für objektive Informationen sorgt, wäre ganz besonders hilfreich. Am besten mit klaren Empfehlungen für optimale Lösungen in Bezug auf Schulwege und deren Kosten.
Der naheliegende und auch herkömmliche Indikator für so ein Modell ist eine Distanzminimierung. Dadurch lassen sich objektive Aussagen zu minimalen Transportkosten für die Schüler ermitteln. Jedoch stellte sich schnell heraus, dass verlässliche Aussagen dazu fehlten, welche Verkehrsmittel die Schüler anteilig wählen und wieso. Ebenso welche Schulen die Schüler selbst wählen würden und wieso. Deshalb war ein wichtiger Ausgangspunkt für das Forschungsthema eine sehr groß angelegte Schüler-Befragung, die von den Studierenden im Rahmen eines Seminares geplant und durchgeführt wurde. Durch das große Engagement war die Stichprobe schließlich sehr groß. Es wurden dabei Fragebögen in fast allen Schulen verteilt und die Ergebnisse in einer selbst konzipierten Datenbank gesammelt - gut aufbereitet für eine anschließende Auswertung und Optimierung.
So war es möglich, aus diesen Daten Prognosen zur Verkehrsmittelwahl in Abhängigkeit von Distanz und Verkehrsmitteloptionen zu erstellen und über verschiedene Schließungsszenarien eine optimale Verteilung der Schulen (in Bezug auf Kosten für die Stadt) zu ermitteln.
All das floß auch in die Promotion von Sven Müller ein. Als wichtiges Problem für die mathematische Behandlung der Optimierung erwies sich, dass die Optimierungslösung auf die Daten zurückwirkt. Das führt auf ein dynamisches Problem, das mit herkömmlichen Methoden nicht behandelt werden kann. Auch bei der ÖPNV-Planung von optimierten Liniennetzen tritt das Problem auf: Kürzere Reisezeiten und mehr Direktverbindungen führen z.B. zu einem höheren Fahrgastaufkommen. Mathematisch ausgedrückt heißt das die Nebenbedingungen werden dynamisch und das Problem wird in der Regel nichtlinear. Betriebliche Problemstellungen haben oft ein ähnliches Problem, d.h. die Daten bleiben nicht fix sondern sind abhängig von der gefundenen Lösung.
Ein wichtiges Teilergebnis des Forschungsvorhabens von Sven Müller ist eine exakte lineare Reformulierung für das ursprünglich nicht-lineare Optimierungsmodell.
Ein weiteres grundsätzliches Problem ist, dass die Nutzenfunktion hinreichend genau beobachtet werden müsste. Ideal wäre es, wenn nur noch weißes Rauschen im Störterm berücksichtigt werden muss, d.h. alle zufälligen Anteile sind wirklich nur zufällig und unverbunden mit den beobachteten Daten. Das ist in der Realität leider nicht möglich und so führen nicht beobachtete Anteile zu Kovarianzen im Modell, die nicht null sind. Anders ausgedrückt, ist der stochastische Anteil nicht nur weißes Rauschen.
Nebenbei gewann er noch einige andere Erkenntnisse. Z.B. ist es für die Prognose der Fahrradnutzung nicht ausreichend, die Distanz als Maß zu nehmen, da es bergauf- bzw. bergab gehen kann und das für die Entscheidung mindestens ebenso wichtig ist wie die Entfernung. Dieser Frage geht er zur Zeit auch mit seinen Studierenden im Studiengang Verkehrssystemmanagement an der HTW nach.
Zwei weitere Themen, an denen Sven Müller zur Zeit arbeitet, weil sich gute Anknüpfungspunkte aus den eben geschilderten neuen Optimierungsstrategien bieten, sind z.B. die Versorgungsplanung in der Medizin und die Planung der Pilgerströme in Mekka.
Genauer gesagt geht es bei der Versorgungsplanung um Vorsorgeprogramme (Prävention). Durch eine hohe Attraktivität des Angebots soll erreicht werden, das möglichst viele Patienten freiwillig teilnehmen. Auch hier ist die gute Erreichbarkeit der Ärzte wichtig, aber auch ihre Attraktivität. Es gilt abzuwägen, wie viele Ärzte an dem Präventionsprogramm mit welcher Kapazität teilnehmen sollen. Einerseits aus Kostengründen natürlich möglichst wenige. Aber andererseits ist gerade die kurze Wartezeit auf einen Termin ein Garant dafür, dass der Termin auch wahrgenommen wird. Somit führt die Optimierung wieder auf ein dynamisches Problem. Viele Standorte führen zu kurzen Wegen und weniger "no shows". Aber viele Untersuchungen bei einem Arzt stärken seine Kompetenz - verlängern aber die zu erwartende Wartezeit. Leider führt das außerdem auf ein nicht konvexes Optimierungsproblem, d.h. die Existenz von Optima folgt nicht mit traditionellen Methoden (bei denen ist Konvexität eine zentrale Voraussetzung).
In Mekka sind während einer reicht kurzen Zeit etwa 2-5 Millionen Pilger unterwegs, um Rituale durchzuführen wie die Umkreisung der Kaaba und die symbolische Steinigung des Teufels an drei Säulen. Um das Risiko von Zwischenfällen, bei denen in der Vergangenheit schon hunderte von Todesopfern zu beklagen waren, zu senken, wird das Verhalten der Pilger modelliert in Bezug auf Geschwindigkeit und Dichte. Anschließend werden rund 2 Millionen Pilger, Routen zugewiesen, die so berechnet sind, dass alle Routen möglichst kreuzungsfrei sind. Weiterhin erhalten die Pilger fest zugewiesene Steinigungszeiten, so dass die erwarteten Dichten möglichst unkritisch sind. Der Einfluss von bestimmten Fehlern, wie z.B. falsch gesetzte Zäune oder falsch interpretierte Anweisungen kann dabei nicht völlig ausgeschlossen werden und wird als Risikofaktor in der Auslastung der Routen berücksichtigt.
Die Studierenden im Studiengang Verkehrssystemmanagement an der Hochschule Karlsruhe - Wirtschaft und Technik sind hier an forderster Forschungsfront dabei. Z.B. mit Experimenten zu Fußgänger-Verhalten. Denn auch hier ist eine gute Datenlage der Schlüssel zum Erfolg.
Literatur und weiterführende Informationen
S. Müller e.a.: Travel-to-school mode choice modelling and patterns of school choice in urban areas, Journal of Transport Geography 16 (2008) 342–357
S. Müller: Bildungsstandorte und demographischer Wandel, STANDORT 34 (2010) 6–10
S. Müller e.a: Exposing Unobserved Spatial Similarity: Evidence from German School Choice Data, Geographical Analysis 44 (2012) 65–86
K. Haase, S. Müller: Management of school locations allowing for free school choice, Omega 41 (2013) 847–855
K. Haase, S. Müller: Insights into clients’ choice in preventive health care facility location planning , OR Spectrum 37 (2015) 273-291
K. Haase e.a.: Improving Pilgrim Safety During the Hajj: An Analytical and Operational Research Approach Interfaces 46 (2016) 74-90
Im Rahmen seiner Promotion an der TU Dresden in der Gruppe von Knut Haase begann er der Frage nachzugehen, welche Faktoren die Verkehrsmittelwahl für den Schulweg beeinflussen. Hintergrund dieser Frage war, dass zu der Zeit in Dresden die Schließung von Schulstandorten heiß diskutiert wurde. Die Notwendigkeit von Schulschließungen war dabei nicht umstritten, jedoch welche konkrete Variante die für alle beste Lösung darstellen würde. Hier war die Diskussion emotional stark aufgeladen, d.h. ein Modell, das bei der Planung des Schulnetzes für objektive Informationen sorgt, wäre ganz besonders hilfreich. Am besten mit klaren Empfehlungen für optimale Lösungen in Bezug auf Schulwege und deren Kosten.
Der naheliegende und auch herkömmliche Indikator für so ein Modell ist eine Distanzminimierung. Dadurch lassen sich objektive Aussagen zu minimalen Transportkosten für die Schüler ermitteln. Jedoch stellte sich schnell heraus, dass verlässliche Aussagen dazu fehlten, welche Verkehrsmittel die Schüler anteilig wählen und wieso. Ebenso welche Schulen die Schüler selbst wählen würden und wieso. Deshalb war ein wichtiger Ausgangspunkt für das Forschungsthema eine sehr groß angelegte Schüler-Befragung, die von den Studierenden im Rahmen eines Seminares geplant und durchgeführt wurde. Durch das große Engagement war die Stichprobe schließlich sehr groß. Es wurden dabei Fragebögen in fast allen Schulen verteilt und die Ergebnisse in einer selbst konzipierten Datenbank gesammelt - gut aufbereitet für eine anschließende Auswertung und Optimierung.
So war es möglich, aus diesen Daten Prognosen zur Verkehrsmittelwahl in Abhängigkeit von Distanz und Verkehrsmitteloptionen zu erstellen und über verschiedene Schließungsszenarien eine optimale Verteilung der Schulen (in Bezug auf Kosten für die Stadt) zu ermitteln.
All das floß auch in die Promotion von Sven Müller ein. Als wichtiges Problem für die mathematische Behandlung der Optimierung erwies sich, dass die Optimierungslösung auf die Daten zurückwirkt. Das führt auf ein dynamisches Problem, das mit herkömmlichen Methoden nicht behandelt werden kann. Auch bei der ÖPNV-Planung von optimierten Liniennetzen tritt das Problem auf: Kürzere Reisezeiten und mehr Direktverbindungen führen z.B. zu einem höheren Fahrgastaufkommen. Mathematisch ausgedrückt heißt das die Nebenbedingungen werden dynamisch und das Problem wird in der Regel nichtlinear. Betriebliche Problemstellungen haben oft ein ähnliches Problem, d.h. die Daten bleiben nicht fix sondern sind abhängig von der gefundenen Lösung.
Ein wichtiges Teilergebnis des Forschungsvorhabens von Sven Müller ist eine exakte lineare Reformulierung für das ursprünglich nicht-lineare Optimierungsmodell.
Ein weiteres grundsätzliches Problem ist, dass die Nutzenfunktion hinreichend genau beobachtet werden müsste. Ideal wäre es, wenn nur noch weißes Rauschen im Störterm berücksichtigt werden muss, d.h. alle zufälligen Anteile sind wirklich nur zufällig und unverbunden mit den beobachteten Daten. Das ist in der Realität leider nicht möglich und so führen nicht beobachtete Anteile zu Kovarianzen im Modell, die nicht null sind. Anders ausgedrückt, ist der stochastische Anteil nicht nur weißes Rauschen.
Nebenbei gewann er noch einige andere Erkenntnisse. Z.B. ist es für die Prognose der Fahrradnutzung nicht ausreichend, die Distanz als Maß zu nehmen, da es bergauf- bzw. bergab gehen kann und das für die Entscheidung mindestens ebenso wichtig ist wie die Entfernung. Dieser Frage geht er zur Zeit auch mit seinen Studierenden im Studiengang Verkehrssystemmanagement an der HTW nach.
Zwei weitere Themen, an denen Sven Müller zur Zeit arbeitet, weil sich gute Anknüpfungspunkte aus den eben geschilderten neuen Optimierungsstrategien bieten, sind z.B. die Versorgungsplanung in der Medizin und die Planung der Pilgerströme in Mekka.
Genauer gesagt geht es bei der Versorgungsplanung um Vorsorgeprogramme (Prävention). Durch eine hohe Attraktivität des Angebots soll erreicht werden, das möglichst viele Patienten freiwillig teilnehmen. Auch hier ist die gute Erreichbarkeit der Ärzte wichtig, aber auch ihre Attraktivität. Es gilt abzuwägen, wie viele Ärzte an dem Präventionsprogramm mit welcher Kapazität teilnehmen sollen. Einerseits aus Kostengründen natürlich möglichst wenige. Aber andererseits ist gerade die kurze Wartezeit auf einen Termin ein Garant dafür, dass der Termin auch wahrgenommen wird. Somit führt die Optimierung wieder auf ein dynamisches Problem. Viele Standorte führen zu kurzen Wegen und weniger "no shows". Aber viele Untersuchungen bei einem Arzt stärken seine Kompetenz - verlängern aber die zu erwartende Wartezeit. Leider führt das außerdem auf ein nicht konvexes Optimierungsproblem, d.h. die Existenz von Optima folgt nicht mit traditionellen Methoden (bei denen ist Konvexität eine zentrale Voraussetzung).
In Mekka sind während einer reicht kurzen Zeit etwa 2-5 Millionen Pilger unterwegs, um Rituale durchzuführen wie die Umkreisung der Kaaba und die symbolische Steinigung des Teufels an drei Säulen. Um das Risiko von Zwischenfällen, bei denen in der Vergangenheit schon hunderte von Todesopfern zu beklagen waren, zu senken, wird das Verhalten der Pilger modelliert in Bezug auf Geschwindigkeit und Dichte. Anschließend werden rund 2 Millionen Pilger, Routen zugewiesen, die so berechnet sind, dass alle Routen möglichst kreuzungsfrei sind. Weiterhin erhalten die Pilger fest zugewiesene Steinigungszeiten, so dass die erwarteten Dichten möglichst unkritisch sind. Der Einfluss von bestimmten Fehlern, wie z.B. falsch gesetzte Zäune oder falsch interpretierte Anweisungen kann dabei nicht völlig ausgeschlossen werden und wird als Risikofaktor in der Auslastung der Routen berücksichtigt.
Die Studierenden im Studiengang Verkehrssystemmanagement an der Hochschule Karlsruhe - Wirtschaft und Technik sind hier an forderster Forschungsfront dabei. Z.B. mit Experimenten zu Fußgänger-Verhalten. Denn auch hier ist eine gute Datenlage der Schlüssel zum Erfolg.
Literatur und weiterführende Informationen
S. Müller e.a.: Travel-to-school mode choice modelling and patterns of school choice in urban areas, Journal of Transport Geography 16 (2008) 342–357
S. Müller: Bildungsstandorte und demographischer Wandel, STANDORT 34 (2010) 6–10
S. Müller e.a: Exposing Unobserved Spatial Similarity: Evidence from German School Choice Data, Geographical Analysis 44 (2012) 65–86
K. Haase, S. Müller: Management of school locations allowing for free school choice, Omega 41 (2013) 847–855
K. Haase, S. Müller: Insights into clients’ choice in preventive health care facility location planning , OR Spectrum 37 (2015) 273-291
K. Haase e.a.: Improving Pilgrim Safety During the Hajj: An Analytical and Operational Research Approach Interfaces 46 (2016) 74-90
2 Stunden 1 Minute
Zur 100. Folge haben sich Gudrun und Sebastian bei Gudrun getroffen, um sich zum Jubiläum einfach mal in Ruhe über den Podcast, den Ursprung, was wir so erlebten und was vor uns liegt.
Für Sebastian öffnete die Raumzeit-Folge zu Tandem-X die Augen, wieviel wissenschaftlicher Inhalt in einem Podcast übertragen werden kann. Schnell war Gudrun begeistert und nahm mit Sebastian die erste Folge zu ihrer Vorlesung über mathematische Modellbildung auf. Nach zwei weiteren Aufnahmen zur Aorta-Challenge und zur Unsichtbarkeit machten wir unsere ersten Versuche öffentlich. Schon früh stellte sich heraus, dass uns die Themen zur Mathematik nicht schnell ausgehen, da es so viele Abschlussarbeiten, Forschungsthemen und Vorlesungen gibt, die jeweils auch noch unter unterschiedlichen Sichtweisen betrachtet werden können.
Im Storify sieht man, wie wir schon früh vielseitig unterstützt wurden und unsere Hörerzahl stieg schnell an:
Ein besonderer Unterstützer war dabei Henning Krause, der uns eine Grußbotschaft sendete und ganz besonders die Qwirkle-Folge schätzt. Einen weiteren Gruß sandte uns Katrin Leinweber vom KonScience Podcast.
Weitere Grüße erreichten uns aus Kanada von Anja Randecker aus unserer Folge zu Wilden Singularitäten, die nun in Toronto als Post-Doc weiter zu Translationsflächen forscht. Sehr haben wir uns auch über die Grüße aus dem Grünen von Martin Rützler gefreut, der selbst im Radio Mono Podcast, im DKG-Podcast und im Sendegarten regelmäßig zu hören ist, die deutschen GanzOhr-Wissenschaftspodcast-Treffen initiierte und die Wissenschaftspodcasts-Seite mit begründete.
Neben Gesprächen über Vorlesungen, wie zur Analysis, Höhere Mathematik oder Digitale Währungen, hat nun Gudrun auch eine Vorlesung aufgenommen: Den Schnupperkurs zur Verkehrsmodellierung, der jeweils auf viele Gespräche im Podcast verweist. Bei Konscience gibt es interessante Konzepte zur Verknüpfung von Vortrag und Podcast, die auch auf Vorlesungen angewendet werden könnten.
Ganz besondere Grüße erreichten uns von Lorenz Adlung, den wir in der Folge 39 zur Systembiologie im Podcast hatten. Lorenz ist auch ein begnadeter Science-Slammer, wie auch Anastasia August aus unserer Folge 37 zum Metallschaum. Sie ist weiterhin als Mathematikerin am Institut für Angewandte Materialien, wo sie aktuell an Gradierten Schäumen und Magischen Schäumen forscht und ein Graduiertenkolleg vorbereitet.
Sebastian hat die Folge 98 zu Primzahlen und Gruppen sehr gefallen, wo Rebecca Waldecker den Einstieg in die Algebra und Zahlentheorie sehr anschaulich beschrieben hat.
Besonders spannend sind auch Themen, die inzwischen zu Ausgründungen geführt haben: Markus Dahlem in M-Sense mit dem Thema Migräne, Tobias Hahn mit der Chromatographie, sowie Carlos Falquez, Iris Pantle und Balazs Pritz zu Strömungslärm.
Im Zuge des SFB zu Wellenphänomenen haben wir auch ein Special zum Cooking Math Projekt durchgeführt, wo durch Gespräche die vielseitigen Kunstobjekte zur Mathematik dargestellt werden. Ein persönliches Special war für uns aber auch die Nullnummer in Folge 73, die wir mit Nele Heise aufnehmen konnten.
Ebenso haben wir uns sehr über die Grüße von Melanie Bartos gefreut, die mit ihrem Podcast Zeit für Wissenschaft immer wieder über spannende wissenschaftliche Themen aus der Uni Insbruck berichtet. Natürlich haben uns auch Annika Brockschmidt und Dennis Schulz vom Science Pie Podcast aus Heidelberg einen wunderschönen Gruß gesendet, und auch Nora Ludewig und Markus Völter vom Omega Tau Podcast schlossen sich mit einer lieben Botschaft an. Und wir freuen uns die beiden im Oktober beim GanzOhr2016-Treffen der Wissenschaftspodcasts wieder zu sehen.
Unsere Audiodaten laufen inzwischen durch die Open Source Podcast Audio Chain (OSPAC). Einen Einblick kann man im Vortrag zu OSPAC auf der Subscribe7 oder dem erweiterten Vortrag zu OSPAC auf der GPN16 erhalten, und auch LIGO-Rohdaten auswerten. Informationen zum Aufnehmen von Podcasts mit dem iPhone habe ich auf dem Sendegate hinterlegt. Spannend waren auch die Podcast Nachbarschafts-Graphen, die nun auch eine neue Fortsetzung auf dem FYYD Podcast-Verzeichnis.
Wir haben einige Überraschungen in den bisher beliebtesten Folgen und am längesten gehörten Folgen im Modellansatz- welches dies sind, muss man sich beim Interesse im Podcast anhören.
Für Sebastian öffnete die Raumzeit-Folge zu Tandem-X die Augen, wieviel wissenschaftlicher Inhalt in einem Podcast übertragen werden kann. Schnell war Gudrun begeistert und nahm mit Sebastian die erste Folge zu ihrer Vorlesung über mathematische Modellbildung auf. Nach zwei weiteren Aufnahmen zur Aorta-Challenge und zur Unsichtbarkeit machten wir unsere ersten Versuche öffentlich. Schon früh stellte sich heraus, dass uns die Themen zur Mathematik nicht schnell ausgehen, da es so viele Abschlussarbeiten, Forschungsthemen und Vorlesungen gibt, die jeweils auch noch unter unterschiedlichen Sichtweisen betrachtet werden können.
Im Storify sieht man, wie wir schon früh vielseitig unterstützt wurden und unsere Hörerzahl stieg schnell an:
Ein besonderer Unterstützer war dabei Henning Krause, der uns eine Grußbotschaft sendete und ganz besonders die Qwirkle-Folge schätzt. Einen weiteren Gruß sandte uns Katrin Leinweber vom KonScience Podcast.
Weitere Grüße erreichten uns aus Kanada von Anja Randecker aus unserer Folge zu Wilden Singularitäten, die nun in Toronto als Post-Doc weiter zu Translationsflächen forscht. Sehr haben wir uns auch über die Grüße aus dem Grünen von Martin Rützler gefreut, der selbst im Radio Mono Podcast, im DKG-Podcast und im Sendegarten regelmäßig zu hören ist, die deutschen GanzOhr-Wissenschaftspodcast-Treffen initiierte und die Wissenschaftspodcasts-Seite mit begründete.
Neben Gesprächen über Vorlesungen, wie zur Analysis, Höhere Mathematik oder Digitale Währungen, hat nun Gudrun auch eine Vorlesung aufgenommen: Den Schnupperkurs zur Verkehrsmodellierung, der jeweils auf viele Gespräche im Podcast verweist. Bei Konscience gibt es interessante Konzepte zur Verknüpfung von Vortrag und Podcast, die auch auf Vorlesungen angewendet werden könnten.
Ganz besondere Grüße erreichten uns von Lorenz Adlung, den wir in der Folge 39 zur Systembiologie im Podcast hatten. Lorenz ist auch ein begnadeter Science-Slammer, wie auch Anastasia August aus unserer Folge 37 zum Metallschaum. Sie ist weiterhin als Mathematikerin am Institut für Angewandte Materialien, wo sie aktuell an Gradierten Schäumen und Magischen Schäumen forscht und ein Graduiertenkolleg vorbereitet.
Sebastian hat die Folge 98 zu Primzahlen und Gruppen sehr gefallen, wo Rebecca Waldecker den Einstieg in die Algebra und Zahlentheorie sehr anschaulich beschrieben hat.
Besonders spannend sind auch Themen, die inzwischen zu Ausgründungen geführt haben: Markus Dahlem in M-Sense mit dem Thema Migräne, Tobias Hahn mit der Chromatographie, sowie Carlos Falquez, Iris Pantle und Balazs Pritz zu Strömungslärm.
Im Zuge des SFB zu Wellenphänomenen haben wir auch ein Special zum Cooking Math Projekt durchgeführt, wo durch Gespräche die vielseitigen Kunstobjekte zur Mathematik dargestellt werden. Ein persönliches Special war für uns aber auch die Nullnummer in Folge 73, die wir mit Nele Heise aufnehmen konnten.
Ebenso haben wir uns sehr über die Grüße von Melanie Bartos gefreut, die mit ihrem Podcast Zeit für Wissenschaft immer wieder über spannende wissenschaftliche Themen aus der Uni Insbruck berichtet. Natürlich haben uns auch Annika Brockschmidt und Dennis Schulz vom Science Pie Podcast aus Heidelberg einen wunderschönen Gruß gesendet, und auch Nora Ludewig und Markus Völter vom Omega Tau Podcast schlossen sich mit einer lieben Botschaft an. Und wir freuen uns die beiden im Oktober beim GanzOhr2016-Treffen der Wissenschaftspodcasts wieder zu sehen.
Unsere Audiodaten laufen inzwischen durch die Open Source Podcast Audio Chain (OSPAC). Einen Einblick kann man im Vortrag zu OSPAC auf der Subscribe7 oder dem erweiterten Vortrag zu OSPAC auf der GPN16 erhalten, und auch LIGO-Rohdaten auswerten. Informationen zum Aufnehmen von Podcasts mit dem iPhone habe ich auf dem Sendegate hinterlegt. Spannend waren auch die Podcast Nachbarschafts-Graphen, die nun auch eine neue Fortsetzung auf dem FYYD Podcast-Verzeichnis.
Wir haben einige Überraschungen in den bisher beliebtesten Folgen und am längesten gehörten Folgen im Modellansatz- welches dies sind, muss man sich beim Interesse im Podcast anhören.
25 Minuten
Markus Scholz hat gerade seine Dissertation Estimation of Cointegrated Multivariate Continuous-Time Autoregressive Moving Average Processes an der KIT-Fakultät für Mathematik verteidigt. Gudrun ergriff die Gelegenheit, mit ihm über die Idee und Anwendungsmöglichkeiten von Zeitreihen-Modellen zu sprechen.
Prinzipiell stehen Zeitreihen einerseits für zeitlich geordnete (Mess-)Daten, die z.B. durch Abtasten (wiederholtes Messen) eines Vorgangs in der Realität entstehen. Andererseits werden sie in der Statistik als Ergebnis eines Stochastischen Prozesses interpretiert, der diese Zeitreihe als eine seiner Realisierungen erzeugt. Der stochastische Prozess ist hierbei ein Modell und soll die wichtigsten Eigenschaften der Daten erfassen. Er soll auch dazu dienen, zuverlässige Schätzungen zu liefern, wie sich die Zeitreihe wahrscheinlich in die Zukunft fortsetzt. Mitunter interessieren hier sogar nur so oberflächliche Informationen wie Saisonalität und Trends.
Ein Aspekt, der im Titel der Arbeit von Markus Scholz als "Moving Average" beschrieben ist, ist die Eigenschaft, dass die Werte der Zeitreihe vor allem durch die letzten davor liegenden Meßpunkte beeinflusst sind und die "Erinnerung" an weiter in der Vergangenheit liegende Zustände abklingt. Im Modell ist hier stets eine Zufallsquelle integriert, die man sich wie ein Auswürfeln pro Zeitpunkt vorstellen kann.
Wie erfolgt hier die Zuordnung zwischen Datenreihe und stochastischem Modell? In der Regel basiert die Wahl auf der Erfahrung über zuvor benutzte Modelle in ähnlichen Zusammenhängen und auf den bekannten Eigenschaften der Modelle. Anschließend müssen jedoch stochastische Tests belegen, dass die Zuordnung tatsächlich korrekt ist.
Markus Scholz hat sich mit stochastischen Prozessen beschäftigt, die kontinuierlich in der Zeit sind statt - wie bisher beschrieben - diskret. Sie eignen sich z.B. zur Modellierung von Temperaturverläufen. Prinzipiell nimmt man dabei an, dass eine hoch genug gewählte Abtastrate den Übergang von diskreten Messungen zu einem als stetig angesehenen Prozess unkritisch macht. Der Aspekt, der ihn hier vor allem beschäftigt hat, war die Erweiterung bekannter Modelle um die Eigenschaft der Nicht-Stationarität. Das heißt kurz gesagt, die Grundeigenschaften des Prozesses können sich über die Zeit ändern. Das kennen wir ja auch von der Temperatur: Einerseitzs durchlaufen tägliche Tiefst-, Höchst- oder Mittelwerte der Temperatur im Jahresverlauf eine typische Kurve für eine betrachtete Region. Andererseits kann im konkreten Jahr ein untypischer Verlauf vorliegen und es ist gar nicht so leicht zu quantifizieren, ob es sich um eine untypische Beobachtung handelt oder sich z.B. die Mittelwerte tatsächlich statistisch signifikant ändern. Anders gesagt führt die Nicht-Stationarität im Modell auf Probleme bei zugehörigen Schätzungen, die in der Regel schwer zu lösen sind.
Deshalb hat Markus Scholz zunächst einen handhabbaren Spezialfall ausgewählt, die sogenannten kointegrierte Prozesse. Als stochastische Quelle - dienen ihm Lévy-Prozesse, die Sprünge zulassen. Die einfachste Zufallsquelle wären Brownsche Bewegungen, die aber nur stetig (d.h. ohne Sprünge) möglich sind. Lévy- Prozesse sind flexibel haben jedoch nützliche Eigenschaften, die ihre Behandlung erleichtern, wie z.B. stationäre Inkremente.
Grundidee der Arbeit war es, vorhandene Resultate für zeitdiskrete nicht-stationäre Modelle und zeitstetige stationäre Modelle so zu vereinen, dass ein neues zeitstetiges und nicht-stationäres Modell mit gut studierbaren Eigenschaften entsteht. Hierbei wurden Zustandsraummodelle verwendet, welche durch Matrizen charakterisiert werden, die die Eigenschaften des Modells bestimmen. Eine entscheidende Beweisidee beruht darauf, dass die Matrizen so transformiert werden können, dass ein Entkopplung in stationäre und nicht-stationäre Anteile erfolgt und die Benutzung der jeweils bekannten Resultate auf den zusammengesetzten Prozess möglich wird.
Besonders wertvoll sind hier die entwickelten Schätzverfahren für kointegrierte Prozesse. In der Praxis haben die Zeitreihen meist einen ungefähren Gleichlauf über die Zeit, damit sind sie gemeinsam integriert, also kointegriert. Der Begriff Integration bedeutet, dass die nicht-stationären Zeitreihen durch Differenzenbildung auf neue stationäre Zeitreihen zurückgeführt werden können. Die Schätzmethode baut auf derMaximum-Likelihood-Schätzung auf, welches anschließend mit Hilfe eines numerisches Optimierungsverfahren gelöst wird. Für die Schätzmethode konnte die Konsistenz nachgewiesen werden, d.h. Schätzfolgen mit immer mehr Daten werden immer besser (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit gegen wahren Wert).
Referenzen
C. Granger: Nobel Prize Lecture, 2003.
R. Stelzer: CARMA Processes driven by Non-Gaussian Noise, TUM-IAS Primary Sources - Essays in Technology and Science, 1 no.1, 2012.
E. Schlemm and R. Stelzer: Quasi maximum likelihood estimation for strongly mixing state space models and multivariate Lévy-driven CARMA processes, arXiv, 2012.
Prinzipiell stehen Zeitreihen einerseits für zeitlich geordnete (Mess-)Daten, die z.B. durch Abtasten (wiederholtes Messen) eines Vorgangs in der Realität entstehen. Andererseits werden sie in der Statistik als Ergebnis eines Stochastischen Prozesses interpretiert, der diese Zeitreihe als eine seiner Realisierungen erzeugt. Der stochastische Prozess ist hierbei ein Modell und soll die wichtigsten Eigenschaften der Daten erfassen. Er soll auch dazu dienen, zuverlässige Schätzungen zu liefern, wie sich die Zeitreihe wahrscheinlich in die Zukunft fortsetzt. Mitunter interessieren hier sogar nur so oberflächliche Informationen wie Saisonalität und Trends.
Ein Aspekt, der im Titel der Arbeit von Markus Scholz als "Moving Average" beschrieben ist, ist die Eigenschaft, dass die Werte der Zeitreihe vor allem durch die letzten davor liegenden Meßpunkte beeinflusst sind und die "Erinnerung" an weiter in der Vergangenheit liegende Zustände abklingt. Im Modell ist hier stets eine Zufallsquelle integriert, die man sich wie ein Auswürfeln pro Zeitpunkt vorstellen kann.
Wie erfolgt hier die Zuordnung zwischen Datenreihe und stochastischem Modell? In der Regel basiert die Wahl auf der Erfahrung über zuvor benutzte Modelle in ähnlichen Zusammenhängen und auf den bekannten Eigenschaften der Modelle. Anschließend müssen jedoch stochastische Tests belegen, dass die Zuordnung tatsächlich korrekt ist.
Markus Scholz hat sich mit stochastischen Prozessen beschäftigt, die kontinuierlich in der Zeit sind statt - wie bisher beschrieben - diskret. Sie eignen sich z.B. zur Modellierung von Temperaturverläufen. Prinzipiell nimmt man dabei an, dass eine hoch genug gewählte Abtastrate den Übergang von diskreten Messungen zu einem als stetig angesehenen Prozess unkritisch macht. Der Aspekt, der ihn hier vor allem beschäftigt hat, war die Erweiterung bekannter Modelle um die Eigenschaft der Nicht-Stationarität. Das heißt kurz gesagt, die Grundeigenschaften des Prozesses können sich über die Zeit ändern. Das kennen wir ja auch von der Temperatur: Einerseitzs durchlaufen tägliche Tiefst-, Höchst- oder Mittelwerte der Temperatur im Jahresverlauf eine typische Kurve für eine betrachtete Region. Andererseits kann im konkreten Jahr ein untypischer Verlauf vorliegen und es ist gar nicht so leicht zu quantifizieren, ob es sich um eine untypische Beobachtung handelt oder sich z.B. die Mittelwerte tatsächlich statistisch signifikant ändern. Anders gesagt führt die Nicht-Stationarität im Modell auf Probleme bei zugehörigen Schätzungen, die in der Regel schwer zu lösen sind.
Deshalb hat Markus Scholz zunächst einen handhabbaren Spezialfall ausgewählt, die sogenannten kointegrierte Prozesse. Als stochastische Quelle - dienen ihm Lévy-Prozesse, die Sprünge zulassen. Die einfachste Zufallsquelle wären Brownsche Bewegungen, die aber nur stetig (d.h. ohne Sprünge) möglich sind. Lévy- Prozesse sind flexibel haben jedoch nützliche Eigenschaften, die ihre Behandlung erleichtern, wie z.B. stationäre Inkremente.
Grundidee der Arbeit war es, vorhandene Resultate für zeitdiskrete nicht-stationäre Modelle und zeitstetige stationäre Modelle so zu vereinen, dass ein neues zeitstetiges und nicht-stationäres Modell mit gut studierbaren Eigenschaften entsteht. Hierbei wurden Zustandsraummodelle verwendet, welche durch Matrizen charakterisiert werden, die die Eigenschaften des Modells bestimmen. Eine entscheidende Beweisidee beruht darauf, dass die Matrizen so transformiert werden können, dass ein Entkopplung in stationäre und nicht-stationäre Anteile erfolgt und die Benutzung der jeweils bekannten Resultate auf den zusammengesetzten Prozess möglich wird.
Besonders wertvoll sind hier die entwickelten Schätzverfahren für kointegrierte Prozesse. In der Praxis haben die Zeitreihen meist einen ungefähren Gleichlauf über die Zeit, damit sind sie gemeinsam integriert, also kointegriert. Der Begriff Integration bedeutet, dass die nicht-stationären Zeitreihen durch Differenzenbildung auf neue stationäre Zeitreihen zurückgeführt werden können. Die Schätzmethode baut auf derMaximum-Likelihood-Schätzung auf, welches anschließend mit Hilfe eines numerisches Optimierungsverfahren gelöst wird. Für die Schätzmethode konnte die Konsistenz nachgewiesen werden, d.h. Schätzfolgen mit immer mehr Daten werden immer besser (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit gegen wahren Wert).
Referenzen
C. Granger: Nobel Prize Lecture, 2003.
R. Stelzer: CARMA Processes driven by Non-Gaussian Noise, TUM-IAS Primary Sources - Essays in Technology and Science, 1 no.1, 2012.
E. Schlemm and R. Stelzer: Quasi maximum likelihood estimation for strongly mixing state space models and multivariate Lévy-driven CARMA processes, arXiv, 2012.
48 Minuten
Rebecca Waldecker ist Professorin für Algebra an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Sie besuchte Karlsruhe aus Anlass einer Konferenz zu Ehren von Richard Weiss und Gudrun nutzte die Gelegenheit, um mit ihr über das Faszinosum und die Nützlichkeit von Primzahlen und ihr Forschungsgebiet der Gruppentheorie zu sprechen.
In der Vergangenheit gab es verschiedene Definitionen für Primzahlen, die sich über die Zeit zu dem heute gebräuchlichen geschärft haben:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat - sich selbst und 1.
Die Zahl 1 ist damit keine Primzahl, aber z.B. ist die Zahl 2 prim sowie die Zahlen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw. Ein grundlegendes Resultat besagt, dass sich alle natürlichen Zahlen eindeutig in Produkte von Primzahlen aufteilen lassen. Zahlen, die selbst nicht prim sind, nennt man deshalb zerlegbar bzw. zusammengesetzt, weil man sie mit Hilfe dieser Darstellung in die zugehörigen Primfaktoren aufteilen kann bzw. man diese als Grundbausteine der natürlichen Zahlen ansehen kann.
Es gibt in diesem Zusammenhang viele interessante Fragen. Zum Beispiel:
Wie viele Primzahlen gibt es? Gibt es beliebig große Primzahlzwillinge, d.h. zwei Primzahlen, die voneinander nur den Abstand 2 haben (wie z.B. 11 und 13)? Wie kann ich eine Zahl als Primzahl erkennen? Wie kann ich für jede Zahl (effektiv) die Zerlegung in Primfaktoren berechnen?
Interessant ist, dass diese Fragen, die doch eher theoretisch und fast schon spielerisch wirken, heute eine große Relevanz erhalten, weil sich alle gebräuchlichen digitalen Verschlüsselungsverfahren (z.B. beim online-Banking) großer Primzahlen bedienen (je größere Primzahlen man verwenden kann, desto sicherer ist die zugehörige Verschlüsselung). Das liegt daran, dass es im Allgemeinen tatsächlich eine recht lange Rechenzeit braucht, um große Zahlen in mögliche Primfaktoren zu zerlegen.
Wenn man sich jedoch davon löst, Primzahlen und Teiler nur auf natürliche Zahlen zu beziehen, wird die Welt noch ein wenig interessanter. Besonders einfach und fast offensichtlich ist es bei der Ausweitung auf ganze Zahlen. In den ganzen Zahlen gibt es mehr Teiler: Zum Beispiel hat die Zahl 3 dort (neben 3 und 1) auch noch die Teiler -1 und -3. Man muss dann entscheiden, welches die Grundbausteine für ganze Zahlen sein sollen.
Noch etwas allgemeiner ausgedrückt: Wenn der Begriff der Primzahl auf andere Zahlbereiche verallgemeinert wird, dann gibt es zwei Eigenschaften, die man als charakterisch für "prim" ansehen kann: Einerseits die "Unzerlegbarkeit", also die Eigenschaft, nur die offensichtlichen Teiler zu besitzen. Primzahlen haben aber auch die Eigenschaft (im Bereich der ganzen Zahlen), dass, wenn sie ein Produkt von Zahlen teilen, sie automatisch mindestens einen der Faktoren teilen. Auch diese Eigenschaft kann man zur Verallgemeinerung der Eigenschaft "prim" benutzen.
Häufig ist es so, dass in der Übertragung der Idee auf Objekte, die die Struktur eines algebraischen Rings haben (d.h. grob gesprochen, man "rechnet" in ihnen mehr oder weniger so, wie wir es von den ganzen Zahlen kennen) die Unzerlegbarkeit mit dem Begriff "irreduzibel" verallgemeinert wird und dass die andere Eigenschaft (wenn man ein Produkt teilt, dann auch mindestens einen der Faktoren) mit "prim" oder "Primelement" verallgemeinert wird. In manchen Zahlbereichen fallen diese Begriffe zusammen. Zum Beispiel ist das bei den ganzen Zahlen so und bei den im Gespräch erwähnten Ganzen Gaußschen Zahlen.
Die Ganzen Gaußschen Zahlen werden aus allen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene gebildet. Diese Ebene ist eine geometrische Interpretation der Menge der komplexen Zahlen - die beiden Achsen geben Real- und Imaginärteil der jeweiligen komplexen Zahl an. Wählt man alle ganzzahligen Punkte, so ergibt das eine Struktur, die geometrisch betrachtet ein Gitter ist, und die algebraisch betrachtet den ganzen Zahlen nicht unähnlich ist. Allerdings wird die Multiplikation etwas interessanter, deshalb ändern sich die Eigenschaften von Primzahlen im Ring Z[i] der Ganzen Gaussschen Zahlen.
2 ist dort keine Primzahl, sondern hat neben den offensichtlichen Teilern 2,-2,1,-1,i,-i,2i,-2i auch noch die Teiler 1+i, 1-i und noch einige mehr.
Alle Primzahlen, die beim Teilen durch 4 in Z[i] den Rest 3 lassen, bleiben prim in Z[i]. Zum Beispiel 3, 7 und 11.
Alle Primzahlen, die beim Teilen durch 4 in Z[i] den Rest 1 lassen, sind nicht mehr prim in Z[i], sondern bekommen dort interessante zusätzliche Teiler. Das liegt daran, dass diese Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben lassen.
Streng genommen geht es hier nicht um die Eigenschaft, prim zu sein, sondern um die Eigenschaft, irreduzibel zu sein (siehe oben). Aber im Ring der Ganzen Gaussschen Zahlen fallen diese Begriffe zusammen. Wer sich dafür interessiert, findet beispielsweise beim Suchen mit den Stichworten Zwei-Quadrate-Satz von Fermat und Normfunktion bei den Ganzen Gaußschen Zahlen viele weitere Informationen und Details.
Für die Herleitung von effektiven Verfahren, die Primzahlen herausfischen (Primzahlsieb), ist es mitunter nützlich, auf bestimmte Eigenschaften von Primzahlen zurückzugreifen, statt stur alle Teiler zu probieren - von denen gibt es schon für mittelgroße Zahlen nämlich ganz schön viele und es wird selbst mit Hilfe schneller Computer recht zäh. Eine solche Eigenschaft ist im kleinen Satz von Fermat formuliert:
Ist p eine Primzahl und ist a eine ganze Zahl, so gilt: ap und a haben beim Teilen durch p den gleichen Rest.
Falls a nicht durch p teilbar ist, dann gibt es noch eine andere Version:
ap−1 hat beim Teilen durch p genau den Rest 1.
Dies kann man zur Erkennung von Primzahlen ausnutzen:
Ist n eine natürliche Zahl, die man auf Primalität untersuchen möchte, so wählt man sich zufällig eine Zahl a, die echt zwischen 1 und n liegt und die teilerfremd zu n ist (falls das nicht möglich ist, dann ist n=2 und man kann den Test sofort beenden).
Nun haben wir also a und n und berechnen an−1. Falls beim Teilen durch n dann der Rest 1 herauskommt, dann ist das Testergebnis "n ist wahrscheinlich prim.".
Andernfalls ist das Testergebnis "n ist zusammengesetzt."
Das Ergebnis "zusammengesetzt" ist immer richtig, aber das Ergebnis "prim" ist manchmal falsch. Bei den sogenannten Pseudoprimzahlen erscheint für manche Werte von a die Ausgabe "prim", obwohl die Zahl in Wirklichkeit zusammengesetzt ist. Noch schlimmer: Bei den sogenannten Carmichael-Zahlen ist es sogar so, dass für jede mögliche Zahl a, die man sich für den Test wählen könnte (mit den Einschränkungen von oben), der Test das Ergebnis "prim" ausgibt, obwohl die Zahl in Wirklichkeit zusammengesetzt ist.
Solche "Unfälle" haben dazu geführt, dass man nach feineren Tests gesucht hat, die weniger Fehler machen. Ein Beispiel ist der Miller-Rabin-Test. Der erste Schritt ist dabei so ähnlich wie beim Fermat-Test, aber es gibt danach noch einen zweiten Schritt.
Auf der Seite http://www.visual.wegert.com von Elias Wegert findet man viele wunderbare Illustrationen, manche davon haben mit Primzahlen zu tun. Hier sind noch mehr Tipps zum Stoebern und Weiterlesen:
Literatur und weiterführende Informationen
Chris K. Caldwell: The List of Largest Known Primes Home Page
R. Waldecker, L. Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger, 2. Auflage. Springer, 2015. Auch in englisch erhältlich: Primality testing for beginners, Januar 2014 in der Serie Student Mathematical Library der AMS.
E. Wegert: Visual Complex Functions, Birkhäuser, 2012.
Agrawal, M., Kayal, N. und Saxena, K.: PRIMES is in P, Annals of Math. 160 (2004), No. 2, 781 - 793.
Hardy, G.H.: A mathematician's apology, Cambridge University Press, 1992.
Crandall, R. und Pomerance, C.: Prime Numbers: A computational perspective, Springer, 2005.
Dietzfelbinger, M.: Primality Testing in Polynomial Time: from randomized algorithms to PRIMES is in P, Springer, 2004.
Podcasts
S.Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/digitale-waehrungen
F. Januszewski: L-Funktionen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 55, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/l-funktionen
F. Schmidt: RSA-Faktorisierung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 70, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/rsa-faktorisierung
In der Vergangenheit gab es verschiedene Definitionen für Primzahlen, die sich über die Zeit zu dem heute gebräuchlichen geschärft haben:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat - sich selbst und 1.
Die Zahl 1 ist damit keine Primzahl, aber z.B. ist die Zahl 2 prim sowie die Zahlen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw. Ein grundlegendes Resultat besagt, dass sich alle natürlichen Zahlen eindeutig in Produkte von Primzahlen aufteilen lassen. Zahlen, die selbst nicht prim sind, nennt man deshalb zerlegbar bzw. zusammengesetzt, weil man sie mit Hilfe dieser Darstellung in die zugehörigen Primfaktoren aufteilen kann bzw. man diese als Grundbausteine der natürlichen Zahlen ansehen kann.
Es gibt in diesem Zusammenhang viele interessante Fragen. Zum Beispiel:
Wie viele Primzahlen gibt es? Gibt es beliebig große Primzahlzwillinge, d.h. zwei Primzahlen, die voneinander nur den Abstand 2 haben (wie z.B. 11 und 13)? Wie kann ich eine Zahl als Primzahl erkennen? Wie kann ich für jede Zahl (effektiv) die Zerlegung in Primfaktoren berechnen?
Interessant ist, dass diese Fragen, die doch eher theoretisch und fast schon spielerisch wirken, heute eine große Relevanz erhalten, weil sich alle gebräuchlichen digitalen Verschlüsselungsverfahren (z.B. beim online-Banking) großer Primzahlen bedienen (je größere Primzahlen man verwenden kann, desto sicherer ist die zugehörige Verschlüsselung). Das liegt daran, dass es im Allgemeinen tatsächlich eine recht lange Rechenzeit braucht, um große Zahlen in mögliche Primfaktoren zu zerlegen.
Wenn man sich jedoch davon löst, Primzahlen und Teiler nur auf natürliche Zahlen zu beziehen, wird die Welt noch ein wenig interessanter. Besonders einfach und fast offensichtlich ist es bei der Ausweitung auf ganze Zahlen. In den ganzen Zahlen gibt es mehr Teiler: Zum Beispiel hat die Zahl 3 dort (neben 3 und 1) auch noch die Teiler -1 und -3. Man muss dann entscheiden, welches die Grundbausteine für ganze Zahlen sein sollen.
Noch etwas allgemeiner ausgedrückt: Wenn der Begriff der Primzahl auf andere Zahlbereiche verallgemeinert wird, dann gibt es zwei Eigenschaften, die man als charakterisch für "prim" ansehen kann: Einerseits die "Unzerlegbarkeit", also die Eigenschaft, nur die offensichtlichen Teiler zu besitzen. Primzahlen haben aber auch die Eigenschaft (im Bereich der ganzen Zahlen), dass, wenn sie ein Produkt von Zahlen teilen, sie automatisch mindestens einen der Faktoren teilen. Auch diese Eigenschaft kann man zur Verallgemeinerung der Eigenschaft "prim" benutzen.
Häufig ist es so, dass in der Übertragung der Idee auf Objekte, die die Struktur eines algebraischen Rings haben (d.h. grob gesprochen, man "rechnet" in ihnen mehr oder weniger so, wie wir es von den ganzen Zahlen kennen) die Unzerlegbarkeit mit dem Begriff "irreduzibel" verallgemeinert wird und dass die andere Eigenschaft (wenn man ein Produkt teilt, dann auch mindestens einen der Faktoren) mit "prim" oder "Primelement" verallgemeinert wird. In manchen Zahlbereichen fallen diese Begriffe zusammen. Zum Beispiel ist das bei den ganzen Zahlen so und bei den im Gespräch erwähnten Ganzen Gaußschen Zahlen.
Die Ganzen Gaußschen Zahlen werden aus allen Punkten mit ganzzahligen Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene gebildet. Diese Ebene ist eine geometrische Interpretation der Menge der komplexen Zahlen - die beiden Achsen geben Real- und Imaginärteil der jeweiligen komplexen Zahl an. Wählt man alle ganzzahligen Punkte, so ergibt das eine Struktur, die geometrisch betrachtet ein Gitter ist, und die algebraisch betrachtet den ganzen Zahlen nicht unähnlich ist. Allerdings wird die Multiplikation etwas interessanter, deshalb ändern sich die Eigenschaften von Primzahlen im Ring Z[i] der Ganzen Gaussschen Zahlen.
2 ist dort keine Primzahl, sondern hat neben den offensichtlichen Teilern 2,-2,1,-1,i,-i,2i,-2i auch noch die Teiler 1+i, 1-i und noch einige mehr.
Alle Primzahlen, die beim Teilen durch 4 in Z[i] den Rest 3 lassen, bleiben prim in Z[i]. Zum Beispiel 3, 7 und 11.
Alle Primzahlen, die beim Teilen durch 4 in Z[i] den Rest 1 lassen, sind nicht mehr prim in Z[i], sondern bekommen dort interessante zusätzliche Teiler. Das liegt daran, dass diese Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben lassen.
Streng genommen geht es hier nicht um die Eigenschaft, prim zu sein, sondern um die Eigenschaft, irreduzibel zu sein (siehe oben). Aber im Ring der Ganzen Gaussschen Zahlen fallen diese Begriffe zusammen. Wer sich dafür interessiert, findet beispielsweise beim Suchen mit den Stichworten Zwei-Quadrate-Satz von Fermat und Normfunktion bei den Ganzen Gaußschen Zahlen viele weitere Informationen und Details.
Für die Herleitung von effektiven Verfahren, die Primzahlen herausfischen (Primzahlsieb), ist es mitunter nützlich, auf bestimmte Eigenschaften von Primzahlen zurückzugreifen, statt stur alle Teiler zu probieren - von denen gibt es schon für mittelgroße Zahlen nämlich ganz schön viele und es wird selbst mit Hilfe schneller Computer recht zäh. Eine solche Eigenschaft ist im kleinen Satz von Fermat formuliert:
Ist p eine Primzahl und ist a eine ganze Zahl, so gilt: ap und a haben beim Teilen durch p den gleichen Rest.
Falls a nicht durch p teilbar ist, dann gibt es noch eine andere Version:
ap−1 hat beim Teilen durch p genau den Rest 1.
Dies kann man zur Erkennung von Primzahlen ausnutzen:
Ist n eine natürliche Zahl, die man auf Primalität untersuchen möchte, so wählt man sich zufällig eine Zahl a, die echt zwischen 1 und n liegt und die teilerfremd zu n ist (falls das nicht möglich ist, dann ist n=2 und man kann den Test sofort beenden).
Nun haben wir also a und n und berechnen an−1. Falls beim Teilen durch n dann der Rest 1 herauskommt, dann ist das Testergebnis "n ist wahrscheinlich prim.".
Andernfalls ist das Testergebnis "n ist zusammengesetzt."
Das Ergebnis "zusammengesetzt" ist immer richtig, aber das Ergebnis "prim" ist manchmal falsch. Bei den sogenannten Pseudoprimzahlen erscheint für manche Werte von a die Ausgabe "prim", obwohl die Zahl in Wirklichkeit zusammengesetzt ist. Noch schlimmer: Bei den sogenannten Carmichael-Zahlen ist es sogar so, dass für jede mögliche Zahl a, die man sich für den Test wählen könnte (mit den Einschränkungen von oben), der Test das Ergebnis "prim" ausgibt, obwohl die Zahl in Wirklichkeit zusammengesetzt ist.
Solche "Unfälle" haben dazu geführt, dass man nach feineren Tests gesucht hat, die weniger Fehler machen. Ein Beispiel ist der Miller-Rabin-Test. Der erste Schritt ist dabei so ähnlich wie beim Fermat-Test, aber es gibt danach noch einen zweiten Schritt.
Auf der Seite http://www.visual.wegert.com von Elias Wegert findet man viele wunderbare Illustrationen, manche davon haben mit Primzahlen zu tun. Hier sind noch mehr Tipps zum Stoebern und Weiterlesen:
Literatur und weiterführende Informationen
Chris K. Caldwell: The List of Largest Known Primes Home Page
R. Waldecker, L. Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger, 2. Auflage. Springer, 2015. Auch in englisch erhältlich: Primality testing for beginners, Januar 2014 in der Serie Student Mathematical Library der AMS.
E. Wegert: Visual Complex Functions, Birkhäuser, 2012.
Agrawal, M., Kayal, N. und Saxena, K.: PRIMES is in P, Annals of Math. 160 (2004), No. 2, 781 - 793.
Hardy, G.H.: A mathematician's apology, Cambridge University Press, 1992.
Crandall, R. und Pomerance, C.: Prime Numbers: A computational perspective, Springer, 2005.
Dietzfelbinger, M.: Primality Testing in Polynomial Time: from randomized algorithms to PRIMES is in P, Springer, 2004.
Podcasts
S.Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/digitale-waehrungen
F. Januszewski: L-Funktionen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 55, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/l-funktionen
F. Schmidt: RSA-Faktorisierung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 70, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/rsa-faktorisierung
2 Stunden 8 Minuten
Auf der Gulasch Programmiernacht (GPN16) des Entropia e.V. in der Hochschule für Gestaltung und dem ZKM in Karlsruhe trafen sich Stephan Ajuvo und Sebastian Ritterbusch für einen Cross-Over Podcast vom damals TM Podcast und dem Modellansatz Podcast um über die Geschichte von Finanzen und Mathematik zu plaudern.
Der damalsTM Podcast befasst sich damit, wie es kam, dass es kam, so dass es ist, wie es ist- und hatte in der letzten Zeit schon eine Reihe zu Geld (Geld I, Geld II, Geld III), wo die Entwicklung der Zahlungsmittel bisher bis zum 2. Weltkrieg behandelt wurden.
Die Ökonomie zählt zu den Sozialwissenschaften, die oft Theorien auf Annahmen behandeln, während die Mathematik als Geisteswissenschaft sich gerne auch mal sehr exakt mit Theorien fernab der Realität befassen kann. Die Kryptographie ist jedoch ein schönes Beispiel, wie aus abstrakten mathematischen Theorien der Algebra und der Zahlentheorie plötzlich sehr reale Anwendungen aus unserem Alltag wurden. Mit Kryptoanalyse konnte man sowohl einfache Transpositionschiffren als auch die Enigma durch mathematische Verfahren knacken.
Bevor vereinheitlichte Geldeinheiten eingeführt wurden, waren schon früh Objekte mit Geldfunktion eingesetzt, wo oft die Seltenheit und Wertigkeit des Materials schon für sich einen gewissen Wert sicherte. Ebenso früh kam es zu Geldversprechen wie dem Agrarkredit (zurück bis hin zum Codex Hammurapi), mit denen jetzige Ausgaben durch versprochene spätere Erntegewinne beglichen werden konnten. Dies führte zum Konzept des Zinses, mit dem das Verlustrisiko durch Ausfall und die erst spätere Zugängigkeit des Geldes bewerten kann. Das Größenordnung des Zehnt war gesellschaftlich zwar als Steuer akzeptiert, wurde jedoch als Zins schnell als Wucher gesehen, da der Zinseszins sehr schnell anwuchs. Daraus entstand auch die Gegenbewegung des Zinsverbots, das auch heute noch im Islamischen Bankwesen zu Umgehungsgeschäften führt. Die mit Geldgeschäften oft assoziierten Geldwechsler hatten als Arbeitsmittel eine Bank, die namensgebend für unsere heutigen Banken ist, und woran das Wort bankrott auch heute noch erinnert.
Neben astronomischen Berechnungen, wie der Berechnung des Osterfests, war die Geldwirtschaft früh ein großes Anwendungsfeld für die Mathematik. Ein wichtiges Berechnungsmodell waren die Abzinsung und die Zinsformel, mit der man die Werte zwischen jetzt und in Zukunft unter Berücksichtigung des Zinses umrechnen konnte. Hier war das exponentielle Wachstum der Kreditentwicklung unter Zinseszinsen für viele nicht zu übersehen. Aber selbst, wenn man diese Berechnung beherrschte, so gab es das Zinsänderungsrisiko, das besonders bei langfristigen Verträgen zu erheblichen Änderungen zu den Kalkulationen führen konnte.
Verschiedene Zinssätze verschiedener Landesherren führte auch unmittelbar zu unterschiedlichen Wechselkursen zwischen den lokalen Währungen der Landesherren. Zusätzlich gab es schon früh den Effekt der Teuerung oder Inflation oft durch unkontrolliertes Geldmengenwachstum. Ein Beispiel ist hier die Inflation durch die Entdeckung Amerikas. Es war damals noch nicht klar, wie der tatsächliche Wert des Geldes auch durch einen Warenkorb identifiziert werden kann. Ein sehr grobes aber dafür sehr leicht zugängiges aktuelles Indiz für den Wert verschiedener Währungen ist der Big-Mac Index.
Aus der Anforderung des waren- und ortsübergreifenden Handels wurden die Börsen geboren: Hier konnten Waren und Währungen im Jetzt, aber auch in der Zukunft in Termingeschäften gehandelt werden. Schnell etablierte sich hier auch die Spekulation, die über Risikoübernahme zu einem wichtigen Bestandteil der Wirtschaft wurde. Ein bekanntes Beispiel für eine Fehlentwicklung ist die Tulpenkrise, bei der es zu einer Finanzblase bis hin zum Börsencrash kam, und exemplarisch für spätere Immobilienblasen wurde. Die Effekte konnten durch Hebeleffekte noch verstärkt werden, wenn Fremdkapital für mehr erwartete Rendite eingesetzt wurde.
Eine Renditebetrachtung ist auch für die persönliche Finanzplanung sehr wichtig- so sollte jeder die Altersvorsorge frühzeitig angehen und dabei Risikoklassen und die Diversifikation zur Risikoverteilung beachten. Aus der Erfahrung, dass viele Finanzprodukte und Anlageberater die zugrunde liegenden Indices oft nur in der Vergangenheit schlagen, haben sich Finanzcommunities wie The Motley Fool gebildet, um sich gegenseitig zu informieren.
Mathematisch kann man die Optimalität einer Investition auch als Multikriterielle Optimierung zwischen Rendite und Risiko im Sinne der Volatilität verstehen: Hier stellt sich heraus, dass hier zwischen den Kriterien abgewogen werden muss, und es nicht ein Optimum gibt, sondern die Linie der Pareto-Optimalität. Jedoch darf man nicht einfach aus der vergangenen Entwicklung auf Rendite und Risiko schließen: Gerade Ponzi-Systeme scheinen eine hohe Rendite bei geringer Volatilität und Risiko zu liefern, wo die Zinsen früherer Anleger nur durch die Investitionen durch angelockte Neuanleger bezahlt werden, und was natürlich nicht ewig funktionieren kann, und viele werden ihren Einsatz verlieren.
Plant man Investitionen in Güter, so sollte man daher genau recherchieren, wie es um den Gegenstand steht. Bei Immobilien gibt ist eine Begehung mit Fachpersonen möglich und ein Blick in Bodenrichtwertkarten ist sehr sinnvoll. Bei Aktien kann man hingegen auf Basis der veröffentlichten Informationen und Kennzahlen Fundamentalanalysen bilden. Alle diese Modelle sind aber immer Komplexitätsreduktionen, die irgendwann ihre Gegenbeispiel finden können und dann zu Geldverlust führen.
Neben der schwierigen Bewertung von Aktien wird es richtig spannend, wenn notwendigerweise auch Termingeschäfte oder Derivate der Aktien oder Wirtschaftsgüter berücksichtigt werden: Diese werden im Markt unmittelbar benötigt, sind jedoch vom Basiswert und der allgemeinen Marktsituation abhängig. Optionen können auf der einen Seite Geschäfte absichern, können jedoch auf der anderen Seite bei einem hohem Hebel auch sehr spekulativ und entsprechend gefährlich sein.
Für eine mathematische Bewertung von Optionen wird ein Markt mit Arbitragefreiheit vorausgesetzt, um andere künstliche Einflüsse auszuschließen. Dann können analytisch Optionskennzahlen (die Griechen) bestimmt werden, um aus dem komplexen Markt ein Gefühl für den Wert zu erhalten. Umgekehrt kann man aber auch konstruktiv eine Bewertung mit dem Cox-Ross-Rubinstein-Modell berechnen. Der Kursverlauf wird hier vereinfacht wie der Kugellauf durch ein Galtonbrett angenommen, wo eine Richtung für einen fallenden Kurs, die andere für einen steigenden Kurs steht. Dies führt im vereinfachten Fall zu einer Binomialverteilung oder im Grenzfall zu einer Normalverteilung der möglichen Kurse am Ende der Laufzeit. Damit kann die Option auf Basis von Volatilität und Rendite des Basiswerts mit einem diskreten Modell bewertet werden.
Das vereinfachte Cox-Ross-Rubinstein-Modell lässt sich unter weiteren Annahmen immer feiner diskretisieren und man erhielt 1973 das Black-Scholes-Modell, wo nun in dieser stochastischen Differentialgleichung der Brownsche Prozess Anwendung findet. Der Brownsche Prozess ist der beobachteten zufälligen brownschen Molekularbewegung entlehnt. Aus diesem komplexen Modell können nun einfache geschlossene Formen für die Bewertung von vielen Optionenstypen berechnet werden, was 1997 zur Verleihung des renommierten Preises der Wirtschaftswissenschaften geführt hatte.
Leider ergaben sich schnell Widersprüche in der Überprüfung des Modells am echten Markt: Es entsteht der Volatilitäts-Smile, der den Unterschied der Vorhersage zur tatsächlichen Situation darstellt. Interessanterweise trat der von Devisen bekannte Effekt bei Aktien erst nach dem Börsencrash von 1987 auf.
Podcasts
S. Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
W. Härdle: Risikobewertung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 41, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
S. Ajuvo, L. Schult: Geld I, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 2, 2015.
S. Ajuvo, Steffen P., L. Schult: Geld II, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 5, und im VorHundert Podcast, Folge 18, 2015.
S. Ajuvo, L. Schult: Geld III, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 21, 2016.
L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle-Gruppe. Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 76, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe
GPN16 Special
J. Breitner: Incredible Proof Machine, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/incredible-proof-machine
M. Fürst: Probabilistische Robotik, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 95, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/probabilistische-robotik
S. Ajuvo: Finanzen damalsTM, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 97, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/finanzen-damalstm
Der damalsTM Podcast befasst sich damit, wie es kam, dass es kam, so dass es ist, wie es ist- und hatte in der letzten Zeit schon eine Reihe zu Geld (Geld I, Geld II, Geld III), wo die Entwicklung der Zahlungsmittel bisher bis zum 2. Weltkrieg behandelt wurden.
Die Ökonomie zählt zu den Sozialwissenschaften, die oft Theorien auf Annahmen behandeln, während die Mathematik als Geisteswissenschaft sich gerne auch mal sehr exakt mit Theorien fernab der Realität befassen kann. Die Kryptographie ist jedoch ein schönes Beispiel, wie aus abstrakten mathematischen Theorien der Algebra und der Zahlentheorie plötzlich sehr reale Anwendungen aus unserem Alltag wurden. Mit Kryptoanalyse konnte man sowohl einfache Transpositionschiffren als auch die Enigma durch mathematische Verfahren knacken.
Bevor vereinheitlichte Geldeinheiten eingeführt wurden, waren schon früh Objekte mit Geldfunktion eingesetzt, wo oft die Seltenheit und Wertigkeit des Materials schon für sich einen gewissen Wert sicherte. Ebenso früh kam es zu Geldversprechen wie dem Agrarkredit (zurück bis hin zum Codex Hammurapi), mit denen jetzige Ausgaben durch versprochene spätere Erntegewinne beglichen werden konnten. Dies führte zum Konzept des Zinses, mit dem das Verlustrisiko durch Ausfall und die erst spätere Zugängigkeit des Geldes bewerten kann. Das Größenordnung des Zehnt war gesellschaftlich zwar als Steuer akzeptiert, wurde jedoch als Zins schnell als Wucher gesehen, da der Zinseszins sehr schnell anwuchs. Daraus entstand auch die Gegenbewegung des Zinsverbots, das auch heute noch im Islamischen Bankwesen zu Umgehungsgeschäften führt. Die mit Geldgeschäften oft assoziierten Geldwechsler hatten als Arbeitsmittel eine Bank, die namensgebend für unsere heutigen Banken ist, und woran das Wort bankrott auch heute noch erinnert.
Neben astronomischen Berechnungen, wie der Berechnung des Osterfests, war die Geldwirtschaft früh ein großes Anwendungsfeld für die Mathematik. Ein wichtiges Berechnungsmodell waren die Abzinsung und die Zinsformel, mit der man die Werte zwischen jetzt und in Zukunft unter Berücksichtigung des Zinses umrechnen konnte. Hier war das exponentielle Wachstum der Kreditentwicklung unter Zinseszinsen für viele nicht zu übersehen. Aber selbst, wenn man diese Berechnung beherrschte, so gab es das Zinsänderungsrisiko, das besonders bei langfristigen Verträgen zu erheblichen Änderungen zu den Kalkulationen führen konnte.
Verschiedene Zinssätze verschiedener Landesherren führte auch unmittelbar zu unterschiedlichen Wechselkursen zwischen den lokalen Währungen der Landesherren. Zusätzlich gab es schon früh den Effekt der Teuerung oder Inflation oft durch unkontrolliertes Geldmengenwachstum. Ein Beispiel ist hier die Inflation durch die Entdeckung Amerikas. Es war damals noch nicht klar, wie der tatsächliche Wert des Geldes auch durch einen Warenkorb identifiziert werden kann. Ein sehr grobes aber dafür sehr leicht zugängiges aktuelles Indiz für den Wert verschiedener Währungen ist der Big-Mac Index.
Aus der Anforderung des waren- und ortsübergreifenden Handels wurden die Börsen geboren: Hier konnten Waren und Währungen im Jetzt, aber auch in der Zukunft in Termingeschäften gehandelt werden. Schnell etablierte sich hier auch die Spekulation, die über Risikoübernahme zu einem wichtigen Bestandteil der Wirtschaft wurde. Ein bekanntes Beispiel für eine Fehlentwicklung ist die Tulpenkrise, bei der es zu einer Finanzblase bis hin zum Börsencrash kam, und exemplarisch für spätere Immobilienblasen wurde. Die Effekte konnten durch Hebeleffekte noch verstärkt werden, wenn Fremdkapital für mehr erwartete Rendite eingesetzt wurde.
Eine Renditebetrachtung ist auch für die persönliche Finanzplanung sehr wichtig- so sollte jeder die Altersvorsorge frühzeitig angehen und dabei Risikoklassen und die Diversifikation zur Risikoverteilung beachten. Aus der Erfahrung, dass viele Finanzprodukte und Anlageberater die zugrunde liegenden Indices oft nur in der Vergangenheit schlagen, haben sich Finanzcommunities wie The Motley Fool gebildet, um sich gegenseitig zu informieren.
Mathematisch kann man die Optimalität einer Investition auch als Multikriterielle Optimierung zwischen Rendite und Risiko im Sinne der Volatilität verstehen: Hier stellt sich heraus, dass hier zwischen den Kriterien abgewogen werden muss, und es nicht ein Optimum gibt, sondern die Linie der Pareto-Optimalität. Jedoch darf man nicht einfach aus der vergangenen Entwicklung auf Rendite und Risiko schließen: Gerade Ponzi-Systeme scheinen eine hohe Rendite bei geringer Volatilität und Risiko zu liefern, wo die Zinsen früherer Anleger nur durch die Investitionen durch angelockte Neuanleger bezahlt werden, und was natürlich nicht ewig funktionieren kann, und viele werden ihren Einsatz verlieren.
Plant man Investitionen in Güter, so sollte man daher genau recherchieren, wie es um den Gegenstand steht. Bei Immobilien gibt ist eine Begehung mit Fachpersonen möglich und ein Blick in Bodenrichtwertkarten ist sehr sinnvoll. Bei Aktien kann man hingegen auf Basis der veröffentlichten Informationen und Kennzahlen Fundamentalanalysen bilden. Alle diese Modelle sind aber immer Komplexitätsreduktionen, die irgendwann ihre Gegenbeispiel finden können und dann zu Geldverlust führen.
Neben der schwierigen Bewertung von Aktien wird es richtig spannend, wenn notwendigerweise auch Termingeschäfte oder Derivate der Aktien oder Wirtschaftsgüter berücksichtigt werden: Diese werden im Markt unmittelbar benötigt, sind jedoch vom Basiswert und der allgemeinen Marktsituation abhängig. Optionen können auf der einen Seite Geschäfte absichern, können jedoch auf der anderen Seite bei einem hohem Hebel auch sehr spekulativ und entsprechend gefährlich sein.
Für eine mathematische Bewertung von Optionen wird ein Markt mit Arbitragefreiheit vorausgesetzt, um andere künstliche Einflüsse auszuschließen. Dann können analytisch Optionskennzahlen (die Griechen) bestimmt werden, um aus dem komplexen Markt ein Gefühl für den Wert zu erhalten. Umgekehrt kann man aber auch konstruktiv eine Bewertung mit dem Cox-Ross-Rubinstein-Modell berechnen. Der Kursverlauf wird hier vereinfacht wie der Kugellauf durch ein Galtonbrett angenommen, wo eine Richtung für einen fallenden Kurs, die andere für einen steigenden Kurs steht. Dies führt im vereinfachten Fall zu einer Binomialverteilung oder im Grenzfall zu einer Normalverteilung der möglichen Kurse am Ende der Laufzeit. Damit kann die Option auf Basis von Volatilität und Rendite des Basiswerts mit einem diskreten Modell bewertet werden.
Das vereinfachte Cox-Ross-Rubinstein-Modell lässt sich unter weiteren Annahmen immer feiner diskretisieren und man erhielt 1973 das Black-Scholes-Modell, wo nun in dieser stochastischen Differentialgleichung der Brownsche Prozess Anwendung findet. Der Brownsche Prozess ist der beobachteten zufälligen brownschen Molekularbewegung entlehnt. Aus diesem komplexen Modell können nun einfache geschlossene Formen für die Bewertung von vielen Optionenstypen berechnet werden, was 1997 zur Verleihung des renommierten Preises der Wirtschaftswissenschaften geführt hatte.
Leider ergaben sich schnell Widersprüche in der Überprüfung des Modells am echten Markt: Es entsteht der Volatilitäts-Smile, der den Unterschied der Vorhersage zur tatsächlichen Situation darstellt. Interessanterweise trat der von Devisen bekannte Effekt bei Aktien erst nach dem Börsencrash von 1987 auf.
Podcasts
S. Ritterbusch: Digitale Währungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 32, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
W. Härdle: Risikobewertung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 41, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
S. Ajuvo, L. Schult: Geld I, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 2, 2015.
S. Ajuvo, Steffen P., L. Schult: Geld II, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 5, und im VorHundert Podcast, Folge 18, 2015.
S. Ajuvo, L. Schult: Geld III, Gespräch im damalsTM Podcast, Folge 21, 2016.
L. Mirlina, F. Dehnen: Qwirkle-Gruppe. Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 76, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/qwirkle-gruppe
GPN16 Special
J. Breitner: Incredible Proof Machine, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/incredible-proof-machine
M. Fürst: Probabilistische Robotik, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 95, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/probabilistische-robotik
S. Ajuvo: Finanzen damalsTM, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 97, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/finanzen-damalstm
33 Minuten
Stephan Hemri hat an der ETH in Zürich einen Bachelorstudiengang Umweltwissenschaften absolviert und sein Studium mit einem Master in Statistik abgerundet. Seine Masterarbeit entstand an der Eidgenössischen Forschungsanstalt für Wald, Schnee und Landschaft (WSL). Hierbei hat er auch statistisches Postprocessing kennengelernt. Mit diesem Wissen und dem vorhandenen Interesse übernahm er ein Promotionsthema von Tilmann Gneitling am Lehrstuhl für Computational Statstics an der KIT-Fakultät für Mathematik und am Heidelberger Institut für Theoretische Studien. Zu den Höhepunkten dieser Zeit zählt er die vier Monate, die er am Europäischen Wetterzentrum (Zentrum für Mittelfristprognose) in Reading mitforschen konnte.
Schon seit langem werden für die Wettervorhersage numerische Modelle eingesetzt. Dabei werden Größen wie zum Beispiel Temperatur und Niederschlag auf einem globalen 3-dimensionale Gitter durch das Lösen von großen gekoppelten und nichtlinearen Gleichungssystemen bestimmt, die aus physikalischen Modellen hergeleitet sind, nach denen sich Luftmassen und Wasser in der Atmosphäre in etwa bewegen und dabei unser Wetter erzeugen. Ebenso wichtig - wenn auch weniger bekannt - sind hydrologische Vorhersagen zu Pegelständen an Flüssen, die mit ähnlichen Methoden für einige Zeit im voraus berechnet werden. Zu Beginn waren die damit verbundenen Rechnungen rein deterministisch, was den großen Nachteil hatte, dass die Ergebnisse der Modellläufe nichts über Unsicherheiten der Vorhersage aussagen konnten.
Eine Idee, um Ungenauigkeiten der Modellrechnungen zu bestimmen, ist zu Ensemblevorhersagen überzugehen. Das heißt, man berechnet nicht nur eine Vorhersage, sondern mehrere Modelläufe, jeweils zu abgeänderten (gestörten) Anfangsbedingungen oder mit verschiedenen Modellen, um zu sehen, wie stark sie sich in den Ergebnissen unterscheiden. Sind sich die verschiedenen Rechnungen weitestgehend einig, ist die Vorhersage recht sicher zutreffend. Weichen sie stark voneinander ab, sind sie entsprechend wenig sicher. Die Datenlage in der Wettervorhersage ist sehr gut. Insofern, kann man natürlich im Nachgang immer abgleichen, inwiefern Vorhersagen eingetroffen sind und dies zur Verbesserung der Modelle benutzen. Aber trotzdem bleiben konkrete Aussagen wie z.B. Hochwasservorhersagen oder Vorhersagen zu Pegeln anhand von Niederschlags-Daten sehr schwierig, weil die Modelle nicht ausgereift sind und die Verbesserung nicht auf der Hand liegt.
Zum Beispiel am Europäischen Wetterzentrum in Reading ist derzeit ein Ensemble bestehend aus 51 Modellenvarianten verfügbar. Zusammen mit einem deterministischen Modell höherer Auflösung, führt dies zu einem recht großen Ensemble von Vorhersagen. In der statistischen Nachbearbeitung (dem Postprocessing) wird vor allem nach systematischen Fehlern Ausschau gehalten. Dabei werden bedingte Wahrscheinlichkeits-Vorhersagen auf das Ensemble bezogen und parametrische Dichtefunktionen erzeugt. Als Trainingsperiode werden dabei z.B. die letzten 30 Tage gewählt. Bei hydrologischen Abschätzungen sind jahreszeitliche Trainingsperioden (gleiche Jahreszeiten, aber andere Jahre) häufig sehr hilfreich. Dieses Vorgehen führt in der Regel zu einer besseren Schätzung des zukünftigen Wetters und Pegelständen.
Für die Temperatur kann man sich das Vorgehen am einfachsten vorstellen: Es gibt einen Ensemble-Mittelwert, dessen Fehler in etwa normalverteilt ist. Bei der Nachbearbeitung wird z.B. der Mittelwert-Parameter an den Mittelwert des Ensembles in linearer Weise angepasst. Auch die Varianz ist in erster Näherung eine lineare Funktion der Varianz des Ensembles. Das ist ein sehr einfaches Modell, aber schon hilfreich.
Zwei grundlegende Ideen gehen in der Parameterschätzung ein. Zum einen nichthomogene Regression, die gut verstanden aber nicht so flexibel ist - zum anderen Baysean Model averaging.
Über allen statistischen Verfahren und Verbesserungen bleibt jedoch auch die Forderung, dass die Nutzbarkeit der Ergebnisse für den Endnutzer gegeben sein muss. Deshalb wird - gerade bei Wasserstandsvorhersagen - manchmal dann doch nur ein zu erwartender Pegelstand übermittelt ohne alle im Prozess gewonnenen Erkenntnisse über mögliche Abweichungen von diesem approximativen Wert mitzuteilen.
Literatur und weiterführende Informationen
Cloke, H. L. and F. Pappenberger (2009). Ensemble flood forecasting: a review. Journal of Hydrology 375, 613--626.
Gneiting, T., A. E. Raftery, A. H. Westveld, and T. Goldman (2005). Calibrated probabilistic forecasting using ensemble model output statistics and minimum CRPS estimation. Monthly Weather Review 133, 1098--1118.
Raftery, A. E., T. Gneiting, F. Balabdoui, and M. Polakowski (2005). Using Bayesian model averaging to calibrate forecast ensembles, Monthly Weather Review 133, 1155--1174.
Thorarinsdottir, T. L. and T. Gneiting (2010). Probabilistic forecasts of wind speed: ensemble model output statistics by using heteroscedastic censored regression, Journal of the Royal Statistical Society (Series A) 173, 371--388.
Schon seit langem werden für die Wettervorhersage numerische Modelle eingesetzt. Dabei werden Größen wie zum Beispiel Temperatur und Niederschlag auf einem globalen 3-dimensionale Gitter durch das Lösen von großen gekoppelten und nichtlinearen Gleichungssystemen bestimmt, die aus physikalischen Modellen hergeleitet sind, nach denen sich Luftmassen und Wasser in der Atmosphäre in etwa bewegen und dabei unser Wetter erzeugen. Ebenso wichtig - wenn auch weniger bekannt - sind hydrologische Vorhersagen zu Pegelständen an Flüssen, die mit ähnlichen Methoden für einige Zeit im voraus berechnet werden. Zu Beginn waren die damit verbundenen Rechnungen rein deterministisch, was den großen Nachteil hatte, dass die Ergebnisse der Modellläufe nichts über Unsicherheiten der Vorhersage aussagen konnten.
Eine Idee, um Ungenauigkeiten der Modellrechnungen zu bestimmen, ist zu Ensemblevorhersagen überzugehen. Das heißt, man berechnet nicht nur eine Vorhersage, sondern mehrere Modelläufe, jeweils zu abgeänderten (gestörten) Anfangsbedingungen oder mit verschiedenen Modellen, um zu sehen, wie stark sie sich in den Ergebnissen unterscheiden. Sind sich die verschiedenen Rechnungen weitestgehend einig, ist die Vorhersage recht sicher zutreffend. Weichen sie stark voneinander ab, sind sie entsprechend wenig sicher. Die Datenlage in der Wettervorhersage ist sehr gut. Insofern, kann man natürlich im Nachgang immer abgleichen, inwiefern Vorhersagen eingetroffen sind und dies zur Verbesserung der Modelle benutzen. Aber trotzdem bleiben konkrete Aussagen wie z.B. Hochwasservorhersagen oder Vorhersagen zu Pegeln anhand von Niederschlags-Daten sehr schwierig, weil die Modelle nicht ausgereift sind und die Verbesserung nicht auf der Hand liegt.
Zum Beispiel am Europäischen Wetterzentrum in Reading ist derzeit ein Ensemble bestehend aus 51 Modellenvarianten verfügbar. Zusammen mit einem deterministischen Modell höherer Auflösung, führt dies zu einem recht großen Ensemble von Vorhersagen. In der statistischen Nachbearbeitung (dem Postprocessing) wird vor allem nach systematischen Fehlern Ausschau gehalten. Dabei werden bedingte Wahrscheinlichkeits-Vorhersagen auf das Ensemble bezogen und parametrische Dichtefunktionen erzeugt. Als Trainingsperiode werden dabei z.B. die letzten 30 Tage gewählt. Bei hydrologischen Abschätzungen sind jahreszeitliche Trainingsperioden (gleiche Jahreszeiten, aber andere Jahre) häufig sehr hilfreich. Dieses Vorgehen führt in der Regel zu einer besseren Schätzung des zukünftigen Wetters und Pegelständen.
Für die Temperatur kann man sich das Vorgehen am einfachsten vorstellen: Es gibt einen Ensemble-Mittelwert, dessen Fehler in etwa normalverteilt ist. Bei der Nachbearbeitung wird z.B. der Mittelwert-Parameter an den Mittelwert des Ensembles in linearer Weise angepasst. Auch die Varianz ist in erster Näherung eine lineare Funktion der Varianz des Ensembles. Das ist ein sehr einfaches Modell, aber schon hilfreich.
Zwei grundlegende Ideen gehen in der Parameterschätzung ein. Zum einen nichthomogene Regression, die gut verstanden aber nicht so flexibel ist - zum anderen Baysean Model averaging.
Über allen statistischen Verfahren und Verbesserungen bleibt jedoch auch die Forderung, dass die Nutzbarkeit der Ergebnisse für den Endnutzer gegeben sein muss. Deshalb wird - gerade bei Wasserstandsvorhersagen - manchmal dann doch nur ein zu erwartender Pegelstand übermittelt ohne alle im Prozess gewonnenen Erkenntnisse über mögliche Abweichungen von diesem approximativen Wert mitzuteilen.
Literatur und weiterführende Informationen
Cloke, H. L. and F. Pappenberger (2009). Ensemble flood forecasting: a review. Journal of Hydrology 375, 613--626.
Gneiting, T., A. E. Raftery, A. H. Westveld, and T. Goldman (2005). Calibrated probabilistic forecasting using ensemble model output statistics and minimum CRPS estimation. Monthly Weather Review 133, 1098--1118.
Raftery, A. E., T. Gneiting, F. Balabdoui, and M. Polakowski (2005). Using Bayesian model averaging to calibrate forecast ensembles, Monthly Weather Review 133, 1155--1174.
Thorarinsdottir, T. L. and T. Gneiting (2010). Probabilistic forecasts of wind speed: ensemble model output statistics by using heteroscedastic censored regression, Journal of the Royal Statistical Society (Series A) 173, 371--388.
1 Stunde 42 Minuten
Einen fahrbaren Roboter zu bauen- das ist schon eine echte Herausforderung. Um diesem aber auch noch beizubringen autonom Aufgaben zu lösen, bedienten sich Michael Fürst und sein Team der Mathematik: Im Rahmen der Gulasch Programmier-Nacht (GPN16) des Entropia e.V. in der Hochschule für Gestaltung (HfG) und dem Zentrum für Kunst und Medien (ZKM) in Karlsruhe berichtete er über die Verfahren der Probabilistischen Robotik (Video) und welche Erfahrungen sie damit machen konnten- und erzählt uns im Gespräch mit Sebastian Ritterbusch davon.
Michael Fürst studiert Informatik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und befasst sich im Team Informatik der Hochschulgruppe Kamaro Engineering speziell mit robusten probabilistischen Methoden zur Entscheidungsfindung.
Der aktuelle Roboter Beteigeuze der Hochschulgruppe ist die zweite Generation und wurde dafür ausgelegt, Aufgaben in der Überwachung und Bewirtschaftung von Maisfeldern oder der Navigation im urbanen Umfeld zu erfüllen. Die Hochschulgruppe gibt es seit 3 Jahren und besteht aus 30-45 Mitgliedern. Sie ist eingebettet in das Teilinstitut Mobile Arbeitsmaschinen (MOBIMA) am Institut für Fahrzeugsystemtechnik (FAST) am KIT mit dessen Unterstützung und Drittspenden sich die Hochschulgruppe finanziert.
Die interdisziplinäre Hochschulgruppe besteht aus vier Teams: Das Organisationsteam, das Mechanik-Team, das Elektrotechnik-Team und das Informatik-Team. Die Gruppe organisiert sich auch als Verein mit Vorstand und einer Leitung in jedem Team, um mit einer flachen Hierarchie jedem die Möglichkeit zu bieten sich in das Projekt einzubringen. Auf der einen Seite will die Gruppe die autonome Robotik voranzubringen und allen Teammitgliedern gleichzeitig auch die Möglichkeit zu bieten, praktisches Wissen und Erfahrungen neben dem oft theoretischem Studium zu erlangen. Das Team nimmt dazu regelmäßig an verschiedenen internationalen Wettbewerben teil, wie dem Field Robot Event, dem SICK Robot Day oder der Robotour.
Technisch basiert die Software-Lösung des Roboters inzwischen auf dem Robot Operating System (ROS), mit dem auf einer Ubuntu-Plattform auf einem im Roboter eingebauten Computer in Java, Python oder C++ die gestellten Aufgaben bearbeitet werden. Mit 40kg Gewicht ist der Roboter für seine Größe kein Leichtgewicht und kann daher nicht beliebig Batterien transportieren, so dass dem Lademanagement eine besondere Rolle zufällt. Die gewählte Größe ermöglicht gerade bei der Feldarbeit einen nicht-invasiven Ansatz, der im Vergleich zu anderen Varianten, wie der automatischen Steuerung von Traktoren, die Pflanzen nicht schädigt.
Der Roboter erfasst seine Umwelt mit einer Vielzahl von Sensoren: Die Lidar-Sensoren zur Entfernungsmessung in verschiedenen Richtungen sind dabei besonders wichtig, und sie messen bis zu 50mal pro Sekunde. Sie bestimmen die Entfernungen zur Umgebung des Roboters in einer Ebene bis 16m in einer Auflösung von bis zu drei Messpunkten pro Winkel-Grad und 3cm Entfernungsauflösung- mit gewissen Fehlerraten und Problemen mit reflektierenden Oberflächen. Zusätzlich misst eine intertiale Messeinheit translative und radiale Beschleunigungen wie auch die Ausrichtung zum Erdmagnetfeld. Zusätzlich können auch digitale Kameras zur Detektion von befahrbaren Untergründen, Objekten oder zur Analyse von Pflanzen eingebaut und verwendet werden. Zusätzlich messen Radencoder die Umdrehungen und Auslenkung durch Servos der Räder, womit der Roboter durch Odometrie seine durchgeführte Bewegung aus sich selbst heraus abschätzt. Durch die Kombination der Lidar-Daten mit der Odometrie durch ein SLAM-Verfahren (Simultaneous Localization and Mapping) ermöglicht mit einem Kalman-Filter durch Analyse der Kovarianzen die robuste Erstellung einer Karte während des Befahrens, und korrigiert Fehler bei der eigenen Lokalisierung durch die Odometrie. Zusätzlich kann der Roboter mit einem GPS-Empfänger seine Position grob bestimmen.
In der Auswertung der Sensoren wird zwar von einer guten Kalibrierung ausgegangen, jedoch ist es Teil des probabilistischen Ansatzes, die erfassten Werte immer mit einer konservativen Fehlerverteilung zu verarbeiten. Die Kamerabilder werden ebenso robust verarbeitet: Die Bilddaten werden nach einer Konvertierung in den HSV-Farbraum zunächst auf eine konstante Helligkeit gebracht, um Schatteneffekte zu reduzieren. Dann werden alle weniger farbigen Pixel als befahrbarer Weg markiert, und die Anzahl der befahrbaren Pixel pro Spalte in ein Histogramm zusammengeführt. Jeder Wert in dem Histogramm wird nun als Güte bzw. der Wahrscheinlichkeit für Fahrbahn in diese Richtung gewertet. Die GPS-Position wird zur Lokalisierung in der Open Street Map verwendet, wo nach Berechnung einer Route die aktuelle Zielfahrtrichtung bestimmt wird.
Die eigentliche Entscheidungsfindung erfolgt dann auf Basis der verschiedenen Sensordaten durch die Berechnung von Erwartungswerten in Abhängigkeit von einer möglichen Fahrtrichtung. Genauer betrachtet werden für jeden Sensor Zielfunktionen über den erwarteten Nutzen unter Annahme des Fahrens in eine bestimmte Richtung berechnet, und anschließend der von der Fahrtrichtung abhängige Erwartungswert unter Annahme von Sensorungenauigkeiten und Fahrungenauigkeiten bestimmt. Im Falle der gewünschten Fahrtrichtung aus den GPS- und Kartendaten wird eine sehr breite Normalverteilung angesetzt, weil auch abweichende Richtungen noch einen Gewinn darstellen können, wenn sie zumindest etwas in die richtige Richtung gehen.
Aus jedem Sensor ergibt sich pro Fahrtrichtung ein erwarteter Teilnutzen, und aus allen Teilnutzen wird der Gesamtnutzen als Produkt berechnet: Dadurch werden Teilnutzen von 0 sofort als Gesamtnutzen 0 gewertet, ansonsten aber geometrisches Mittel über die Teilnutzen gebildet. Die gewählte Fahrrichtung ergibt sich dann aus der Richtung, unter der sich das Gesamtmaximum des Gesamtnutzens ergibt.
Die Verarbeitung der Sensordaten erfolgt typischerweise in der Geschwindigkeit, in der die Sensoren die Umgebung abtasten. In der Bildverarbeitung wird dies besonders durch die effizienten Routinen der verwendeten OpenCV-Bibliothek möglich. So sind bis zu 30 Entscheidungen in der Sekunde möglich, jedoch können die Motoren die Entscheidungen nur deutlich langsamer umsetzen.
Es wurden auch weitere Verfahren zur Entscheidungsfindung getestet, wie die Verwendung von Clusteranalyse oder die Erstellung von Voronio-Diagrammen. Doch zeigte die robuste Entscheidungsfindung über Erwartungswerte bei der Navigation im urbanen Gebiet ihre Vorteile.
Die beschriebene Entscheidungsfindung bezieht sich dabei bisher nur auf die Fahrtrichtung- die Fahrtgeschwindigkeit wird bisher nur von der freien Wegstrecke in Fahrtrichtung bestimmt. Dadurch verfolgt der Roboter im Normalfalle seine Ziele in Normgeschwindigkeit von 0.5-1m/s (er läuft und läuft und läuft), bremst aber, sobald er in die Gefahr gerät, sonst einen Menschen oder sich selbst zu beschädigen. Dadurch folgt der Roboter den Robotergesetzen von Asimov.
Die Kommunikation im Roboter erfolgt über verschiedene Netze- der Lidar-Sensor wird beispielsweise über Ethernet angesprochen, die Entscheidungsfindung spricht mit den Hauptroutinen in der Recheneinheit über eine TCP-Verbindung, die Kommunikation von der Recheneinheit zum Masterboard erfolgt über USB als serielle Schnittstelle (UART), und das Masterboard gibt seine Steuerbefehle über einen CAN-Bus an Motoren und Servos weiter.
Der Wettbewerb der Robotour 2015 fand in Tschechien in der Innenstadt von Pisek statt. Nach einer Qualifikation vor Ort gab es nach einer Testrunde eine erste Wettkampfrunde, in der die Roboter eine Lieferung von einem Parkplatz durch die gesamte Innenstadt über festgelegte Wegpunkte letztlich zu einem Restaurant bringen sollen. Obwohl der Testlauf noch erfolgreich war, litt der Roboter Beteigeuze der Gruppe in den ersten zwei Segmenten unter Abstürzen und lag damit auf dem letzten Platz. Nachdem der Fehler gefunden war, erreichte der Roboter im dritten Lauf als einziger das Segmentziel; und blieb im vierten Lauf zwar am Hintereingang des Restaurants hängen, war aber auch da gegenüber allen anderen Kandidaten bei weitem am nächsten am Ziel, und gewann so den Wettbewerb.
Für einen Einstieg in die Robotik bieten sich Systeme wie Lego Mindstorms oder andere Roboterbaukästen an, aber auch Programmierspiele, wie sie Michael auch auf der GPN angeboten hat: https://github.com/Programmierspiele.
Literatur und weiterführende Informationen
M. Fürst: Probabilistische Robotik- Interessen eines Roboters als Nutzen formulieren und verarbeiten, Vortrag auf der Gulasch Programmier-Nacht GPN16, 2016.
M. Fürst: Detecting Drivable Regions in Monocular Images, Robotour 2015, Autonomous Robot in Parks and Urban Regions, 2015.
EKF-SLAM erklärt: Wie sieht ein Roboter die Welt?
Robotour 2015 Vorgehensweise bei Kamaro
GPN16 Special
J. Breitner: Incredible Proof Machine, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/incredible-proof-machine
Michael Fürst studiert Informatik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und befasst sich im Team Informatik der Hochschulgruppe Kamaro Engineering speziell mit robusten probabilistischen Methoden zur Entscheidungsfindung.
Der aktuelle Roboter Beteigeuze der Hochschulgruppe ist die zweite Generation und wurde dafür ausgelegt, Aufgaben in der Überwachung und Bewirtschaftung von Maisfeldern oder der Navigation im urbanen Umfeld zu erfüllen. Die Hochschulgruppe gibt es seit 3 Jahren und besteht aus 30-45 Mitgliedern. Sie ist eingebettet in das Teilinstitut Mobile Arbeitsmaschinen (MOBIMA) am Institut für Fahrzeugsystemtechnik (FAST) am KIT mit dessen Unterstützung und Drittspenden sich die Hochschulgruppe finanziert.
Die interdisziplinäre Hochschulgruppe besteht aus vier Teams: Das Organisationsteam, das Mechanik-Team, das Elektrotechnik-Team und das Informatik-Team. Die Gruppe organisiert sich auch als Verein mit Vorstand und einer Leitung in jedem Team, um mit einer flachen Hierarchie jedem die Möglichkeit zu bieten sich in das Projekt einzubringen. Auf der einen Seite will die Gruppe die autonome Robotik voranzubringen und allen Teammitgliedern gleichzeitig auch die Möglichkeit zu bieten, praktisches Wissen und Erfahrungen neben dem oft theoretischem Studium zu erlangen. Das Team nimmt dazu regelmäßig an verschiedenen internationalen Wettbewerben teil, wie dem Field Robot Event, dem SICK Robot Day oder der Robotour.
Technisch basiert die Software-Lösung des Roboters inzwischen auf dem Robot Operating System (ROS), mit dem auf einer Ubuntu-Plattform auf einem im Roboter eingebauten Computer in Java, Python oder C++ die gestellten Aufgaben bearbeitet werden. Mit 40kg Gewicht ist der Roboter für seine Größe kein Leichtgewicht und kann daher nicht beliebig Batterien transportieren, so dass dem Lademanagement eine besondere Rolle zufällt. Die gewählte Größe ermöglicht gerade bei der Feldarbeit einen nicht-invasiven Ansatz, der im Vergleich zu anderen Varianten, wie der automatischen Steuerung von Traktoren, die Pflanzen nicht schädigt.
Der Roboter erfasst seine Umwelt mit einer Vielzahl von Sensoren: Die Lidar-Sensoren zur Entfernungsmessung in verschiedenen Richtungen sind dabei besonders wichtig, und sie messen bis zu 50mal pro Sekunde. Sie bestimmen die Entfernungen zur Umgebung des Roboters in einer Ebene bis 16m in einer Auflösung von bis zu drei Messpunkten pro Winkel-Grad und 3cm Entfernungsauflösung- mit gewissen Fehlerraten und Problemen mit reflektierenden Oberflächen. Zusätzlich misst eine intertiale Messeinheit translative und radiale Beschleunigungen wie auch die Ausrichtung zum Erdmagnetfeld. Zusätzlich können auch digitale Kameras zur Detektion von befahrbaren Untergründen, Objekten oder zur Analyse von Pflanzen eingebaut und verwendet werden. Zusätzlich messen Radencoder die Umdrehungen und Auslenkung durch Servos der Räder, womit der Roboter durch Odometrie seine durchgeführte Bewegung aus sich selbst heraus abschätzt. Durch die Kombination der Lidar-Daten mit der Odometrie durch ein SLAM-Verfahren (Simultaneous Localization and Mapping) ermöglicht mit einem Kalman-Filter durch Analyse der Kovarianzen die robuste Erstellung einer Karte während des Befahrens, und korrigiert Fehler bei der eigenen Lokalisierung durch die Odometrie. Zusätzlich kann der Roboter mit einem GPS-Empfänger seine Position grob bestimmen.
In der Auswertung der Sensoren wird zwar von einer guten Kalibrierung ausgegangen, jedoch ist es Teil des probabilistischen Ansatzes, die erfassten Werte immer mit einer konservativen Fehlerverteilung zu verarbeiten. Die Kamerabilder werden ebenso robust verarbeitet: Die Bilddaten werden nach einer Konvertierung in den HSV-Farbraum zunächst auf eine konstante Helligkeit gebracht, um Schatteneffekte zu reduzieren. Dann werden alle weniger farbigen Pixel als befahrbarer Weg markiert, und die Anzahl der befahrbaren Pixel pro Spalte in ein Histogramm zusammengeführt. Jeder Wert in dem Histogramm wird nun als Güte bzw. der Wahrscheinlichkeit für Fahrbahn in diese Richtung gewertet. Die GPS-Position wird zur Lokalisierung in der Open Street Map verwendet, wo nach Berechnung einer Route die aktuelle Zielfahrtrichtung bestimmt wird.
Die eigentliche Entscheidungsfindung erfolgt dann auf Basis der verschiedenen Sensordaten durch die Berechnung von Erwartungswerten in Abhängigkeit von einer möglichen Fahrtrichtung. Genauer betrachtet werden für jeden Sensor Zielfunktionen über den erwarteten Nutzen unter Annahme des Fahrens in eine bestimmte Richtung berechnet, und anschließend der von der Fahrtrichtung abhängige Erwartungswert unter Annahme von Sensorungenauigkeiten und Fahrungenauigkeiten bestimmt. Im Falle der gewünschten Fahrtrichtung aus den GPS- und Kartendaten wird eine sehr breite Normalverteilung angesetzt, weil auch abweichende Richtungen noch einen Gewinn darstellen können, wenn sie zumindest etwas in die richtige Richtung gehen.
Aus jedem Sensor ergibt sich pro Fahrtrichtung ein erwarteter Teilnutzen, und aus allen Teilnutzen wird der Gesamtnutzen als Produkt berechnet: Dadurch werden Teilnutzen von 0 sofort als Gesamtnutzen 0 gewertet, ansonsten aber geometrisches Mittel über die Teilnutzen gebildet. Die gewählte Fahrrichtung ergibt sich dann aus der Richtung, unter der sich das Gesamtmaximum des Gesamtnutzens ergibt.
Die Verarbeitung der Sensordaten erfolgt typischerweise in der Geschwindigkeit, in der die Sensoren die Umgebung abtasten. In der Bildverarbeitung wird dies besonders durch die effizienten Routinen der verwendeten OpenCV-Bibliothek möglich. So sind bis zu 30 Entscheidungen in der Sekunde möglich, jedoch können die Motoren die Entscheidungen nur deutlich langsamer umsetzen.
Es wurden auch weitere Verfahren zur Entscheidungsfindung getestet, wie die Verwendung von Clusteranalyse oder die Erstellung von Voronio-Diagrammen. Doch zeigte die robuste Entscheidungsfindung über Erwartungswerte bei der Navigation im urbanen Gebiet ihre Vorteile.
Die beschriebene Entscheidungsfindung bezieht sich dabei bisher nur auf die Fahrtrichtung- die Fahrtgeschwindigkeit wird bisher nur von der freien Wegstrecke in Fahrtrichtung bestimmt. Dadurch verfolgt der Roboter im Normalfalle seine Ziele in Normgeschwindigkeit von 0.5-1m/s (er läuft und läuft und läuft), bremst aber, sobald er in die Gefahr gerät, sonst einen Menschen oder sich selbst zu beschädigen. Dadurch folgt der Roboter den Robotergesetzen von Asimov.
Die Kommunikation im Roboter erfolgt über verschiedene Netze- der Lidar-Sensor wird beispielsweise über Ethernet angesprochen, die Entscheidungsfindung spricht mit den Hauptroutinen in der Recheneinheit über eine TCP-Verbindung, die Kommunikation von der Recheneinheit zum Masterboard erfolgt über USB als serielle Schnittstelle (UART), und das Masterboard gibt seine Steuerbefehle über einen CAN-Bus an Motoren und Servos weiter.
Der Wettbewerb der Robotour 2015 fand in Tschechien in der Innenstadt von Pisek statt. Nach einer Qualifikation vor Ort gab es nach einer Testrunde eine erste Wettkampfrunde, in der die Roboter eine Lieferung von einem Parkplatz durch die gesamte Innenstadt über festgelegte Wegpunkte letztlich zu einem Restaurant bringen sollen. Obwohl der Testlauf noch erfolgreich war, litt der Roboter Beteigeuze der Gruppe in den ersten zwei Segmenten unter Abstürzen und lag damit auf dem letzten Platz. Nachdem der Fehler gefunden war, erreichte der Roboter im dritten Lauf als einziger das Segmentziel; und blieb im vierten Lauf zwar am Hintereingang des Restaurants hängen, war aber auch da gegenüber allen anderen Kandidaten bei weitem am nächsten am Ziel, und gewann so den Wettbewerb.
Für einen Einstieg in die Robotik bieten sich Systeme wie Lego Mindstorms oder andere Roboterbaukästen an, aber auch Programmierspiele, wie sie Michael auch auf der GPN angeboten hat: https://github.com/Programmierspiele.
Literatur und weiterführende Informationen
M. Fürst: Probabilistische Robotik- Interessen eines Roboters als Nutzen formulieren und verarbeiten, Vortrag auf der Gulasch Programmier-Nacht GPN16, 2016.
M. Fürst: Detecting Drivable Regions in Monocular Images, Robotour 2015, Autonomous Robot in Parks and Urban Regions, 2015.
EKF-SLAM erklärt: Wie sieht ein Roboter die Welt?
Robotour 2015 Vorgehensweise bei Kamaro
GPN16 Special
J. Breitner: Incredible Proof Machine, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 78, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/incredible-proof-machine
28 Minuten
Nicolas Monod teaches at the École polytechnique fédérale in Lausanne and leads the Ergodic and Geometric Group Theory group there. In May 2016 he was invited to give the Gauß lecture of the German Mathematical Society (DMV) at the Technical University in Dresden. He presented 100 Jahre Zweisamkeit – The Banach-Tarski Paradox. The morning after his lecture we met to talk about paradoxes and hidden assumptions our mind makes in struggling with geometrical representations and measures.
A very well-known game is Tangram. Here a square is divided into seven pieces (which all are polygons). These pieces can be rearranged by moving them around on the table, e.g.. The task for the player is to form given shapes using the seven pieces – like a cat etc.. Of course the Tangram cat looks more like a flat Origami-cat. But we could take the Tangram idea and use thousands or millions of little pieces to build a much more realistic cat with them – as with pixels on a screen. In three dimensions one can play a similar game with pieces of a cube. This could lead to a LEGO-like three-dimensional cat for example. In this traditional Tangram game, there is no fundamental difference between the versions in dimension two and three.
But in 1914 it was shown that given a three-dimensional ball, there exists a decomposition of this ball into a finite number of subsets, which can then be rearranged to yield two identical copies of the original ball. This sounds like a magical trick – or more scientifically said – like a paradoxical situation. It is now known under the name Banach-Tarski paradox. In his lecture, Nicolas Monod dealt with the question: Why are we so surprised about this result and think of it as paradoxical?
One reason is the fact that we think to know deeply what we understand as volume and expect it to be preserved under rearrangements (like in the Tangram game, e.g.).Then the impact of the Banach-Tarski paradox is similar for our understanding of volume to the shift in understanding the relation between time and space through Einstein's relativity theory (which is from about the same time). In short the answer is: In our every day concept of volume we trust in too many good properties of it.
It was Felix Hausdorff who looked at the axioms which should be valid for any measure (such as volume). It should be independent of the point in space where we measure (or the coordinate system) and if we divide objects, it should add up properly. In our understanding there is a third hidden property: The concept "volume" must make sense for every subset of space we choose to measure. Unfortunately, it is a big problem to assign a volume to any given object and Hausdorff showed that all three properties cannot all be true at the same time in three space dimensions. Couriously, they can be satisfied in two dimensions but not in three.
Of course, we would like to understand why there is such a big difference between two and three space dimensions, that the naive concept of volume breaks down by going over to the third dimension. To see that let us consider motions. Any motion can be decomposed into translations (i.e. gliding) and rotations around an arbitrarily chosen common center. In two dimensions the order in which one performs several rotations around the same center does not matter since one can freely interchange all rotations and obtains the same result. In three dimensions this is not possible – in general the outcomes after interchanging the order of several rotations will be different. This break of the symmetry ruins the good properties of the naive concept of volume.
Serious consequences of the Banach-Tarski paradox are not that obvious. Noone really duplicated a ball in real life. But measure theory is the basis of the whole probability theory and its countless applications. There, we have to understand several counter-intuitive concepts to have the right understanding of probabilities and risk. More anecdotally, an idea of Bruno Augenstein is that in particle physics certain transformations are reminiscent of the Banach-Tarski phenomenon.
Nicolas Monod really enjoys the beauty and the liberty of mathematics. One does not have to believe anything without a proof. In his opinion, mathematics is the language of natural sciences and he considers himself as a linguist of this language. This means in particular to have a closer look at our thought processes in order to investigate both the richness and the limitations of our models of the universe.
References:
F. Hausdorff: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Math. Ann. 75 (3), 428–433, 1914.
S. Banach and A.Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicae 6, 244–277, 1924.
J. von Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Maßes Fundamenta Mathematicae 13, 73–116, 1929.
S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox. Cambridge University Press, 1994.
B.W. Augenstein: Links Between Physics and Set Theory, Chaos, Solitons and Fractals, 7 (11), 1761–1798, 1996.
N. Monod: Groups of piecewise projective homeomorphisms, PNAS 110 (12), 4524-4527, 2013.
Vsauce-Video on the Banach-Tarksi Paradox
A very well-known game is Tangram. Here a square is divided into seven pieces (which all are polygons). These pieces can be rearranged by moving them around on the table, e.g.. The task for the player is to form given shapes using the seven pieces – like a cat etc.. Of course the Tangram cat looks more like a flat Origami-cat. But we could take the Tangram idea and use thousands or millions of little pieces to build a much more realistic cat with them – as with pixels on a screen. In three dimensions one can play a similar game with pieces of a cube. This could lead to a LEGO-like three-dimensional cat for example. In this traditional Tangram game, there is no fundamental difference between the versions in dimension two and three.
But in 1914 it was shown that given a three-dimensional ball, there exists a decomposition of this ball into a finite number of subsets, which can then be rearranged to yield two identical copies of the original ball. This sounds like a magical trick – or more scientifically said – like a paradoxical situation. It is now known under the name Banach-Tarski paradox. In his lecture, Nicolas Monod dealt with the question: Why are we so surprised about this result and think of it as paradoxical?
One reason is the fact that we think to know deeply what we understand as volume and expect it to be preserved under rearrangements (like in the Tangram game, e.g.).Then the impact of the Banach-Tarski paradox is similar for our understanding of volume to the shift in understanding the relation between time and space through Einstein's relativity theory (which is from about the same time). In short the answer is: In our every day concept of volume we trust in too many good properties of it.
It was Felix Hausdorff who looked at the axioms which should be valid for any measure (such as volume). It should be independent of the point in space where we measure (or the coordinate system) and if we divide objects, it should add up properly. In our understanding there is a third hidden property: The concept "volume" must make sense for every subset of space we choose to measure. Unfortunately, it is a big problem to assign a volume to any given object and Hausdorff showed that all three properties cannot all be true at the same time in three space dimensions. Couriously, they can be satisfied in two dimensions but not in three.
Of course, we would like to understand why there is such a big difference between two and three space dimensions, that the naive concept of volume breaks down by going over to the third dimension. To see that let us consider motions. Any motion can be decomposed into translations (i.e. gliding) and rotations around an arbitrarily chosen common center. In two dimensions the order in which one performs several rotations around the same center does not matter since one can freely interchange all rotations and obtains the same result. In three dimensions this is not possible – in general the outcomes after interchanging the order of several rotations will be different. This break of the symmetry ruins the good properties of the naive concept of volume.
Serious consequences of the Banach-Tarski paradox are not that obvious. Noone really duplicated a ball in real life. But measure theory is the basis of the whole probability theory and its countless applications. There, we have to understand several counter-intuitive concepts to have the right understanding of probabilities and risk. More anecdotally, an idea of Bruno Augenstein is that in particle physics certain transformations are reminiscent of the Banach-Tarski phenomenon.
Nicolas Monod really enjoys the beauty and the liberty of mathematics. One does not have to believe anything without a proof. In his opinion, mathematics is the language of natural sciences and he considers himself as a linguist of this language. This means in particular to have a closer look at our thought processes in order to investigate both the richness and the limitations of our models of the universe.
References:
F. Hausdorff: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Math. Ann. 75 (3), 428–433, 1914.
S. Banach and A.Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicae 6, 244–277, 1924.
J. von Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Maßes Fundamenta Mathematicae 13, 73–116, 1929.
S. Wagon: The Banach–Tarski Paradox. Cambridge University Press, 1994.
B.W. Augenstein: Links Between Physics and Set Theory, Chaos, Solitons and Fractals, 7 (11), 1761–1798, 1996.
N. Monod: Groups of piecewise projective homeomorphisms, PNAS 110 (12), 4524-4527, 2013.
Vsauce-Video on the Banach-Tarksi Paradox
17 Minuten
Peter Vortisch bekleidet seit 2010 eine Professur für Verkehrswesen am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und ist Leiter des Instituts für Verkehrswesen.
Wir haben über die Entwicklung der Modellierung von Verkehr gesprochen und dabei den Schwerpunkt zunächst auf die Anfangszeit gelegt, in der sich die in der Forschung geborene Idee Schritt für Schritt in ein Softwareprodukt entwickelte und wo und warum sich die Idee und das Produkt durchsetzen konnten.
Peter Vortisch hat in Karlsruhe eigentlich Informatik studiert und kam zum Verkehrswesen zunächst als wissenschaftliche Hilfskraft. Er hat dann bald mit an den ersten Simulationen programmiert. Solche Simulationen wurden damals auf Großrechnern durchgeführt, von denen es nur wenige gab. Die Forschungen und theoretischen wie praktischen Überlegungen wurden im wesentlichen von Professor Wiedemann vorangetrieben. Seine Karlsruher Gruppe war die erste, die das in Deutschland erfolgreich erprobte und schließlich als Standard eingeführt hat. Es gab damals Forschungsprojekte z.B. zur Wirkung von Tempolimits im Auftrag des Verkehrsministeriums.
In der Zwischenzeit entwickelte sich die Rechentechnik weiter und mit dem Siegeszug des PCs wanderte die Simulation vom Rechenzentrum auf die Schreibtische. Damals war es möglich, auf so einem Rechner ein Modell mit etwa 20 Fahrzeugen in Echtzeit zu simulieren - heut sind die Rechner so viel schneller, dass mehrere 100.000 Fahrzeuge möglich sind. Aber auch mit so wenigen Fahrzeugen war es ein wichtiger Schritt hin zur Kommerzialisierung der Verkehrsmodelle. In den USA gab es damals z.B. ein öffentlich subventioniertes Produkt für Verkehrsplaner, was einen durchschlagenden Erfolg hatte und die Simulation in allen Büros etablierte.
In Karlsruhe entwickelte sich ein Spin off aus dem Institut, die Firma ptv entwickelte das Produkt und die Vermarktung der Verkehrssimultion zunächst in Deutschland. Seither besteht eine enge Zusammenarbeit mit dem Institut für Verkehrswesen. Im Zuge dieser Professionalisierung wurde die Verwendung des Produktes durch Verkehrsingenieure der neue Standard.
Es gab zwei große deutsche Unternehmen, die die Entwicklung der Software stark beschleunigt haben. Zunächst die Firma SIEMENS weil sie die Wirkung von Ampelsteuerungen besser vorhersehen wollte. U.a. auch im Zusammenhang mit der Grün-Anforderung durch den ÖPNV. Vor dem Aufbau auf einer echter Kreuzung sollte die Simulation auf dem Rechner beweisen, dass auch der gewünschte Effekt durch die Ampelsteuerung erreicht werden würde. Das wurde schließlich sogar Teil der SIEMENS Software Verkehrsplanung.
Verkehrsplaner in den Städten haben in dieser Zeit weitergehende Ideen noch nicht so gut angenommen.
Dafür war dann die Firma Volkswagen ein Vorreiter. Sie hat sich eigentlich für Abgasemissionen interessiert, wofür man Temperaturverläufe der Motoren braucht. Es wurde daraus die Aufgabe abgeleitet, für eine ganze Stadt den Verkehr über den Tag hinweg zu simulieren (inkl. parken). Sie haben sich in großem Umfang finanziell an den Entwicklungsarbeiten beteiligt. Prototyp wurde die Stadt Braunschweig. Ohne die heute selbstverständlich vorliegenden Daten zu Straßen und Kreuzungen war das ein sehr aufwändiges Vorhaben. Außerdem brauchte man neue Verfahren, die entscheiden, welche Wege die Fahrzeuge in der Stadt zurücklegend. Ein wichtiges neues Verfahren hierfür wurde die Dynamische Umlegung.
Diese neue Fähigkeit des Programms hat zu einer deutlich weiteren Verbreitung geführt, denn es war nun ein wirklich professionelles Softwareprodukt auf dem Markt in Deutschland vorhanden.
Der Funktionsumfang des ptv-Produktes war schließlich größer als das des USA-Standards. Da dort Verkehrssimulation aber schon Usus war, war es einfach mit dem noch besseren Produkt in den US-Markt einzusteigen. Ein weiterer wichtiger Markt war auch Großbritannien, da dort traditionell bei Planungen viel modelliert wird ("Mutterland der Modellierung"). Dort war der Einstieg geschafft, als sich Transport for London entschied, mit dem ptv-Produkt zu arbeiten.
Podcasts und Videos
PTV Youtube-Kanal
U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
K.Nökel: ÖPNV, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 91, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/oepnv
Wir haben über die Entwicklung der Modellierung von Verkehr gesprochen und dabei den Schwerpunkt zunächst auf die Anfangszeit gelegt, in der sich die in der Forschung geborene Idee Schritt für Schritt in ein Softwareprodukt entwickelte und wo und warum sich die Idee und das Produkt durchsetzen konnten.
Peter Vortisch hat in Karlsruhe eigentlich Informatik studiert und kam zum Verkehrswesen zunächst als wissenschaftliche Hilfskraft. Er hat dann bald mit an den ersten Simulationen programmiert. Solche Simulationen wurden damals auf Großrechnern durchgeführt, von denen es nur wenige gab. Die Forschungen und theoretischen wie praktischen Überlegungen wurden im wesentlichen von Professor Wiedemann vorangetrieben. Seine Karlsruher Gruppe war die erste, die das in Deutschland erfolgreich erprobte und schließlich als Standard eingeführt hat. Es gab damals Forschungsprojekte z.B. zur Wirkung von Tempolimits im Auftrag des Verkehrsministeriums.
In der Zwischenzeit entwickelte sich die Rechentechnik weiter und mit dem Siegeszug des PCs wanderte die Simulation vom Rechenzentrum auf die Schreibtische. Damals war es möglich, auf so einem Rechner ein Modell mit etwa 20 Fahrzeugen in Echtzeit zu simulieren - heut sind die Rechner so viel schneller, dass mehrere 100.000 Fahrzeuge möglich sind. Aber auch mit so wenigen Fahrzeugen war es ein wichtiger Schritt hin zur Kommerzialisierung der Verkehrsmodelle. In den USA gab es damals z.B. ein öffentlich subventioniertes Produkt für Verkehrsplaner, was einen durchschlagenden Erfolg hatte und die Simulation in allen Büros etablierte.
In Karlsruhe entwickelte sich ein Spin off aus dem Institut, die Firma ptv entwickelte das Produkt und die Vermarktung der Verkehrssimultion zunächst in Deutschland. Seither besteht eine enge Zusammenarbeit mit dem Institut für Verkehrswesen. Im Zuge dieser Professionalisierung wurde die Verwendung des Produktes durch Verkehrsingenieure der neue Standard.
Es gab zwei große deutsche Unternehmen, die die Entwicklung der Software stark beschleunigt haben. Zunächst die Firma SIEMENS weil sie die Wirkung von Ampelsteuerungen besser vorhersehen wollte. U.a. auch im Zusammenhang mit der Grün-Anforderung durch den ÖPNV. Vor dem Aufbau auf einer echter Kreuzung sollte die Simulation auf dem Rechner beweisen, dass auch der gewünschte Effekt durch die Ampelsteuerung erreicht werden würde. Das wurde schließlich sogar Teil der SIEMENS Software Verkehrsplanung.
Verkehrsplaner in den Städten haben in dieser Zeit weitergehende Ideen noch nicht so gut angenommen.
Dafür war dann die Firma Volkswagen ein Vorreiter. Sie hat sich eigentlich für Abgasemissionen interessiert, wofür man Temperaturverläufe der Motoren braucht. Es wurde daraus die Aufgabe abgeleitet, für eine ganze Stadt den Verkehr über den Tag hinweg zu simulieren (inkl. parken). Sie haben sich in großem Umfang finanziell an den Entwicklungsarbeiten beteiligt. Prototyp wurde die Stadt Braunschweig. Ohne die heute selbstverständlich vorliegenden Daten zu Straßen und Kreuzungen war das ein sehr aufwändiges Vorhaben. Außerdem brauchte man neue Verfahren, die entscheiden, welche Wege die Fahrzeuge in der Stadt zurücklegend. Ein wichtiges neues Verfahren hierfür wurde die Dynamische Umlegung.
Diese neue Fähigkeit des Programms hat zu einer deutlich weiteren Verbreitung geführt, denn es war nun ein wirklich professionelles Softwareprodukt auf dem Markt in Deutschland vorhanden.
Der Funktionsumfang des ptv-Produktes war schließlich größer als das des USA-Standards. Da dort Verkehrssimulation aber schon Usus war, war es einfach mit dem noch besseren Produkt in den US-Markt einzusteigen. Ein weiterer wichtiger Markt war auch Großbritannien, da dort traditionell bei Planungen viel modelliert wird ("Mutterland der Modellierung"). Dort war der Einstieg geschafft, als sich Transport for London entschied, mit dem ptv-Produkt zu arbeiten.
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U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
K.Nökel: ÖPNV, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 91, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/oepnv
