Modellansatz Archiv
256 Episoden
21 Minuten
This is the second of four conversations Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford.
Helen Wilson always wanted to do maths and had imagined herself becoming a mathematician from a very young age. But after graduation she did not have any road map ready in her mind. So she applied for jobs which - due to a recession - did not exist. Today she considers herself lucky for that since she took a Master's course instead (at Cambridge University), which hooked her to mathematical research in the field of viscoelastic fluids. She stayed for a PhD and after that for postdoctoral work in the States and then did lecturing at Leeds University. Today she is a Reader in the Department of Mathematics at University College London.
So what are viscoelastic fluids? If we consider everyday fluids like water or honey, it is a safe assumption that their viscosity does not change much - it is a material constant. Those fluids are called Newtonian fluids. All other fluids, i.e. fluids with non-constant viscosity or even more complex behaviours, are called non-Newtonian and viscoelastic fluids are a large group among them.
Already the name suggests, that viscoelastic fluids combine viscous and elastic behaviour. Elastic effects in fluids often stem from clusters of particles or long polymers in the fluid, which align with the flow. It takes them a while to come back when the flow pattern changes. We can consider that as keeping a memory of what happened before. This behaviour can be observed, e.g., when stirring tinned tomato soup and then waiting for it to go to rest again. Shortly before it finally enters the rest state one sees it springing back a bit before coming to a halt. This is a motion necessary to complete the relaxation of the soup.
Another surprising behaviour is the so-called Weissenberg effect, where in a rotation of elastic fluid the stretched out polymer chains drag the fluid into the center of the rotation. This leads to a peak in the center, instead of a funnel which we expect from experiences stirring tea or coffee.
The big challenge with all non-Newtonian fluids is that we do not have equations which we know are the right model. It is mostly guess work and we definitely have to be content with approximations.
And so it is a compromise of fitting what we can model and measure to the easiest predictions possible. Of course, slow flow often can be considered to be Newtonian whatever the material is.
The simplest models then take the so-called retarded fluid assumption, i.e. the elastic properties are considered to be only weak. Then, one can expand around the Newtonian model as a base state.
The first non-linear model which is constructed in that way is that of second-order fluids. They have two more parameters than the Newtonian model, which are called normal stress coefficients. The next step leads to third-order fluids etc. In practice no higher than third-order fluids are investigated.
Of course there are a plethora of interesting questions connected to complex fluids. The main question in the work of Helen Wilson is the stability of the flow of those fluids in channels, i.e. how does it react to small perturbations? Do they vanish in time or could they build up to completely new flow patterns? In 1999, she published results of her PhD thesis and predicted a new type of instability for a shear-thinning material model. It was to her great joy when in 2013 experimentalists found flow behaviour which could be explained by her predicted instability.
More precisely, in the 2013 experiments a dilute polymer solution was sent through a microchannel. The material model for the fluid is shear thinning as in Helen Wilson's thesis. They observed oscillations from side to side of the channel and surprising noise in the maximum flow rate. This could only be explained by an instability which they did not know about at that moment. In a microchannel inertia is negligible and the very low Reynolds number of 10−4 suggested that the instability must be caused by the non-Newtonian material properties since for Newtonian fluids instabilities can only be observed if the flow configuration exeeds a critical Reynolds number. Fortunately, the answer was found in the 1999 paper.
Of course, even for the easiest non-linear models one arrives at highly non-linear equations. In order to analyse stability of solutions to them one firstly needs to know the corresponding steady flow. Fortunately, if starting with the easiest non-linear models in a channel one can still find the steady flow as an analytic solution with paper and pencil since one arrives at a 1D ODE, which is independent of time and one of the two space variables.
The next question then is: How does it respond to small perturbation? The classical procedure is to linearize around the steady flow which leads to a linear problem to solve in order to know the stability properties. The basic (steady) flow allows for Fourier transformation which leads to a problem with two scalar parameters - one real and one complex. The general structure is an eigenvalue problem which can only be solved numerically. After we know the eigenvalues we know about the (so-called linear) stability of the solution.
An even more interesting research area is so-called non-linear stability. But it is still an open field of research since it has to keep the non-linear terms. The difference between the two strategies (i.e. linear and non-linear stability) is that the linear theory predicts instability to the smallest perturbations but the non-linear theory describes what happens after finite-amplitude instability has begun, and can find larger instability regions. Sometimes (but unfortunately quite rarely) both theories find the same point and we get a complete picture of when a stable region changes into an unstable one.
One other really interesting field of research for Helen Wilson is to find better constitutive relations. Especially since the often used power law has inbuilt unphysical behaviour (which means it is probably too simple). For example, taking a power law with negative exponent says that In the middle of the flow there is a singularity (we would divide by zero) and perturbations are not able to cross the center line of a channel.
Also, it is unphysical that according to the usual models the shear-thinning fluid should be instantly back to a state of high viscosity after switching off the force. For example most ketchup gets liquid enough to serve it only when we shake it. But it is not instantly thick after the shaking stops - it takes a moment to solidify. This behaviour is called thixotropy.
Literature and additional material
H. Wilson: UCL Lunch Hour Lectures, Feb. 2016.
H.J. Wilson and J.M. Rallison: Instability of channel flow of a shear-thinning White–Metzner fluid, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 87 (1999) 75–96.
Hugues Bodiguel, Julien Beaumont, Anaïs Machado, Laetitia Martinie, Hamid Kellay, and Annie Colin: Flow Enhancement due to Elastic Turbulence in Channel Flows of Shear Thinning Fluids, Physical Review Letters 114 (2015) 028302.
Non-Newtonian Fluids Explained, Science Learning.
Helen Wilson always wanted to do maths and had imagined herself becoming a mathematician from a very young age. But after graduation she did not have any road map ready in her mind. So she applied for jobs which - due to a recession - did not exist. Today she considers herself lucky for that since she took a Master's course instead (at Cambridge University), which hooked her to mathematical research in the field of viscoelastic fluids. She stayed for a PhD and after that for postdoctoral work in the States and then did lecturing at Leeds University. Today she is a Reader in the Department of Mathematics at University College London.
So what are viscoelastic fluids? If we consider everyday fluids like water or honey, it is a safe assumption that their viscosity does not change much - it is a material constant. Those fluids are called Newtonian fluids. All other fluids, i.e. fluids with non-constant viscosity or even more complex behaviours, are called non-Newtonian and viscoelastic fluids are a large group among them.
Already the name suggests, that viscoelastic fluids combine viscous and elastic behaviour. Elastic effects in fluids often stem from clusters of particles or long polymers in the fluid, which align with the flow. It takes them a while to come back when the flow pattern changes. We can consider that as keeping a memory of what happened before. This behaviour can be observed, e.g., when stirring tinned tomato soup and then waiting for it to go to rest again. Shortly before it finally enters the rest state one sees it springing back a bit before coming to a halt. This is a motion necessary to complete the relaxation of the soup.
Another surprising behaviour is the so-called Weissenberg effect, where in a rotation of elastic fluid the stretched out polymer chains drag the fluid into the center of the rotation. This leads to a peak in the center, instead of a funnel which we expect from experiences stirring tea or coffee.
The big challenge with all non-Newtonian fluids is that we do not have equations which we know are the right model. It is mostly guess work and we definitely have to be content with approximations.
And so it is a compromise of fitting what we can model and measure to the easiest predictions possible. Of course, slow flow often can be considered to be Newtonian whatever the material is.
The simplest models then take the so-called retarded fluid assumption, i.e. the elastic properties are considered to be only weak. Then, one can expand around the Newtonian model as a base state.
The first non-linear model which is constructed in that way is that of second-order fluids. They have two more parameters than the Newtonian model, which are called normal stress coefficients. The next step leads to third-order fluids etc. In practice no higher than third-order fluids are investigated.
Of course there are a plethora of interesting questions connected to complex fluids. The main question in the work of Helen Wilson is the stability of the flow of those fluids in channels, i.e. how does it react to small perturbations? Do they vanish in time or could they build up to completely new flow patterns? In 1999, she published results of her PhD thesis and predicted a new type of instability for a shear-thinning material model. It was to her great joy when in 2013 experimentalists found flow behaviour which could be explained by her predicted instability.
More precisely, in the 2013 experiments a dilute polymer solution was sent through a microchannel. The material model for the fluid is shear thinning as in Helen Wilson's thesis. They observed oscillations from side to side of the channel and surprising noise in the maximum flow rate. This could only be explained by an instability which they did not know about at that moment. In a microchannel inertia is negligible and the very low Reynolds number of 10−4 suggested that the instability must be caused by the non-Newtonian material properties since for Newtonian fluids instabilities can only be observed if the flow configuration exeeds a critical Reynolds number. Fortunately, the answer was found in the 1999 paper.
Of course, even for the easiest non-linear models one arrives at highly non-linear equations. In order to analyse stability of solutions to them one firstly needs to know the corresponding steady flow. Fortunately, if starting with the easiest non-linear models in a channel one can still find the steady flow as an analytic solution with paper and pencil since one arrives at a 1D ODE, which is independent of time and one of the two space variables.
The next question then is: How does it respond to small perturbation? The classical procedure is to linearize around the steady flow which leads to a linear problem to solve in order to know the stability properties. The basic (steady) flow allows for Fourier transformation which leads to a problem with two scalar parameters - one real and one complex. The general structure is an eigenvalue problem which can only be solved numerically. After we know the eigenvalues we know about the (so-called linear) stability of the solution.
An even more interesting research area is so-called non-linear stability. But it is still an open field of research since it has to keep the non-linear terms. The difference between the two strategies (i.e. linear and non-linear stability) is that the linear theory predicts instability to the smallest perturbations but the non-linear theory describes what happens after finite-amplitude instability has begun, and can find larger instability regions. Sometimes (but unfortunately quite rarely) both theories find the same point and we get a complete picture of when a stable region changes into an unstable one.
One other really interesting field of research for Helen Wilson is to find better constitutive relations. Especially since the often used power law has inbuilt unphysical behaviour (which means it is probably too simple). For example, taking a power law with negative exponent says that In the middle of the flow there is a singularity (we would divide by zero) and perturbations are not able to cross the center line of a channel.
Also, it is unphysical that according to the usual models the shear-thinning fluid should be instantly back to a state of high viscosity after switching off the force. For example most ketchup gets liquid enough to serve it only when we shake it. But it is not instantly thick after the shaking stops - it takes a moment to solidify. This behaviour is called thixotropy.
Literature and additional material
H. Wilson: UCL Lunch Hour Lectures, Feb. 2016.
H.J. Wilson and J.M. Rallison: Instability of channel flow of a shear-thinning White–Metzner fluid, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 87 (1999) 75–96.
Hugues Bodiguel, Julien Beaumont, Anaïs Machado, Laetitia Martinie, Hamid Kellay, and Annie Colin: Flow Enhancement due to Elastic Turbulence in Channel Flows of Shear Thinning Fluids, Physical Review Letters 114 (2015) 028302.
Non-Newtonian Fluids Explained, Science Learning.
47 Minuten
Klaus Nökel arbeitet in der Firma ptvgroup an der Verkehrsmodellierung. Er war und ist an vielen Aspekten der Entwicklung der ptv-Software beteiligt. Einer seiner Schwerpunkte sind Modelle für den öffentlichen Nahverkehr - kurz ÖPNV. Oft kann man nur mit geeigneten Modellen und Simulationen den für Fördergelder erforderlichen Nachweis über einen zu erwartenden Nutzen von Baumaßnahmen erbringen. In Karlsruhe ist der Tunnel für die Straßenbahnen (in Karlsruhe kurz UStrab genannt) ein prominentes Beispiel einer solchen Großbaustelle.
Die wichtigste Fragen zum erwarteten Nutzen, ist wie sich die Reisezeit verkürzt: Der Kosten-Nutzen-Quotient sollte hier natürlich möglichst klein sein. Die gesamten Baukosten sind dabei relativ einfach zu ermitteln. Die Nutzen-Seite ist dagegen nicht so einfach zu schätzen. Man braucht dafür ja Zahlen darüber, was für die Fahrgäste (quantifizierbar) besser wird- insbesondere im Bezug auf Zeiteinsparung.
Um diese Frage beantworten zu können, muss für alle Einwohner eine Routenplanung für jeden Tag durchgeführt werden. In Bezug auf ÖPNV sind dies insbesondere die Mobliltätsentscheidungen zwischen Weg zu Fuß, mit dem Auto oder Fahrrad und dem ÖPNV. Das betrifft vor allem die Wege zur Arbeit, zu Freizeitaktivitäten und zum Einkaufen. Die Wohn- und Arbeitsorte liegen hier über längere Zeit fest - alle anderen Größen sind jedoch variabel und Entscheidungen wo man beispielsweise einkaufen geht, können sich mit besserer Erreichbarkeit verändern. Hier muss aufgrund vorliegender Informationen zu Wegen in der Stadt die Wahl des Verkehrsmittels modelliert werden und welche Route mit welchem Verkehrsmittel typischerweise gewählt wird. Die Frage ist dann, ob es zu Verschiebungen in der Verkehrsmittelwahl kommen wird, nachdem sich die Infrastruktur geändert hat (wie z.B. durch den Tunnel bei uns in Karlsruhe). Die Angebotsseite ist vergleichsweise einfach zu beschreiben: Verkehrsnetz(e) wie Straßen und Liniennetz des ÖPNV mit zugehörigem Fahrplan sind bekannte Daten.
Die Kenntnisse über die Nachfrage sind komplex und setzen sich aus verschiedenen Anteilen zusammen. Ein gut verstandener Teil hier ist der soziodemographische z.B. ob ein Auto zur Verfügung oder nicht. Typischerweise haben junge Leute auf dem Weg zur Schule oder in die Ausbildung kein Auto zur Verfügung. Ebenso kann man gut beschreiben, wo gewohnt, gearbeitet und typischerweise eingekauft wird. Die Frage, welche Wege zurückgelegt werden, wird nicht wirklich gezählt oder genau ermittelt, sondern modelliert. Dabei sind viele Fragen nicht eindeutig beantwortbar. Manches sind auch ganz persönliche Vorlieben, so wie verschiedene Personen höhere Wegekosten gegenüber höherer Wegezeit sehr unterschiedlich gewichten.
Eine typische Datenbeschaffungsmethode ist bisher, Menschen über einen gewissen Zeitraum Tagebuch zu ihren Mobilitätsentscheidungen führen zu lassen. Zusätzlich zu den so dokumentierten und hochgerechneten Entscheidungen müssen für das Modell als Vergleich auch noch mögliche Alternativen zu diesen Entscheidungen mit berechnet werden (inklusive Zeit- und Geldaufwand).
Als mathematische Methode bietet sich ein Discrete Choice Modell an, denn es geht um endlich viele Alternativen zwischen denen gewählt wird. Es gibt darin einige objektive Anteile der persönlichen Nutzenfunktion und einen unbeobachtbaren Teil der Nutzenfunktion, der üblicherweise durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Modell realisiert werden kann und muss.
Statistik insbesondere die Schätztheorie hilft bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus vorliegenden Entscheidungen. Das Gewicht für das "Rauschen" ist eine Unbekannte im Modell. Je nach Standort für den das Modell entwickelt wird, unterscheidet sich das tatsächlich.
In den letzten Jahren hat sich die Anzahl der Wahlmöglichkeiten für Mobilität durch verschiedene Sharing-Modelle außerdem stark erweitert, wie z.B. durch Carsharing oder Fahrrad-Leihe, die inzwischen auch niederschwellig und sehr flexibel geworden sind. Vor allem in Kombination mit herkömmlichen Transportmitteln liegt ein großes Potential, das gerade erschlossen wird (z.B. haben zur Zeit etwa 600 Städte in der Welt ein Leihfahrrad-System). Es wäre einfacher, wenn die Benutzung noch klarer standardisiert wäre und eine Benutzerführung so einfach wie in einer typischen App erfolgte.
Sinnvoll und wünschenswert wären natürlich ausführliche Vorher-nachher-Untersuchungen, um die Güte der Vorhersagen der Modelle zu prüfen und auch zu verbessern. Bisher war das meist zu teuer, aber das ändert sich gerade, weil Datenmengen aus Smartphones nutzbar und einfach auswertbar werden. Zum Glück gibt es hier keine Berührung der Privatsphäre, weil nur anonyme Angaben aus großen Mengen von Bewegungsprofilen gebraucht werden aus denen keine Rückschlüsse auf einzelne Personen möglich sind.
Die Städte versuchen für ihre Einwohner die Erreichbarkeits-Gerechtigkeit zu verbessern. Hier vereinfachen die neuen Verkehrsmittel potentiell das Problem der letzten Meile lösen zu helfen.
Das Verhalten der Verkehrsteilnehmer ändert sich auch gerade in prinzipieller Weise durch die Verfügbarkeit von online-Informationen zum Verkehr (einerseits per Smartphone, andererseits durch Anzeigen an den Haltestellen). Hat man sich früher eine Variante zu Hause überlegt und so gut es ging anschließend abgearbeitet (unterwegs hatte man dabei nur beschränkt Möglichkeiten mit Verspätungen und verpassten Verbindungen fertig zu werden), so reagieren heute Fahrgäste anders, weil sie unterwegs mehr Informationen haben. Hier braucht man tatsächlich auch neue Modelle und mehr Rechenpower.
Eine weitere Entwicklung ist es, im Modell zu berücksichtigen, dass Fahrgäste Entscheidungen auch nach erwartetem Komfort treffen. So sind volle Bahnen für viele abschreckend. Das könnte man im Modell noch relativ einfach berücksichtigen. Wenn man aber einbauen will, dass es eine gute Strategie ist, erst in der "falschen" Richtung zu fahren, um an einer früheren Station in die Linie einzusteigen, damit man tatsächlich auch mitkommt und nicht wegen einer überfüllten Bahn an der Haltestelle zurückbleiben muss, vergrößert das die Menge der sinnvollen Routen erheblich.
Literatur und Zusatzinformationen
H. Knoflacher: Grundlagen der Verkehrs- und Siedlungsplanung: Verkehrsplanung, Böhlau, Wien, 2007
M. Fellendorf e.a.: Trends in der ÖPNV-Planung: 9. Sommerakademie, Tagungsband, Graz, 5.September 2011
G. Gentile & K. Noekel (Eds): Modelling Public Transport Passenger Flows in the Era of Intelligent Transport Systems, COST Action TU1004 (TransITS), Springer, 2016
Dokumente zu TransITS Cost Action
Podcasts und Videos
PTV Youtube-Kanal
U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
Die wichtigste Fragen zum erwarteten Nutzen, ist wie sich die Reisezeit verkürzt: Der Kosten-Nutzen-Quotient sollte hier natürlich möglichst klein sein. Die gesamten Baukosten sind dabei relativ einfach zu ermitteln. Die Nutzen-Seite ist dagegen nicht so einfach zu schätzen. Man braucht dafür ja Zahlen darüber, was für die Fahrgäste (quantifizierbar) besser wird- insbesondere im Bezug auf Zeiteinsparung.
Um diese Frage beantworten zu können, muss für alle Einwohner eine Routenplanung für jeden Tag durchgeführt werden. In Bezug auf ÖPNV sind dies insbesondere die Mobliltätsentscheidungen zwischen Weg zu Fuß, mit dem Auto oder Fahrrad und dem ÖPNV. Das betrifft vor allem die Wege zur Arbeit, zu Freizeitaktivitäten und zum Einkaufen. Die Wohn- und Arbeitsorte liegen hier über längere Zeit fest - alle anderen Größen sind jedoch variabel und Entscheidungen wo man beispielsweise einkaufen geht, können sich mit besserer Erreichbarkeit verändern. Hier muss aufgrund vorliegender Informationen zu Wegen in der Stadt die Wahl des Verkehrsmittels modelliert werden und welche Route mit welchem Verkehrsmittel typischerweise gewählt wird. Die Frage ist dann, ob es zu Verschiebungen in der Verkehrsmittelwahl kommen wird, nachdem sich die Infrastruktur geändert hat (wie z.B. durch den Tunnel bei uns in Karlsruhe). Die Angebotsseite ist vergleichsweise einfach zu beschreiben: Verkehrsnetz(e) wie Straßen und Liniennetz des ÖPNV mit zugehörigem Fahrplan sind bekannte Daten.
Die Kenntnisse über die Nachfrage sind komplex und setzen sich aus verschiedenen Anteilen zusammen. Ein gut verstandener Teil hier ist der soziodemographische z.B. ob ein Auto zur Verfügung oder nicht. Typischerweise haben junge Leute auf dem Weg zur Schule oder in die Ausbildung kein Auto zur Verfügung. Ebenso kann man gut beschreiben, wo gewohnt, gearbeitet und typischerweise eingekauft wird. Die Frage, welche Wege zurückgelegt werden, wird nicht wirklich gezählt oder genau ermittelt, sondern modelliert. Dabei sind viele Fragen nicht eindeutig beantwortbar. Manches sind auch ganz persönliche Vorlieben, so wie verschiedene Personen höhere Wegekosten gegenüber höherer Wegezeit sehr unterschiedlich gewichten.
Eine typische Datenbeschaffungsmethode ist bisher, Menschen über einen gewissen Zeitraum Tagebuch zu ihren Mobilitätsentscheidungen führen zu lassen. Zusätzlich zu den so dokumentierten und hochgerechneten Entscheidungen müssen für das Modell als Vergleich auch noch mögliche Alternativen zu diesen Entscheidungen mit berechnet werden (inklusive Zeit- und Geldaufwand).
Als mathematische Methode bietet sich ein Discrete Choice Modell an, denn es geht um endlich viele Alternativen zwischen denen gewählt wird. Es gibt darin einige objektive Anteile der persönlichen Nutzenfunktion und einen unbeobachtbaren Teil der Nutzenfunktion, der üblicherweise durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Modell realisiert werden kann und muss.
Statistik insbesondere die Schätztheorie hilft bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus vorliegenden Entscheidungen. Das Gewicht für das "Rauschen" ist eine Unbekannte im Modell. Je nach Standort für den das Modell entwickelt wird, unterscheidet sich das tatsächlich.
In den letzten Jahren hat sich die Anzahl der Wahlmöglichkeiten für Mobilität durch verschiedene Sharing-Modelle außerdem stark erweitert, wie z.B. durch Carsharing oder Fahrrad-Leihe, die inzwischen auch niederschwellig und sehr flexibel geworden sind. Vor allem in Kombination mit herkömmlichen Transportmitteln liegt ein großes Potential, das gerade erschlossen wird (z.B. haben zur Zeit etwa 600 Städte in der Welt ein Leihfahrrad-System). Es wäre einfacher, wenn die Benutzung noch klarer standardisiert wäre und eine Benutzerführung so einfach wie in einer typischen App erfolgte.
Sinnvoll und wünschenswert wären natürlich ausführliche Vorher-nachher-Untersuchungen, um die Güte der Vorhersagen der Modelle zu prüfen und auch zu verbessern. Bisher war das meist zu teuer, aber das ändert sich gerade, weil Datenmengen aus Smartphones nutzbar und einfach auswertbar werden. Zum Glück gibt es hier keine Berührung der Privatsphäre, weil nur anonyme Angaben aus großen Mengen von Bewegungsprofilen gebraucht werden aus denen keine Rückschlüsse auf einzelne Personen möglich sind.
Die Städte versuchen für ihre Einwohner die Erreichbarkeits-Gerechtigkeit zu verbessern. Hier vereinfachen die neuen Verkehrsmittel potentiell das Problem der letzten Meile lösen zu helfen.
Das Verhalten der Verkehrsteilnehmer ändert sich auch gerade in prinzipieller Weise durch die Verfügbarkeit von online-Informationen zum Verkehr (einerseits per Smartphone, andererseits durch Anzeigen an den Haltestellen). Hat man sich früher eine Variante zu Hause überlegt und so gut es ging anschließend abgearbeitet (unterwegs hatte man dabei nur beschränkt Möglichkeiten mit Verspätungen und verpassten Verbindungen fertig zu werden), so reagieren heute Fahrgäste anders, weil sie unterwegs mehr Informationen haben. Hier braucht man tatsächlich auch neue Modelle und mehr Rechenpower.
Eine weitere Entwicklung ist es, im Modell zu berücksichtigen, dass Fahrgäste Entscheidungen auch nach erwartetem Komfort treffen. So sind volle Bahnen für viele abschreckend. Das könnte man im Modell noch relativ einfach berücksichtigen. Wenn man aber einbauen will, dass es eine gute Strategie ist, erst in der "falschen" Richtung zu fahren, um an einer früheren Station in die Linie einzusteigen, damit man tatsächlich auch mitkommt und nicht wegen einer überfüllten Bahn an der Haltestelle zurückbleiben muss, vergrößert das die Menge der sinnvollen Routen erheblich.
Literatur und Zusatzinformationen
H. Knoflacher: Grundlagen der Verkehrs- und Siedlungsplanung: Verkehrsplanung, Böhlau, Wien, 2007
M. Fellendorf e.a.: Trends in der ÖPNV-Planung: 9. Sommerakademie, Tagungsband, Graz, 5.September 2011
G. Gentile & K. Noekel (Eds): Modelling Public Transport Passenger Flows in the Era of Intelligent Transport Systems, COST Action TU1004 (TransITS), Springer, 2016
Dokumente zu TransITS Cost Action
Podcasts und Videos
PTV Youtube-Kanal
U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
1 Stunde 1 Minute
Dr. Tobias Kretz arbeitet in der Firma PTV Group in Karlsruhe an der Modellierung und Simulation von Fußgängerströmen. Er studierte Physik an der Universität Karlsruhe und behandelte in seiner Diplomarbeit Teilchen-Zerfallsprozesse. Anschließend führte ihn die Suche nach interessanten Anwendungen physikalischer Konzepte zur Arbeitsgruppe Physik von Transport und Verkehr an der Universität Duisburg-Essen. Dort promovierte er im Themenfeld der Fußgängersimulation bei Prof. Schreckenberg.
Damit war er genau der Experte, den die ptv suchte, als sie sich entschied, die Verkehrssimulations-Software im Haus um den Aspekt der Fußgängersimulation zu erweitern. Eine erste für Karlsruhe interessante Anwendung der neuen Software VISWALK war die Simulation der Großveranstaltung Das Fest hier in Karlsruhe.
Die Simulation von Fußgängerströmen ist eine noch junge Disziplin. Sie entwickelte sich zunächst für Evakuierungs- und Notfall-Szenarien. Heute dient die Fußgängersimulationssoftware beispielsweise der Planung in großen Bahnhöfen. Denn hängt die Frage, ob man einen Anschlußzug kann, nicht auch von der Problematik ab, dass man dabei von anderen Fahrgästen behindert wird? Außerdem ist die Untersuchung der von Effizienz von Laufwegen sehr hilfreich in der Planung von Bauvorhaben.
In der Fußgängersimulation werden verschiedene Methoden aus der Mathematik und Physik benutzt. In der Arbeitsgruppe von Herrn Schreckenberg waren es vor allem Zellularautomaten. Im nun vorhandenen Modul VISWALK wurde bei der ptv vor allem auf das Social force Modell gesetzt, das auf einem Newtonschen Ansatz (also dem Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung) beruht und auf eine Beschreibung durch Differentialgleichungen für die einzelnen Fußgänger führt. Dieses System muss numerisch gelöst werden. Die schrittweise Lösung entspricht dabei der zeitlichen Entwicklung der Bewegung.
Die Grundidee beim Social Force Modell ist, dass man sich vorstellt, dass die am Fußgänger angreifende Kräfte seine Beschleunigung (inklusive der Richtung) verändern und damit seine Bewegung bestimmen. Das einfachste Modell ist der Wunsch das Ziel zu erreichen (driving force), denn es genügt dafür eine zum gewünschten Ziel ziehende starke Kraft. Dabei muss man aber anderen Fußgängern und Hindernissen ausweichen. Das Ausweichen kann man aber leider nicht in genau ein Modell (also genau ein erwartetes Verhalten) übersetzen; es gibt dazu einfach zu viele Einflussfaktoren. Physikalisch werden sie daher als abstoßende Kräfte im Nahfeld von anderen Fußgängern und Hindernissen modelliert. Wichtige Fragen, die im Algorithmus zu berücksichtigen sind, wären beispielsweise, wie nah geht ein typischer Fußgänger typischerweise an anderen Fußgängern vorbei geht, und welche Umwege typischerweise am attraktivsten erscheinen.
Aus eigener Erfahrung kennt man den inneren Kampf, wie man mit Gruppen, die sozusagen als ein weiches Hindernis im Weg stehen, umgeht. Hindurchdrängeln vermeidet man oft. Das muss auch der Algorithmus so tun, wenn er menschliches Verhalten nachbilden soll. So kann man hier die Dichte der Gruppe in eine "Härte" des Hindernisses übersetzen. Je nachdem wie dicht gepackt der Raum ist, werden solche Entscheidungen aber auch unterschiedlich ausfallen.
Berechnet wird natürlich stets die Bewegung des Schwerpunkts des Fußgängers. Für die visuelle Umsetzung im Programm wird das entsprechend graphisch aufbereitet, was natürlich auch einen gewissen Rechenaufwand verursacht. Das Modell selbst ist zeitkontinuierlich und so wird die Genauigkeit durch die für das numerische Verfahren gewählte Zeitschrittweite bestimmt. Etwa 20.000 Personen können zur Zeit in Echtzeit simuliert werden.
Leider ist es im Programm bisher nahezu unmöglich zu berücksichtigen, wie sich Menschen in zusammen gehörenden Zweier- oder Dreier-Gruppen bewegen. Zum Glück ist das beispielsweise in der Simulation von Berufspendlern auf einem Bahnhof ein vernachlässigbares Phänomen. Ein weiterer Aspekt ist, dass die Ergebnisse der intern komplexen Simulation sich schließlich für den Verkehrsplaner in wenig komplexen Zahlenwerten spiegeln (wie in Dichten). Dabei muss auch eine Balance gefunden werden zwischen Komplexität des Modells und der Bedienbarkeit durch einen Verkehrsplaner im Arbeitsalltag. Zu einfache Modelle - wie solche, die nur Dichten von Personen berücksichtigen (sogenannte Makromodelle) - können eventuell nicht mehr wiedergeben, dass es in Korridoren gegenläufige Bewegungen gibt, was jedoch ein zentraler Aspekt der tatsächlichen Fußgängerbewegung ist.
Daten zur Kalibrierung dieser Modelle sind nicht so einfach zu erheben. Eine Möglichkeit ist die Auswertung von Videos (z.B. von Überwachungskameras). Dabei weiß man natürlich nichts über den Hintergrund der beobachteten Personen (Alter, Größe, Dringlichkeit des Ortswechsels). In Laborexperimenten sind diese Informationen verfügbar, aber es bleibt immer eine künstliche Umgebung, die die Realitäts-Nähe der Ergebnisse potentiell gefährdet. Ein noch ganz neuer dritter Weg ist in Zusammenarbeit mit der Arbeitsgruppe von Prof. Hanebeck am KIT die Beobachtung einer jeweils einzelnen echten Person in einer virtueller Umgebung am Computer.
Wir unterhielten uns ausführlich über die Begleitung des Umbaus eines Straßenabschnitts in Straßburg. In dieser Stadt wurde ein grundlegender Plan piéton beschlossen, durch den sich in den Jahren 2011-2020 die Situation für alle Verkehrsteilnehmer in der Innenstadt verändern soll. Die ptv hat konkret die Umgestaltung der Brücke Pont Kuss durch Simulationen begleitet. Da die Brücke auf dem direkten Weg vom Hauptbahnhof in die historische Innenstadt liegt, ist das Fußgängeraufkommen dort besonders hoch und wurde zur Untermauerung der Notwendigkeit eines Umbaus sorgfältig gezählt. Obwohl aus den Daten klar hervorging, dass die Verteilung des öffentlichen Raums hier dringend geändert werden sollte (mehr Platz für Fußgänger, weniger Spuren für PKW) konnte darüber hinaus die Simulation zeigen, dass durch die Einengung der Fahrspuren kein zu großer Nachteil für den Autoverkehr entsteht.
In der städtischen Verkehrsplanung können Schwerpunkte (wie so ein Fußgängerplan in Straßburg) häufig durch Personen in der Verwaltung stark beeinflusst werden. Die faire Verteilung von öffentlichem Raum wird uns aber in der Zukunft noch sehr stark beschäftigen. Hier ist auch die Frage der Behandlung von Radfahrern im Stadtverkehr ein Modellierungs-Problem mit vielen offenen Fragen.
Die Verwendung von Simulationen in kritischen bzw. Gefahren-Situationen ist auch nicht trivial. So hat es sich als unrealistisch erwiesen, im Zeitraffer vorausberechnete Situationen als Hilfestellung für Entscheidungen zu benutzen. Man braucht in solchen Situationen Ergebnisse, die in wenigen Augenblicken gute Ratschläge geben, wie Fußgängerströme geleitet werden sollten. Das geht zum Glück häufig über Makromodelle, die nur die Dichten beachten. Dies sind einfach genug analysierbare und dabei aussagekräftige Größen in einer Krisensituation.
Neue Aufgaben für die Verbesserung von Fußgänger-Simulationen stellen sich jedes Jahr. Ein wichtiger Aspekt ist im Moment, dass die Software-Umsetzung sehr viel stärker parallelisiert werden muss, um leistungsstärker werden zu können.
Literatur und weiterführende Informationen
D. Helbing, I. Farkas, T. Vicsek: Simulating dynamical features of escape panic, Nature 407 (2000) 487-490.
C. Burstedde e.a.: Simulation of pedestrian dynamics using a two-dimensional cellular automaton, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 295 3–4 (2001) 507–525.
P.G. Gipps: Simulation of pedestrian traffic in buildings, Schriftenreihe Institut für Verkehrswesen Universität Karlsruhe (1987).
T. Kretz, F. Reutenauer, F. Schubert: Multi-Modal Simulation-Based Planning For Pedestrians, 92nd Annual Meeting of the Transportation Research Board (2013).
J. Bamberger e.a.: Crowd Research at School: Crossing Flows, Traffic and Granular Flow (2013) 137-144, Springer-Verlag.
T. Kretz: A Link to Practice – a Reply to Urs Walter's Opening Presentation at PED 2012, Transportation Research Procedia, Special Issue PED 2014, 177–182, Elsevier Verlag.
Podcasts und Videos
PTV Youtube-Kanal
H. Benner: Fußgänger, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/fussgaenger
U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
M. Petersen: Unfallvorhersage, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/unfallvorhersage
Damit war er genau der Experte, den die ptv suchte, als sie sich entschied, die Verkehrssimulations-Software im Haus um den Aspekt der Fußgängersimulation zu erweitern. Eine erste für Karlsruhe interessante Anwendung der neuen Software VISWALK war die Simulation der Großveranstaltung Das Fest hier in Karlsruhe.
Die Simulation von Fußgängerströmen ist eine noch junge Disziplin. Sie entwickelte sich zunächst für Evakuierungs- und Notfall-Szenarien. Heute dient die Fußgängersimulationssoftware beispielsweise der Planung in großen Bahnhöfen. Denn hängt die Frage, ob man einen Anschlußzug kann, nicht auch von der Problematik ab, dass man dabei von anderen Fahrgästen behindert wird? Außerdem ist die Untersuchung der von Effizienz von Laufwegen sehr hilfreich in der Planung von Bauvorhaben.
In der Fußgängersimulation werden verschiedene Methoden aus der Mathematik und Physik benutzt. In der Arbeitsgruppe von Herrn Schreckenberg waren es vor allem Zellularautomaten. Im nun vorhandenen Modul VISWALK wurde bei der ptv vor allem auf das Social force Modell gesetzt, das auf einem Newtonschen Ansatz (also dem Zusammenhang von Kraft und Beschleunigung) beruht und auf eine Beschreibung durch Differentialgleichungen für die einzelnen Fußgänger führt. Dieses System muss numerisch gelöst werden. Die schrittweise Lösung entspricht dabei der zeitlichen Entwicklung der Bewegung.
Die Grundidee beim Social Force Modell ist, dass man sich vorstellt, dass die am Fußgänger angreifende Kräfte seine Beschleunigung (inklusive der Richtung) verändern und damit seine Bewegung bestimmen. Das einfachste Modell ist der Wunsch das Ziel zu erreichen (driving force), denn es genügt dafür eine zum gewünschten Ziel ziehende starke Kraft. Dabei muss man aber anderen Fußgängern und Hindernissen ausweichen. Das Ausweichen kann man aber leider nicht in genau ein Modell (also genau ein erwartetes Verhalten) übersetzen; es gibt dazu einfach zu viele Einflussfaktoren. Physikalisch werden sie daher als abstoßende Kräfte im Nahfeld von anderen Fußgängern und Hindernissen modelliert. Wichtige Fragen, die im Algorithmus zu berücksichtigen sind, wären beispielsweise, wie nah geht ein typischer Fußgänger typischerweise an anderen Fußgängern vorbei geht, und welche Umwege typischerweise am attraktivsten erscheinen.
Aus eigener Erfahrung kennt man den inneren Kampf, wie man mit Gruppen, die sozusagen als ein weiches Hindernis im Weg stehen, umgeht. Hindurchdrängeln vermeidet man oft. Das muss auch der Algorithmus so tun, wenn er menschliches Verhalten nachbilden soll. So kann man hier die Dichte der Gruppe in eine "Härte" des Hindernisses übersetzen. Je nachdem wie dicht gepackt der Raum ist, werden solche Entscheidungen aber auch unterschiedlich ausfallen.
Berechnet wird natürlich stets die Bewegung des Schwerpunkts des Fußgängers. Für die visuelle Umsetzung im Programm wird das entsprechend graphisch aufbereitet, was natürlich auch einen gewissen Rechenaufwand verursacht. Das Modell selbst ist zeitkontinuierlich und so wird die Genauigkeit durch die für das numerische Verfahren gewählte Zeitschrittweite bestimmt. Etwa 20.000 Personen können zur Zeit in Echtzeit simuliert werden.
Leider ist es im Programm bisher nahezu unmöglich zu berücksichtigen, wie sich Menschen in zusammen gehörenden Zweier- oder Dreier-Gruppen bewegen. Zum Glück ist das beispielsweise in der Simulation von Berufspendlern auf einem Bahnhof ein vernachlässigbares Phänomen. Ein weiterer Aspekt ist, dass die Ergebnisse der intern komplexen Simulation sich schließlich für den Verkehrsplaner in wenig komplexen Zahlenwerten spiegeln (wie in Dichten). Dabei muss auch eine Balance gefunden werden zwischen Komplexität des Modells und der Bedienbarkeit durch einen Verkehrsplaner im Arbeitsalltag. Zu einfache Modelle - wie solche, die nur Dichten von Personen berücksichtigen (sogenannte Makromodelle) - können eventuell nicht mehr wiedergeben, dass es in Korridoren gegenläufige Bewegungen gibt, was jedoch ein zentraler Aspekt der tatsächlichen Fußgängerbewegung ist.
Daten zur Kalibrierung dieser Modelle sind nicht so einfach zu erheben. Eine Möglichkeit ist die Auswertung von Videos (z.B. von Überwachungskameras). Dabei weiß man natürlich nichts über den Hintergrund der beobachteten Personen (Alter, Größe, Dringlichkeit des Ortswechsels). In Laborexperimenten sind diese Informationen verfügbar, aber es bleibt immer eine künstliche Umgebung, die die Realitäts-Nähe der Ergebnisse potentiell gefährdet. Ein noch ganz neuer dritter Weg ist in Zusammenarbeit mit der Arbeitsgruppe von Prof. Hanebeck am KIT die Beobachtung einer jeweils einzelnen echten Person in einer virtueller Umgebung am Computer.
Wir unterhielten uns ausführlich über die Begleitung des Umbaus eines Straßenabschnitts in Straßburg. In dieser Stadt wurde ein grundlegender Plan piéton beschlossen, durch den sich in den Jahren 2011-2020 die Situation für alle Verkehrsteilnehmer in der Innenstadt verändern soll. Die ptv hat konkret die Umgestaltung der Brücke Pont Kuss durch Simulationen begleitet. Da die Brücke auf dem direkten Weg vom Hauptbahnhof in die historische Innenstadt liegt, ist das Fußgängeraufkommen dort besonders hoch und wurde zur Untermauerung der Notwendigkeit eines Umbaus sorgfältig gezählt. Obwohl aus den Daten klar hervorging, dass die Verteilung des öffentlichen Raums hier dringend geändert werden sollte (mehr Platz für Fußgänger, weniger Spuren für PKW) konnte darüber hinaus die Simulation zeigen, dass durch die Einengung der Fahrspuren kein zu großer Nachteil für den Autoverkehr entsteht.
In der städtischen Verkehrsplanung können Schwerpunkte (wie so ein Fußgängerplan in Straßburg) häufig durch Personen in der Verwaltung stark beeinflusst werden. Die faire Verteilung von öffentlichem Raum wird uns aber in der Zukunft noch sehr stark beschäftigen. Hier ist auch die Frage der Behandlung von Radfahrern im Stadtverkehr ein Modellierungs-Problem mit vielen offenen Fragen.
Die Verwendung von Simulationen in kritischen bzw. Gefahren-Situationen ist auch nicht trivial. So hat es sich als unrealistisch erwiesen, im Zeitraffer vorausberechnete Situationen als Hilfestellung für Entscheidungen zu benutzen. Man braucht in solchen Situationen Ergebnisse, die in wenigen Augenblicken gute Ratschläge geben, wie Fußgängerströme geleitet werden sollten. Das geht zum Glück häufig über Makromodelle, die nur die Dichten beachten. Dies sind einfach genug analysierbare und dabei aussagekräftige Größen in einer Krisensituation.
Neue Aufgaben für die Verbesserung von Fußgänger-Simulationen stellen sich jedes Jahr. Ein wichtiger Aspekt ist im Moment, dass die Software-Umsetzung sehr viel stärker parallelisiert werden muss, um leistungsstärker werden zu können.
Literatur und weiterführende Informationen
D. Helbing, I. Farkas, T. Vicsek: Simulating dynamical features of escape panic, Nature 407 (2000) 487-490.
C. Burstedde e.a.: Simulation of pedestrian dynamics using a two-dimensional cellular automaton, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 295 3–4 (2001) 507–525.
P.G. Gipps: Simulation of pedestrian traffic in buildings, Schriftenreihe Institut für Verkehrswesen Universität Karlsruhe (1987).
T. Kretz, F. Reutenauer, F. Schubert: Multi-Modal Simulation-Based Planning For Pedestrians, 92nd Annual Meeting of the Transportation Research Board (2013).
J. Bamberger e.a.: Crowd Research at School: Crossing Flows, Traffic and Granular Flow (2013) 137-144, Springer-Verlag.
T. Kretz: A Link to Practice – a Reply to Urs Walter's Opening Presentation at PED 2012, Transportation Research Procedia, Special Issue PED 2014, 177–182, Elsevier Verlag.
Podcasts und Videos
PTV Youtube-Kanal
H. Benner: Fußgänger, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/fussgaenger
U. Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen
M. Petersen: Unfallvorhersage, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/unfallvorhersage
21 Minuten
This is the first of four conversation Gudrun had during the British Applied Mathematics Colloquium which took place 5th – 8th of April 2016 in Oxford.
Josie Dodd finished her Master's in Mathematical and Numerical Modelling of the Atmosphere and Oceans at the University of Reading. In her PhD project she is working in the Mathematical Biology Group inside the Department of Mathematics and Statistics in Reading. In this group she develops models that describe plant and canopy growth of the Bambara Groundnut - especially the plant interaction when grown as part of a crop. The project is interdisciplinary and interaction with biologists is encouraged by the funding entity.
Why is this project so interesting? In general, the experimental effort to understand crop growth is very costly and takes a lot of time. So it is a great benefit to have cheaper and faster computer experiments. The project studies the Bambara Groundnut since it is a candidate for adding to our food supply in the future. It is an remarkably robust crop, draught tolerant and nitrogent inriching, which means the production of yield does not depend on fertilizer. The typical plant grows 150 days per year. The study will find results for which verfication and paramater estimations from actual green house data is available. On the other hand, all experience on the modelling side will be transferable to other plants up to a certain degree. The construction of the mathematical model includes finding equations which are simple enough but cover the main processes as well as numerical schemes which solve them effectively.
At the moment, temperature and solar radiation are the main input to the model. In the future, it should include rain as well. Another important parameter is the placement of the plants - especially in asking for arrangements which maximize the yield. Analyzing the available data from the experimental partners leads to three nonlinear ODEs for each plant. Also, the leave production has a Gaussian distribution relationship with time and temperature. The results then enter the biomass equation. The growth process of the plant is characterized by a change of the rate of change over time. This is a property of the plant that leads to nonlinearity in the equations.
Nevertheless, the model has to stay as simple as possible, while firstly, bridging the gap to complicated and more precise models, and secondly, staying interpretable to make people able to use it and understand its behaviour as non-mathematicians. This is the main group for which the models should be a useful tool.
So far, the model for interaction with neighbouring plants is the computational more costly part, where - of course - geometric consideration of overlapping have to enter the model. Though it does not yet consider many plants (since green house sized experimental data are available) the model scales well to a big number of plants due to its inherent symmetries. Since at the moment the optimizaition of the arrangements of plants has a priority - a lot of standardization and simplifying assumptions are applied. So for the future more parameters such as the input of water should be included, and it would be nice to have more scales. Such additional scales would be to include the roots system or other biological processes inside the plant.
Of course, the green house is well controlled and available field data are less precise due to the difficulty of measurements in the field.
During her work on the project and as a tutor Josie Dodd found out that she really likes to do computer programming. Since it is so applicable to many things theses skills open a lot of doors. Therefore, she would encourage everybody to give it a try.
Literature and additional material
Crops for the Future website
Asha Sajeewani Karunaratne: Modelling the response of Bambara groundnut (Vigna subterranea (L.) Verdc) for abiotic stress, PhD thesis, University of Nottingham (2009).
A.S. Karunaratne e.a.: Modelling the canopy development of bambara groundnut, Agricultural and Forest Meteorology 150, (7–8) 2010, 1007–1015.
Josie Dodd finished her Master's in Mathematical and Numerical Modelling of the Atmosphere and Oceans at the University of Reading. In her PhD project she is working in the Mathematical Biology Group inside the Department of Mathematics and Statistics in Reading. In this group she develops models that describe plant and canopy growth of the Bambara Groundnut - especially the plant interaction when grown as part of a crop. The project is interdisciplinary and interaction with biologists is encouraged by the funding entity.
Why is this project so interesting? In general, the experimental effort to understand crop growth is very costly and takes a lot of time. So it is a great benefit to have cheaper and faster computer experiments. The project studies the Bambara Groundnut since it is a candidate for adding to our food supply in the future. It is an remarkably robust crop, draught tolerant and nitrogent inriching, which means the production of yield does not depend on fertilizer. The typical plant grows 150 days per year. The study will find results for which verfication and paramater estimations from actual green house data is available. On the other hand, all experience on the modelling side will be transferable to other plants up to a certain degree. The construction of the mathematical model includes finding equations which are simple enough but cover the main processes as well as numerical schemes which solve them effectively.
At the moment, temperature and solar radiation are the main input to the model. In the future, it should include rain as well. Another important parameter is the placement of the plants - especially in asking for arrangements which maximize the yield. Analyzing the available data from the experimental partners leads to three nonlinear ODEs for each plant. Also, the leave production has a Gaussian distribution relationship with time and temperature. The results then enter the biomass equation. The growth process of the plant is characterized by a change of the rate of change over time. This is a property of the plant that leads to nonlinearity in the equations.
Nevertheless, the model has to stay as simple as possible, while firstly, bridging the gap to complicated and more precise models, and secondly, staying interpretable to make people able to use it and understand its behaviour as non-mathematicians. This is the main group for which the models should be a useful tool.
So far, the model for interaction with neighbouring plants is the computational more costly part, where - of course - geometric consideration of overlapping have to enter the model. Though it does not yet consider many plants (since green house sized experimental data are available) the model scales well to a big number of plants due to its inherent symmetries. Since at the moment the optimizaition of the arrangements of plants has a priority - a lot of standardization and simplifying assumptions are applied. So for the future more parameters such as the input of water should be included, and it would be nice to have more scales. Such additional scales would be to include the roots system or other biological processes inside the plant.
Of course, the green house is well controlled and available field data are less precise due to the difficulty of measurements in the field.
During her work on the project and as a tutor Josie Dodd found out that she really likes to do computer programming. Since it is so applicable to many things theses skills open a lot of doors. Therefore, she would encourage everybody to give it a try.
Literature and additional material
Crops for the Future website
Asha Sajeewani Karunaratne: Modelling the response of Bambara groundnut (Vigna subterranea (L.) Verdc) for abiotic stress, PhD thesis, University of Nottingham (2009).
A.S. Karunaratne e.a.: Modelling the canopy development of bambara groundnut, Agricultural and Forest Meteorology 150, (7–8) 2010, 1007–1015.
41 Minuten
Im Gespräch mit Ulrike Leyn wollten wir den Blick auf Aufgaben im heutigen Verkehrswesen richten. Wir begannen die Unterhaltung damit, zu erkunden, auf welchem Weg Ulrike Leyn zum Verkehrswesen gekommen ist und schließlich für das Thema Feuer gefangen hat. Am Anfang stand wohl ihre Entscheidung für das Studienfach Wirtschaftsingenieurwesen aus dem einfachen und sehr nachvollziehbaren Grund, sich damit thematisch nicht so stark festlegen zu müssen und im Anschluss sehr viele auch sehr verschiedenartige Möglichkeiten des beruflichen Einstiegs zu haben.
Im Wirtschaftsingenieurwesen gibt es je nach Universität verschiedene Ausbildungsstrategien. An einigen muss man sich zu Beginn auf eine Ingenieurdisziplin festlegen, die dann mit ökonomischen Fächern kombiniert wird. In Karlsruhe ist die Ausbildung jedoch ingenieurtechnisch sehr breit angelegt. Es werden also Grundlagen für sehr verschiedene Ingenieurwissenschaften im Studium gelehrt und erst in der Vertiefung erfolgt eine Spezialisierung nach eigener Neigung. Außerdem ist auch der Anteil zwischen ökonomisch ausgerichteten und ingenieurstechnischen Fächern am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) je nach persönlicher Wahl stark variabel. Das waren zwei Aspekte, die Ulrike Leyn darin bestärkten in Karlsruhe zu studieren.
Für sie war es schließlich die Wahl der Fächerkombination 'Grundlagen der Raum- und Infrastrukturplanung', die zum ersten Schritt in die Richtung Verkehrwsesen wurde. Die Interdisziplinarität des Themas hat sie von Anfang an sehr angesprochen. Deshalb schrieb sie schließlich auch ihre Diplomarbeit am Institut für Verkehrswesen. Direkt im Anschluss begann sie, als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut zu arbeiten.
In ihrer jetzigen Tätigkeit im Verkehrswesen kann Ulrike Leyn vor allem ausnutzen, dass sie im Studium gelernt hat, sich in sehr viele verschiedene Probleme selbstständig einzuarbeiten. Außerdem erwies sich ihre Tätigkeit als Tutorin der Vorlesung Programmieren in Java als sehr hilfreich, um Simulationen anzupassen und automatisiert auszuwerten.
In Karlsruhe am KIT ist Verkehrswesen als Teil des Bauingenieurwesens an der KIT-Fakultät für Bauingenieur-, Geo- und Umweltwissenschaften etabiliert. Inzwischen gibt es auch einen eigenen Master-Studiengang Mobilität und Infrastruktur. Neben der Möglichkeit als Ingenieurs-Vertiefung im Wirtschaftsingenieurwesen (und der technischen VWL) kann es auch als Zusatzfach in Informatik, Physik oder Wirtschaftsmathematik gewählt werden oder als technisches Fach im Master Technomathematik. Die Lehrangebote des Instituts erstrecken sich über mehrere Bereiche.
Das Projekt, an dem Ulrike Leyn für lange Zeit gearbeitet hat und das gerade abgeschlossen wurde, soll die Möglichkeit bieten, Verkehrs-Simulation auf Computern so zu verwenden, dass man sie einfacher als Ergänzung bzw. Ersatz der Richtlinien im Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen (HBS) einsetzen kann. Diese Richtlinie hilft die Qualitätsstufe von Anlagen einzuschätzen.
Allerdings - insbesondere bei Nicht-Standard-Situationen ist es heute schon üblich, statt der stark vereinfachenden Rechnungen nach dieser Richtlinie, Simulationen zu benutzen. Denn die Voraussetzungen für die Anwendung der Richtlinien sind nur dann gegeben, wenn auch vorher Richtlinen-getreu gebaut wurde für Normalverkehrssituationen. Ein Schwerpunkt der Untersuchungen waren Autobahnen, wo z.B. Ein- und Ausfahrten und starke Anstiege besondere Herausforderungen an die Modellierung stellen. Das Ziel war kurz gesagt das Finden von Parametern, bei denen die durch Simulation erzeugten Ergebnisse denen nach der Richtlinie berechneten entsprechen.
Das klingt einfacher als es ist. Ein generelles Problem ist beispielsweise, dass es häufig nicht genug verlässliche Verkehrsdaten gibt bzw. die Güte der Daten nicht offensichtlich ist. Trotzdem soll mit den so gefundenen Einstellungen der Realität möglichst gut entsprechende Simulationen möglich werden - sogar falls keine Daten vorhanden sind - wenn man nun mit den Einstellungen arbeitet, die im Projekt gefunden wurden. Die Parameter sind zugeschnitten auf die Situation auf deutschen Autobahnen (also auch ohne Tempolimit). Der Einfluss verschieden großer Anteile von Schwerverkehr auf der Autobahn wurde untersucht und als etwas vereinfachender Standard dann 10% gewählt. Es gibt neben Standard-LKWs auch längere Zugverbände, die dann mehr Platz brauchen. Das wird auch beim Einfädeln relevant.
Bei der Bewertung der Güte der Modelle werden vor allem Endergebnisse von Simulationen für festgelegte makroskopische Größen wie z.B. die Kapazität der Strecke (nämlich typischerweise etwa 2000 PKW-Einheiten pro Fahrstreifen pro Stunde) zugrunde gelegt. Das Messen der Kapazität ist aber gar nicht so einfach, weil man eigentlich nur konkrete Fahrzeuganzahlen pro Zeit- oder Raumeinheit der Simulation oder der Realität entnehmen kann. Die Kapazität ist die Obergrenze für realisierbare Dichten, also das, was kurz vor dem Zusammenbrechen des Verkehrs als maximaler Zustand vorliegt. Eine Verkehrssimulation zum zusammenbrechen zu bringen ist aber nicht so einfach, weil es nicht vorgesehen ist.
Verkehrswesen hat viele sehr unterschiedliche Aspekte. Sie reichen von sehr technisch motivierten Arbeitsbildern zu mehr soziologisch geprägten. Letztere sind z.B. Fragen, warum Wege zurückgelegt werden, wie Verkehrsmittel ausgewählt werden und Veränderungen hierbei. Außerdem sind u.a. autonomes Fahren und Elektromobilität neue und spannende Themen.
Literatur und weiterführende Informationen
HBS-konforme Simulation des Verkehrsablaufs auf Autobahnen
Informationen für Studieninteressierte Wirtschaftswissenschaften am KIT
Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen
Podcasts
G.Heller: Klothoiden, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 50, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/klothoiden
H.Benner: Fußgänger, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/fussgaenger
L. Osovtsova: Logistik und Big Data, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 33, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/logistik
M. Petersen: Unfallvorhersage, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/unfallvorhersage
T. Arens: Lärmschutz, Gespräch mit S. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 16, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/laermschutz
Im Wirtschaftsingenieurwesen gibt es je nach Universität verschiedene Ausbildungsstrategien. An einigen muss man sich zu Beginn auf eine Ingenieurdisziplin festlegen, die dann mit ökonomischen Fächern kombiniert wird. In Karlsruhe ist die Ausbildung jedoch ingenieurtechnisch sehr breit angelegt. Es werden also Grundlagen für sehr verschiedene Ingenieurwissenschaften im Studium gelehrt und erst in der Vertiefung erfolgt eine Spezialisierung nach eigener Neigung. Außerdem ist auch der Anteil zwischen ökonomisch ausgerichteten und ingenieurstechnischen Fächern am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) je nach persönlicher Wahl stark variabel. Das waren zwei Aspekte, die Ulrike Leyn darin bestärkten in Karlsruhe zu studieren.
Für sie war es schließlich die Wahl der Fächerkombination 'Grundlagen der Raum- und Infrastrukturplanung', die zum ersten Schritt in die Richtung Verkehrwsesen wurde. Die Interdisziplinarität des Themas hat sie von Anfang an sehr angesprochen. Deshalb schrieb sie schließlich auch ihre Diplomarbeit am Institut für Verkehrswesen. Direkt im Anschluss begann sie, als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Institut zu arbeiten.
In ihrer jetzigen Tätigkeit im Verkehrswesen kann Ulrike Leyn vor allem ausnutzen, dass sie im Studium gelernt hat, sich in sehr viele verschiedene Probleme selbstständig einzuarbeiten. Außerdem erwies sich ihre Tätigkeit als Tutorin der Vorlesung Programmieren in Java als sehr hilfreich, um Simulationen anzupassen und automatisiert auszuwerten.
In Karlsruhe am KIT ist Verkehrswesen als Teil des Bauingenieurwesens an der KIT-Fakultät für Bauingenieur-, Geo- und Umweltwissenschaften etabiliert. Inzwischen gibt es auch einen eigenen Master-Studiengang Mobilität und Infrastruktur. Neben der Möglichkeit als Ingenieurs-Vertiefung im Wirtschaftsingenieurwesen (und der technischen VWL) kann es auch als Zusatzfach in Informatik, Physik oder Wirtschaftsmathematik gewählt werden oder als technisches Fach im Master Technomathematik. Die Lehrangebote des Instituts erstrecken sich über mehrere Bereiche.
Das Projekt, an dem Ulrike Leyn für lange Zeit gearbeitet hat und das gerade abgeschlossen wurde, soll die Möglichkeit bieten, Verkehrs-Simulation auf Computern so zu verwenden, dass man sie einfacher als Ergänzung bzw. Ersatz der Richtlinien im Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen (HBS) einsetzen kann. Diese Richtlinie hilft die Qualitätsstufe von Anlagen einzuschätzen.
Allerdings - insbesondere bei Nicht-Standard-Situationen ist es heute schon üblich, statt der stark vereinfachenden Rechnungen nach dieser Richtlinie, Simulationen zu benutzen. Denn die Voraussetzungen für die Anwendung der Richtlinien sind nur dann gegeben, wenn auch vorher Richtlinen-getreu gebaut wurde für Normalverkehrssituationen. Ein Schwerpunkt der Untersuchungen waren Autobahnen, wo z.B. Ein- und Ausfahrten und starke Anstiege besondere Herausforderungen an die Modellierung stellen. Das Ziel war kurz gesagt das Finden von Parametern, bei denen die durch Simulation erzeugten Ergebnisse denen nach der Richtlinie berechneten entsprechen.
Das klingt einfacher als es ist. Ein generelles Problem ist beispielsweise, dass es häufig nicht genug verlässliche Verkehrsdaten gibt bzw. die Güte der Daten nicht offensichtlich ist. Trotzdem soll mit den so gefundenen Einstellungen der Realität möglichst gut entsprechende Simulationen möglich werden - sogar falls keine Daten vorhanden sind - wenn man nun mit den Einstellungen arbeitet, die im Projekt gefunden wurden. Die Parameter sind zugeschnitten auf die Situation auf deutschen Autobahnen (also auch ohne Tempolimit). Der Einfluss verschieden großer Anteile von Schwerverkehr auf der Autobahn wurde untersucht und als etwas vereinfachender Standard dann 10% gewählt. Es gibt neben Standard-LKWs auch längere Zugverbände, die dann mehr Platz brauchen. Das wird auch beim Einfädeln relevant.
Bei der Bewertung der Güte der Modelle werden vor allem Endergebnisse von Simulationen für festgelegte makroskopische Größen wie z.B. die Kapazität der Strecke (nämlich typischerweise etwa 2000 PKW-Einheiten pro Fahrstreifen pro Stunde) zugrunde gelegt. Das Messen der Kapazität ist aber gar nicht so einfach, weil man eigentlich nur konkrete Fahrzeuganzahlen pro Zeit- oder Raumeinheit der Simulation oder der Realität entnehmen kann. Die Kapazität ist die Obergrenze für realisierbare Dichten, also das, was kurz vor dem Zusammenbrechen des Verkehrs als maximaler Zustand vorliegt. Eine Verkehrssimulation zum zusammenbrechen zu bringen ist aber nicht so einfach, weil es nicht vorgesehen ist.
Verkehrswesen hat viele sehr unterschiedliche Aspekte. Sie reichen von sehr technisch motivierten Arbeitsbildern zu mehr soziologisch geprägten. Letztere sind z.B. Fragen, warum Wege zurückgelegt werden, wie Verkehrsmittel ausgewählt werden und Veränderungen hierbei. Außerdem sind u.a. autonomes Fahren und Elektromobilität neue und spannende Themen.
Literatur und weiterführende Informationen
HBS-konforme Simulation des Verkehrsablaufs auf Autobahnen
Informationen für Studieninteressierte Wirtschaftswissenschaften am KIT
Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen
Podcasts
G.Heller: Klothoiden, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 50, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/klothoiden
H.Benner: Fußgänger, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 43, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/fussgaenger
L. Osovtsova: Logistik und Big Data, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 33, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/logistik
M. Petersen: Unfallvorhersage, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 29, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/unfallvorhersage
T. Arens: Lärmschutz, Gespräch mit S. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 16, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/laermschutz
42 Minuten
Sebastian Ziesche hat bei Martin Zerner an der Universität in Tübingen Perkolationstheorie kennen gelernt und sich von der Faszination seines akademischen Lehrers anstecken lassen. Er hat nach dem Diplom in Karlsruhe in der Arbeitsgruppe von Günther Last das Vorhaben verfolgt, die Perkolationsmethoden auf zufällige Mosaike zu erweitern und darüber zu promovieren. Dieses Projekt hat er Anfang 2016 erfolgreich abgeschlossen.
Perkolation ist ein Modell der statistischen Physik zur Modellierung poröser Strukturen mit Hilfe von Zufallsprozessen. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von Durchlässigkeit. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelmäßiges Gitter z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zufällig und unabhängig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie groß Zusammenhangskomponenten in so einer Struktur sein können. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen.
Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren Durchmesser oder Volumen. In der Regel eignet sich das Zählen von Knoten gut als Entfernungsmaß. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich groß sein können erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unendlich große Cluster gibt, hängt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abhängen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben können. Nach Überschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich großes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen.
Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualität, da immer entweder die vorhandenen oder die gelöschten Knoten einen unendlich großen Cluster bilden (außer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen könnten unendlich große Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist.
Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, Würfel der Kantenlänge n als Repräsentanten in allen möglichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verfügbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich große Gebiet zu schließen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich großer Cluster. Die FKG-Ungleichung ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug.
Sebastian Ziesche hat die Perkolationstheorie, die auf Gittern verstanden ist, auf zufällige Graphen erweitert. In einem zweistufigen Prozess wird also zunächst ein zufälliges Gitter erzeugt, das dann ausgedünnt wird. Ein Beispiel ist ein Voronoi-Mosaik. Die Methoden der klassischen Perkolationstheorie müssen durch Methoden ergänzt werden, die die besonderen geometrische Eigenschaften ausnutzen.
In unserem Gespräch unterhielten wir uns außerdem darüber, wie wichtig es ist, dass Wissenschaftler den richtigen Rahmen finden, um junge Leute für ihre Themen zu begeistern und dass die Arbeit am Promotionsprojekt durchaus nicht geradlinig ist sondern von (postiven wie negativen) Überraschungen geprägt ist. Vieles lässt sich zu Beginn nicht absehen.
Literatur und weiterführende Informationen
G.R. Grimmett: Perkolation, Springer, 1999.
A. Okabe et al.: Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, 2nd Ed., Wiley, 2000.
Podcasts
A. August: Metallschaum, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 37, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/metallschaum
Perkolation ist ein Modell der statistischen Physik zur Modellierung poröser Strukturen mit Hilfe von Zufallsprozessen. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von Durchlässigkeit. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelmäßiges Gitter z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zufällig und unabhängig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie groß Zusammenhangskomponenten in so einer Struktur sein können. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen.
Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren Durchmesser oder Volumen. In der Regel eignet sich das Zählen von Knoten gut als Entfernungsmaß. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich groß sein können erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es unendlich große Cluster gibt, hängt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abhängen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben können. Nach Überschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich großes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen.
Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualität, da immer entweder die vorhandenen oder die gelöschten Knoten einen unendlich großen Cluster bilden (außer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen könnten unendlich große Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist.
Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, Würfel der Kantenlänge n als Repräsentanten in allen möglichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verfügbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich große Gebiet zu schließen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich großer Cluster. Die FKG-Ungleichung ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug.
Sebastian Ziesche hat die Perkolationstheorie, die auf Gittern verstanden ist, auf zufällige Graphen erweitert. In einem zweistufigen Prozess wird also zunächst ein zufälliges Gitter erzeugt, das dann ausgedünnt wird. Ein Beispiel ist ein Voronoi-Mosaik. Die Methoden der klassischen Perkolationstheorie müssen durch Methoden ergänzt werden, die die besonderen geometrische Eigenschaften ausnutzen.
In unserem Gespräch unterhielten wir uns außerdem darüber, wie wichtig es ist, dass Wissenschaftler den richtigen Rahmen finden, um junge Leute für ihre Themen zu begeistern und dass die Arbeit am Promotionsprojekt durchaus nicht geradlinig ist sondern von (postiven wie negativen) Überraschungen geprägt ist. Vieles lässt sich zu Beginn nicht absehen.
Literatur und weiterführende Informationen
G.R. Grimmett: Perkolation, Springer, 1999.
A. Okabe et al.: Spatial Tessellations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, 2nd Ed., Wiley, 2000.
Podcasts
A. August: Metallschaum, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 37, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/metallschaum
33 Minuten
Sandra May works at the Seminar for Applied Mathematics at ETH Zurich and visited Karlsruhe for a talk at the CRC Wave phenomena. Her research is in numerical analysis, more specifically in numerical methods for solving PDEs. The focus is on hyperbolic PDEs and systems of conservation laws. She is both interested in theoretical aspects (such as proving stability of a certain method) and practical aspects (such as working on high-performance implementations of algorithms). Sandra May graduated with a PhD in Mathematics from the Courant Institute of Mathematical Sciences (part of New York University) under the supervision of Marsha Berger. She likes to look back on the multicultural working and learning experience there.
We talked about the numerical treatment of complex geometries. The main problem is that it is difficult to automatically generate grids for computations on the computer if the shape of the boundary is complex. Examples for such problems are the simulation of airflow around airplanes, trucks or racing cars. Typically, the approach for these flow simulations is to put the object in the middle of the grid. Appropriate far-field boundary conditions take care of the right setting of the finite computational domain on the outer boundary (which is cut from an infinite model). Typically in such simulations one is mainly interested in quantities close to the boundary of the object.
Instead of using an unstructured or body-fitted grid, Sandra May is using a Cartesian embedded boundary approach for the grid generation: the object with complex geometry is cut out of a Cartesian background grid, resulting in so called cut cells where the grid intersects the object and Cartesian cells otherwise. This approach is fairly straightforward and fully automatic, even for very complex geometries. The price to pay comes in shape of the cut cells which need special treatment. One particular challenge is that the cut cells can become arbitrarily small since a priori their size is not bounded from below. Trying to eliminate cut cells that are too small leads to additional problems which conflict with the goal of a fully automatic grid generation in 3d, which is why Sandra May keeps these potentially very small cells and develops specific strategies instead.
The biggest challenge caused by the small cut cells is the small cell problem: easy to implement (and therefore standard) explicit time stepping schemes are only stable if a CFL condition is satisfied; this condition essentially couples the time step length to the spatial size of the cell. Therefore, for the very small cut cells one would need to choose tiny time steps, which is computationally not feasible. Instead, one would like to choose a time step appropriate for the Cartesian cells and use this same time step on cut cells as well.
Sandra May and her co-workers have developed a mixed explicit implicit scheme for this purpose: to guarantee stability on cut cells, an implicit time stepping method is used on cut cells. This idea is similar to the approach of using implicit time stepping schemes for solving stiff systems of ODEs. As implicit methods are computationally more expensive than explicit methods, the implicit scheme is only used where needed (namely on cut cells and their direct neighbors). In the remaining part of the grid (the vast majority of the grid cells), a standard explicit scheme is used. Of course, when using different schemes on different cells, one needs to think about a suitable way of coupling them.
The mixed explicit implicit scheme has been developed in the context of Finite Volume methods. The coupling has been designed with the goals of mass conservation and stability and is based on using fluxes to couple the explicit and the implicit scheme. This way, mass conservation is guaranteed by construction (no mass is lost). In terms of stability of the scheme, it can be shown that using a second-order explicit scheme coupled to a first-order implicit scheme by flux bounding results in a TVD stable method. Numerical results for coupling a second-order explicit scheme to a second-order implicit scheme show second-order convergence in the L^1 norm and between first- and second-order convergence in the maximum norm along the surface of the object in two and three dimensions.
We also talked about the general issue of handling shocks in numerical simulations properly: in general, solutions to nonlinear hyperbolic systems of conservation laws such as the Euler equations contain shocks and contact discontinuities, which in one dimension express themselves as jumps in the solution. For a second-order finite volume method, typically slopes are reconstructed on each cell. If one reconstructed these slopes using e.g. central difference quotients in one dimension close to shocks, this would result in oscillations and/or unphysical results (like negative density). To avoid this, so called slope limiters are typically used. There are two main ingredients to a good slope limiter (which is applied after an initial polynomial based on interpolation has been generated): first, the algorithm (slope limiter) needs to detect whether the solution in this cell is close to a shock or whether the solution is smooth in the neighborhood of this cell. If the algorithm thinks that the solution is close to a shock, the algorithm reacts and adjusts the reconstruted polynomial appropriately. Otherwise, it sticks with the polynomial based on interpolation. One commonly used way in one dimension to identify whether one is close to a shock or not is to compare the values of a right-sided and a left-sided difference quotient. If they differ too much the solution is (probably) not smooth there. Good reliable limiters are really difficult to find.
Literature and additional material
S. May, M. Berger: An Explicit Implicit Scheme for Cut Cells in Embedded Boundary Meshes, Preprint available as SAM report, number 2015-44, 2015.
S. May, M. Berger: A mixed explicit implicit time stepping scheme for Cartesian embedded boundary meshes, Finite Volumes for Complex Applications VII - Methods and Theoretical Aspects, pp. 393-400, Springer, 2014.
S. May, M. Berger: Two-dimensional slope limiters for finite volume schemes on non-coordinate-aligned meshes, SIAM J. Sci. Comput. 35 (5) pp. A2163-A2187, 2013.
We talked about the numerical treatment of complex geometries. The main problem is that it is difficult to automatically generate grids for computations on the computer if the shape of the boundary is complex. Examples for such problems are the simulation of airflow around airplanes, trucks or racing cars. Typically, the approach for these flow simulations is to put the object in the middle of the grid. Appropriate far-field boundary conditions take care of the right setting of the finite computational domain on the outer boundary (which is cut from an infinite model). Typically in such simulations one is mainly interested in quantities close to the boundary of the object.
Instead of using an unstructured or body-fitted grid, Sandra May is using a Cartesian embedded boundary approach for the grid generation: the object with complex geometry is cut out of a Cartesian background grid, resulting in so called cut cells where the grid intersects the object and Cartesian cells otherwise. This approach is fairly straightforward and fully automatic, even for very complex geometries. The price to pay comes in shape of the cut cells which need special treatment. One particular challenge is that the cut cells can become arbitrarily small since a priori their size is not bounded from below. Trying to eliminate cut cells that are too small leads to additional problems which conflict with the goal of a fully automatic grid generation in 3d, which is why Sandra May keeps these potentially very small cells and develops specific strategies instead.
The biggest challenge caused by the small cut cells is the small cell problem: easy to implement (and therefore standard) explicit time stepping schemes are only stable if a CFL condition is satisfied; this condition essentially couples the time step length to the spatial size of the cell. Therefore, for the very small cut cells one would need to choose tiny time steps, which is computationally not feasible. Instead, one would like to choose a time step appropriate for the Cartesian cells and use this same time step on cut cells as well.
Sandra May and her co-workers have developed a mixed explicit implicit scheme for this purpose: to guarantee stability on cut cells, an implicit time stepping method is used on cut cells. This idea is similar to the approach of using implicit time stepping schemes for solving stiff systems of ODEs. As implicit methods are computationally more expensive than explicit methods, the implicit scheme is only used where needed (namely on cut cells and their direct neighbors). In the remaining part of the grid (the vast majority of the grid cells), a standard explicit scheme is used. Of course, when using different schemes on different cells, one needs to think about a suitable way of coupling them.
The mixed explicit implicit scheme has been developed in the context of Finite Volume methods. The coupling has been designed with the goals of mass conservation and stability and is based on using fluxes to couple the explicit and the implicit scheme. This way, mass conservation is guaranteed by construction (no mass is lost). In terms of stability of the scheme, it can be shown that using a second-order explicit scheme coupled to a first-order implicit scheme by flux bounding results in a TVD stable method. Numerical results for coupling a second-order explicit scheme to a second-order implicit scheme show second-order convergence in the L^1 norm and between first- and second-order convergence in the maximum norm along the surface of the object in two and three dimensions.
We also talked about the general issue of handling shocks in numerical simulations properly: in general, solutions to nonlinear hyperbolic systems of conservation laws such as the Euler equations contain shocks and contact discontinuities, which in one dimension express themselves as jumps in the solution. For a second-order finite volume method, typically slopes are reconstructed on each cell. If one reconstructed these slopes using e.g. central difference quotients in one dimension close to shocks, this would result in oscillations and/or unphysical results (like negative density). To avoid this, so called slope limiters are typically used. There are two main ingredients to a good slope limiter (which is applied after an initial polynomial based on interpolation has been generated): first, the algorithm (slope limiter) needs to detect whether the solution in this cell is close to a shock or whether the solution is smooth in the neighborhood of this cell. If the algorithm thinks that the solution is close to a shock, the algorithm reacts and adjusts the reconstruted polynomial appropriately. Otherwise, it sticks with the polynomial based on interpolation. One commonly used way in one dimension to identify whether one is close to a shock or not is to compare the values of a right-sided and a left-sided difference quotient. If they differ too much the solution is (probably) not smooth there. Good reliable limiters are really difficult to find.
Literature and additional material
S. May, M. Berger: An Explicit Implicit Scheme for Cut Cells in Embedded Boundary Meshes, Preprint available as SAM report, number 2015-44, 2015.
S. May, M. Berger: A mixed explicit implicit time stepping scheme for Cartesian embedded boundary meshes, Finite Volumes for Complex Applications VII - Methods and Theoretical Aspects, pp. 393-400, Springer, 2014.
S. May, M. Berger: Two-dimensional slope limiters for finite volume schemes on non-coordinate-aligned meshes, SIAM J. Sci. Comput. 35 (5) pp. A2163-A2187, 2013.
39 Minuten
Jens Babutzka hat Anfang 2016 seine Promotion an der KIT-Fakultät für Mathematik verteidigt. Das Gespräch dreht sich um einen Teil seiner Forschungsarbeit - dem Nachweis der Gültigkeit der sogenannten Helmholtz Zerlegung im Kontext von Gebieten mit einer sich periodisch wiederholenden Geometrie. Das lässt sich für die Untersuchung von photonischen Kristallen ausnutzen unter der Wirkung einer Zeit-harmonischen Wellengleichung.
Für die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen auf Lösbarkeit, Eindeutigkeit der Lösungen und deren Regularität gibt es verschiedene Grundwerkzeuge. Eines ist die Helmholtz Zerlegung. Falls sie in einem Raum möglich ist, kann man jedes Vektorfeld des Raumes eindeutig aufteilen in zwei Anteile: einen Gradienten und einen zweiten Teil, der unter der Anwendung der Divergenz das Ergebnis Null hat (man nennt das auch divergenzfrei).
Wann immer Objekte miteinander skalar multipliziert werden, von denen eines ein Gradient ist und das andere divergenzfrei, ist das Ergebnis Null. Anders ausgedrückt: sie stehen senkrecht aufeinander.
Die Untersuchung der partiellen Differentialgleichung lässt sich dann vereinfachen, indem eine Projektion auf den Teilraum der divergenzfreien Funktionen erfolgt und erst im Anschluss die Gradienten wieder "dazu" genommen, also gesondert behandelt werden. Da die Eigenschaft divergenzfrei auch physikalisch als Quellenfreiheit eine Bedeutung hat und alle Gradienten wirbelfrei sind, ist für verschiedene Anwendungsfälle sowohl mathematisch als auch physikalisch motivierbar, dass die Aufteilung im Rahmen der Helmholtz Zerlegung hilfreich ist.
Im Kontext der Strömungsmechanik ist die Bedingung der Divergenzfreiheit gleichbedeutend mit Inkompressibilität des fließenden Materials (dh. Volumina ändern sich nicht beim Einwirken mechanischer Kräfte). Für das Maxwell-System kann es sowohl für das magnetische als auch für das elektrische Feld Divergenzfreiheitsbedingungen geben.
Ob die Helmholtz Zerlegung existiert, ist im Prinzip für viele Räume interessant. Grundbausteine für die Behandlung der partiellen Differentialgleichungen im Kontext der Funktionalanalysis sind die Lebesgue-Räume Lq(Ω). Eine (verallgemeinerte) Funktion ist in Lq(Ω), wenn das Integral (des Betrags) der q-ten Potenz der Funktion über Omega existiert. Eine Sonderrolle spielt hier der Fall q=2, weil dieser Raum ein Skalarprodukt hat. Das gibt ihm eine sehr klare Struktur. Darüber hinaus ist er zu sich selbst dual. Unter anderem führt das dazu, dass die Helmholtz Zerlegung in L2(Ω) für beliebige Gebiete Ω mit genügend glattem Rand immer existiert. Wenn q nicht 2 ist, sind Gebiete Ω bekannt, in denen die Helmholtz Zerlegung existiert, aber auch Gegenbeispiele.
Insbesondere bei der Behandlung von nichtlinearen Problemen reicht es aber häufig nicht, sich auf den Fall q=2 zu beschränken, sondern die Helmholtz Zerlegung für möglichst viele q wird eine wesentliche Voraussetzung für die weitere Theorie. Das liegt u.a. an der dann verfügbaren Einbettung in Räume mit punktweisen Eigenschaften.
Jens Babutzka hat in seiner Promotion unter anderem bewiesen, dass die Helmholtz Zerlegung für Lq-Räume für die Gebiete mit einer sich periodisch wiederholenden Struktur gilt. Mathematisch muss er hierfür nachweisen, dass das schwache Neumannproblem immer eine (bis auf Konstanten) eindeutige Lösung hat in Lq.
Dabei hilft ihm die periodische Struktur der Geometrie. Mithilfe eines erst kürzlich bewiesenen Theorems von Bernhard Barth über Blochoperatoren kann er das Problem auf eine Familie von Phasenoperatoren auf der (beschränkten) periodischen Zelle reduzieren. Falls diese Operatoren regulär genug sind, lassen sie sich fortsetzen von L2 auf Lq. Anschließend überprüft er, ob die so erzeugte Abbildung auch wirklich die Helmhotz Zerlegung ist. Hier ist ein wesentliches Hilfsmittel, dass unendlich glatte Funktionen mit kompaktem Träger dicht in den Teilräumen liegen. Außerdem ist die Fouriertheorie in der besonderen Form der Blochoperatoren hilfreich. Sie hilft später auch beim Auffinden des Spektrums des betrachteten Wellenoperators.
Für beschränkte Gebiete hängt es im Wesentlichen von der Glattheit des Randes ab, ob die Helmholtz Zerlegung in Lq gilt. Das liegt u.a. daran, dass man in der Lage sein muss, eine eindeutige Normalenrichtung für jeden Punkt des Randes zu finden. Für Knicke im Rand kann es hier Probleme geben, die dazu führen, dass das schwache Neumann Problem nur noch für q in einem kleineren Intervallbereich I lösbar ist, und nicht mehr für alle q zwischen 1 und ∞ wie das bei glattem Rand der Fall ist.
Literatur und weiterführende Informationen
A. Figotin and P. Kuchment: Band-Gap Structure of Spectra of Periodic Dielectric and Acoustic Media. II. Two-Dimensional Photonic Crystals, SIAM J. Appl. Math., 56, 1561–1620, 1995.
P. Galdi: An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations - Steady-State Problems, Springer, 2011.
B. Barth: The Bloch Transform on Lp-Spaces, KIT-Dissertation, 2013.
W. Dörlfer e.a: Photonic Crystals: Mathematical Analysis and Numerical Approximation, Birkhäuser, 2011.
M. Geissert e.a.: Weak Neumann implies Stokes, Journal für die reine und angewandte Mathematik 669, 75–100, 2012.
Quellen für physikalische Grundlagen
A. Birner e.a.: Photonische Kristalle, Physikalische Blätter 55 (1999), 27-33, 1999.
Photonische Kristalle
Für die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen auf Lösbarkeit, Eindeutigkeit der Lösungen und deren Regularität gibt es verschiedene Grundwerkzeuge. Eines ist die Helmholtz Zerlegung. Falls sie in einem Raum möglich ist, kann man jedes Vektorfeld des Raumes eindeutig aufteilen in zwei Anteile: einen Gradienten und einen zweiten Teil, der unter der Anwendung der Divergenz das Ergebnis Null hat (man nennt das auch divergenzfrei).
Wann immer Objekte miteinander skalar multipliziert werden, von denen eines ein Gradient ist und das andere divergenzfrei, ist das Ergebnis Null. Anders ausgedrückt: sie stehen senkrecht aufeinander.
Die Untersuchung der partiellen Differentialgleichung lässt sich dann vereinfachen, indem eine Projektion auf den Teilraum der divergenzfreien Funktionen erfolgt und erst im Anschluss die Gradienten wieder "dazu" genommen, also gesondert behandelt werden. Da die Eigenschaft divergenzfrei auch physikalisch als Quellenfreiheit eine Bedeutung hat und alle Gradienten wirbelfrei sind, ist für verschiedene Anwendungsfälle sowohl mathematisch als auch physikalisch motivierbar, dass die Aufteilung im Rahmen der Helmholtz Zerlegung hilfreich ist.
Im Kontext der Strömungsmechanik ist die Bedingung der Divergenzfreiheit gleichbedeutend mit Inkompressibilität des fließenden Materials (dh. Volumina ändern sich nicht beim Einwirken mechanischer Kräfte). Für das Maxwell-System kann es sowohl für das magnetische als auch für das elektrische Feld Divergenzfreiheitsbedingungen geben.
Ob die Helmholtz Zerlegung existiert, ist im Prinzip für viele Räume interessant. Grundbausteine für die Behandlung der partiellen Differentialgleichungen im Kontext der Funktionalanalysis sind die Lebesgue-Räume Lq(Ω). Eine (verallgemeinerte) Funktion ist in Lq(Ω), wenn das Integral (des Betrags) der q-ten Potenz der Funktion über Omega existiert. Eine Sonderrolle spielt hier der Fall q=2, weil dieser Raum ein Skalarprodukt hat. Das gibt ihm eine sehr klare Struktur. Darüber hinaus ist er zu sich selbst dual. Unter anderem führt das dazu, dass die Helmholtz Zerlegung in L2(Ω) für beliebige Gebiete Ω mit genügend glattem Rand immer existiert. Wenn q nicht 2 ist, sind Gebiete Ω bekannt, in denen die Helmholtz Zerlegung existiert, aber auch Gegenbeispiele.
Insbesondere bei der Behandlung von nichtlinearen Problemen reicht es aber häufig nicht, sich auf den Fall q=2 zu beschränken, sondern die Helmholtz Zerlegung für möglichst viele q wird eine wesentliche Voraussetzung für die weitere Theorie. Das liegt u.a. an der dann verfügbaren Einbettung in Räume mit punktweisen Eigenschaften.
Jens Babutzka hat in seiner Promotion unter anderem bewiesen, dass die Helmholtz Zerlegung für Lq-Räume für die Gebiete mit einer sich periodisch wiederholenden Struktur gilt. Mathematisch muss er hierfür nachweisen, dass das schwache Neumannproblem immer eine (bis auf Konstanten) eindeutige Lösung hat in Lq.
Dabei hilft ihm die periodische Struktur der Geometrie. Mithilfe eines erst kürzlich bewiesenen Theorems von Bernhard Barth über Blochoperatoren kann er das Problem auf eine Familie von Phasenoperatoren auf der (beschränkten) periodischen Zelle reduzieren. Falls diese Operatoren regulär genug sind, lassen sie sich fortsetzen von L2 auf Lq. Anschließend überprüft er, ob die so erzeugte Abbildung auch wirklich die Helmhotz Zerlegung ist. Hier ist ein wesentliches Hilfsmittel, dass unendlich glatte Funktionen mit kompaktem Träger dicht in den Teilräumen liegen. Außerdem ist die Fouriertheorie in der besonderen Form der Blochoperatoren hilfreich. Sie hilft später auch beim Auffinden des Spektrums des betrachteten Wellenoperators.
Für beschränkte Gebiete hängt es im Wesentlichen von der Glattheit des Randes ab, ob die Helmholtz Zerlegung in Lq gilt. Das liegt u.a. daran, dass man in der Lage sein muss, eine eindeutige Normalenrichtung für jeden Punkt des Randes zu finden. Für Knicke im Rand kann es hier Probleme geben, die dazu führen, dass das schwache Neumann Problem nur noch für q in einem kleineren Intervallbereich I lösbar ist, und nicht mehr für alle q zwischen 1 und ∞ wie das bei glattem Rand der Fall ist.
Literatur und weiterführende Informationen
A. Figotin and P. Kuchment: Band-Gap Structure of Spectra of Periodic Dielectric and Acoustic Media. II. Two-Dimensional Photonic Crystals, SIAM J. Appl. Math., 56, 1561–1620, 1995.
P. Galdi: An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations - Steady-State Problems, Springer, 2011.
B. Barth: The Bloch Transform on Lp-Spaces, KIT-Dissertation, 2013.
W. Dörlfer e.a: Photonic Crystals: Mathematical Analysis and Numerical Approximation, Birkhäuser, 2011.
M. Geissert e.a.: Weak Neumann implies Stokes, Journal für die reine und angewandte Mathematik 669, 75–100, 2012.
Quellen für physikalische Grundlagen
A. Birner e.a.: Photonische Kristalle, Physikalische Blätter 55 (1999), 27-33, 1999.
Photonische Kristalle
31 Minuten
Mathematik mit Kunst und Design erklären - das war ein Ziel des Cooking Math-Projekts.
Robert Winkler forscht an der Fakultät für Mathematik zu numerischen Verfahren für schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. Elektrische Impedanztomographie genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengeführt.
Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfläche eines Körpers Rückschlüsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die elektrische Leitfähigkeit im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der Körperoberfläche hat. Aus physikalischen Zusammenhängen (hier Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberflächenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorwärtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte inverse Problem - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schließen.
Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitfähigkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Außerdem ist er instabil, das heißt kleine Messfehler können dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitfähigkeit haben. Daher müssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch lösen und dabei diese Nichtlinearität stabil behandeln können.
Etabliert und sehr effektiv ist dabei das Newtonverfahren. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der Nähe der Nullstelle den Tangenten an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu nähern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschlüsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis heißt, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der gültigen Stellen verdoppelt. Großer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Schätzung für die Nullstelle liefert). Außerdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es natürlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am nächsten vom Startwert liegt.
Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss natürlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine Linearisierung der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. Der Kontext, in dem das recht gut möglich ist, ist die schwache Formulierung der partiellen Differentialgleichung. Der passende Begriff ist dann die Fréchet-Ableitung. Betrachtet man das Problem mathematisch in einem Raum mit Skalarprodukt (Hilbertraum), kann die Linearisierung mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten behandelt werden. Dieses Verfahren findet besonders schnell eine gute Näherung an die gesuchte Lösung, indem es sich Eigenschaften des Skalarprodukts zunutze macht und die aktuelle Näherung schrittweise in besonders "effektive" Richtungen verbessert.
Um das lineare Problem stabiler zu machen, nutzt man Regularisierungen und geht von vornherein davon aus, dass man durch Fehler in den Daten und im Modell ohnehin in der Genauigkeit eingeschränkt ist und in der numerischen Lösung nicht versuchen sollte, mehr Genauigkeit vorzutäuschen. Eine typische Regularisierung bei der Elektrische Impedanztomographie ist die Erwartung, dass die Leitfähigkeit stückweise konstant ist, weil jedes Material eine zugehörige Konstante besitzt.
Im zugehörigen Cooking Math-Projekt soll der Modellerierungs- und Lösungsfindungsprozess visualisiert werden. Eine Idee hierfür ist das Spiel "Topfschlagen".
Literatur und weiterführende Informationen
R. Winkler, A. Rieder: Model-Aware Newton-Type Inversion Scheme for Electrical Impedance Tomography, Preprint 14/04 am Institut für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung, KIT, 2014. (Eingereicht zur Veröffentlichung in Inverse Problems 31, (2015) 045009).
O. Scherzer: Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-92919-4, 2011.
Podcasts
S. Hollborn: Impedanztomographie, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 68, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/impedanztomographie
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/zeitintegration
D. Hipp: Dynamische Randbedingungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 83, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/dynamische-randbedingungen
Robert Winkler forscht an der Fakultät für Mathematik zu numerischen Verfahren für schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. Elektrische Impedanztomographie genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengeführt.
Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfläche eines Körpers Rückschlüsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die elektrische Leitfähigkeit im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der Körperoberfläche hat. Aus physikalischen Zusammenhängen (hier Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberflächenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorwärtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte inverse Problem - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schließen.
Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitfähigkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Außerdem ist er instabil, das heißt kleine Messfehler können dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitfähigkeit haben. Daher müssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch lösen und dabei diese Nichtlinearität stabil behandeln können.
Etabliert und sehr effektiv ist dabei das Newtonverfahren. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der Nähe der Nullstelle den Tangenten an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu nähern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschlüsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis heißt, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der gültigen Stellen verdoppelt. Großer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Schätzung für die Nullstelle liefert). Außerdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es natürlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am nächsten vom Startwert liegt.
Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss natürlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine Linearisierung der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. Der Kontext, in dem das recht gut möglich ist, ist die schwache Formulierung der partiellen Differentialgleichung. Der passende Begriff ist dann die Fréchet-Ableitung. Betrachtet man das Problem mathematisch in einem Raum mit Skalarprodukt (Hilbertraum), kann die Linearisierung mit dem Verfahren der konjugierten Gradienten behandelt werden. Dieses Verfahren findet besonders schnell eine gute Näherung an die gesuchte Lösung, indem es sich Eigenschaften des Skalarprodukts zunutze macht und die aktuelle Näherung schrittweise in besonders "effektive" Richtungen verbessert.
Um das lineare Problem stabiler zu machen, nutzt man Regularisierungen und geht von vornherein davon aus, dass man durch Fehler in den Daten und im Modell ohnehin in der Genauigkeit eingeschränkt ist und in der numerischen Lösung nicht versuchen sollte, mehr Genauigkeit vorzutäuschen. Eine typische Regularisierung bei der Elektrische Impedanztomographie ist die Erwartung, dass die Leitfähigkeit stückweise konstant ist, weil jedes Material eine zugehörige Konstante besitzt.
Im zugehörigen Cooking Math-Projekt soll der Modellerierungs- und Lösungsfindungsprozess visualisiert werden. Eine Idee hierfür ist das Spiel "Topfschlagen".
Literatur und weiterführende Informationen
R. Winkler, A. Rieder: Model-Aware Newton-Type Inversion Scheme for Electrical Impedance Tomography, Preprint 14/04 am Institut für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung, KIT, 2014. (Eingereicht zur Veröffentlichung in Inverse Problems 31, (2015) 045009).
O. Scherzer: Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-92919-4, 2011.
Podcasts
S. Hollborn: Impedanztomographie, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 68, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/impedanztomographie
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/zeitintegration
D. Hipp: Dynamische Randbedingungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 83, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/dynamische-randbedingungen
42 Minuten
David Hipp hat am Projekt Cooking Math mitgearbeitet. In seinem darin vorgestellten Forschungsprojekt betrachtet er eine relativ einfache Form der Wellengleichung, die jedoch gut für die Beschreibung von akustischen Wellen geeignet ist. Die Gleichung beschreibt die Wellenausbreitung im Raum mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung. Die Lösung der Wellengleichung ist eine Funktion deren Variablen die Zeit und der Ort sind. Konkret werden in der Gleichung zeitliche und räumliche Änderungen des Zustands, also der Funktion, in Beziehung gesetzt, um die Wellenausbreitung zu beschreiben.
Das mathematische Modell für Wellenausbreitung in beschränkten Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes.
Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfläche am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder gestreut werden können - je nachdem welche Materialeigenschaften der Rand hat.
David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum. Klassisch wird häufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung gewählt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand erlauben..
Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das kann dann sogar zu Oberflächenwellen auf der Wand führen.
Konventionelle numerische Verfahren müssen auf diese neuartigen Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit klassichen Zeitschrittverfahren zurückgreifen, jedoch muss geprüft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse liefern, wie man sie von üblichen Anwendungen gewohnt ist.
Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten können, die dann auch so berücksichtigt werden müssen. Zum Beispiel schwingen die Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment genügt es für seine Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen für unterschiedlichste Materialien möglich zu machen um den verschiedenen Skalen gerecht zu werden.
David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der Hochschule für Gestaltung (HfG) hinein. Schlussendlich ist das vorliegende Ergebnis der Zusammenarbeit mit Oliver Jelko von der HfG eine Mischung aus Lehrvideo zur Mathematik der Wellenausbreitung und professioneller Animation numerischer Testrechnungen für drei unterschiedliche Randbedingungen: Dirichlet, Neumann und akustische Randbedingung. Die akustische Randbedingung ist eine dynamische Randbedingung, die auf der modellhaften Vorstellung beruht, dass die Wand aus vielen winzigen Federn besteht, welche zu schwingen beginnen, wenn sie durch auftreffende akustische Wellen dazu angeregt werden.
Als Mathematiker gehört die visuelle Darstellung der Ergebnisse zu unserer Arbeit und ist z.B. auch eine Form von Verifizierung. Aber die professionelle Animation zu Dirichlet-, Neumann und akustischen Randbedingungen durch einen Gestalter ist leichter zugänglich und erlaubt ein intuitives Verständnis.
Das Video aus dem Cooking Math Projekt
Literatur und Zusatzinformationen
J. T. Beale, S. I. Rosencrans: Acoustic boundary conditions, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 1276-1278, 1974.
S. Larsson, V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2003.
V. Rao: Boundary Condition Thinking, ein populärwissenschaftlicher Zugang zu Randbedingungen, 2011.
R.P. Vito and S.A. Dixon: Blood Vessel Constitutive Models, 1995–2002, Annual Review of Biomedical Engineering 5, 413-439, 2003.
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/zeitintegration
Das mathematische Modell für Wellenausbreitung in beschränkten Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes.
Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfläche am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder gestreut werden können - je nachdem welche Materialeigenschaften der Rand hat.
David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum. Klassisch wird häufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung gewählt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand erlauben..
Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das kann dann sogar zu Oberflächenwellen auf der Wand führen.
Konventionelle numerische Verfahren müssen auf diese neuartigen Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit klassichen Zeitschrittverfahren zurückgreifen, jedoch muss geprüft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse liefern, wie man sie von üblichen Anwendungen gewohnt ist.
Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten können, die dann auch so berücksichtigt werden müssen. Zum Beispiel schwingen die Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment genügt es für seine Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen für unterschiedlichste Materialien möglich zu machen um den verschiedenen Skalen gerecht zu werden.
David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der Hochschule für Gestaltung (HfG) hinein. Schlussendlich ist das vorliegende Ergebnis der Zusammenarbeit mit Oliver Jelko von der HfG eine Mischung aus Lehrvideo zur Mathematik der Wellenausbreitung und professioneller Animation numerischer Testrechnungen für drei unterschiedliche Randbedingungen: Dirichlet, Neumann und akustische Randbedingung. Die akustische Randbedingung ist eine dynamische Randbedingung, die auf der modellhaften Vorstellung beruht, dass die Wand aus vielen winzigen Federn besteht, welche zu schwingen beginnen, wenn sie durch auftreffende akustische Wellen dazu angeregt werden.
Als Mathematiker gehört die visuelle Darstellung der Ergebnisse zu unserer Arbeit und ist z.B. auch eine Form von Verifizierung. Aber die professionelle Animation zu Dirichlet-, Neumann und akustischen Randbedingungen durch einen Gestalter ist leichter zugänglich und erlaubt ein intuitives Verständnis.
Das Video aus dem Cooking Math Projekt
Literatur und Zusatzinformationen
J. T. Beale, S. I. Rosencrans: Acoustic boundary conditions, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 1276-1278, 1974.
S. Larsson, V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2003.
V. Rao: Boundary Condition Thinking, ein populärwissenschaftlicher Zugang zu Randbedingungen, 2011.
R.P. Vito and S.A. Dixon: Blood Vessel Constitutive Models, 1995–2002, Annual Review of Biomedical Engineering 5, 413-439, 2003.
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/zeitintegration
31 Minuten
Die numerische Zeitintegration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen ist an der Fakultät für Mathematik ein großes Forschungsgebiet, insbesondere in dem kürzlich gestarteten Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenphänomene. Das Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren für Probleme zu entwickeln, für die man keine analytische Lösung angeben kann. Patrick Krämer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren für Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen können nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit den Teilchen unter Berücksichtigung relativistischer Effekte beschrieben werden.
Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu wählen.
Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich größere Zeitschrittweiten zulässt.
Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt.
Literatur und Zusatzinformationen
E. Faou, K. Schratz: Asymptotic preserving schemes for the Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit regime, Numerische Mathematik 126.3: 441-469, 2014.
N. Masmoudi, K. Nakanishi: Nonrelativistic limit from Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Dirac to Poisson-Schrödinger, International Mathematics Research Notices 2003.13: 697-734, 2003.
Schwabl, Franz. Quantenmechanik für Fortgeschrittene (qm ii), Springer-Verlag, 2008.
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu wählen.
Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich größere Zeitschrittweiten zulässt.
Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt.
Literatur und Zusatzinformationen
E. Faou, K. Schratz: Asymptotic preserving schemes for the Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit regime, Numerische Mathematik 126.3: 441-469, 2014.
N. Masmoudi, K. Nakanishi: Nonrelativistic limit from Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Dirac to Poisson-Schrödinger, International Mathematics Research Notices 2003.13: 697-734, 2003.
Schwabl, Franz. Quantenmechanik für Fortgeschrittene (qm ii), Springer-Verlag, 2008.
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
16 Minuten
Johannes Eilinghoff befasst sich in seiner Forschung mit mathematischen Fragen in der Quantenmechanik und war mit diesem Thema am Projekt Cooking Math beteiligt. Das Projekt wurde von Promovierenden im Sonderforschungsbereich Wellenphänomene (SFB) an der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt. Kurz vor unserem Gespräch - im November 2015 - waren das Projekt Cooking Math und die entstandenen Arbeiten beim 16. Science Slam Karlsruhe zu Gast, der im jubez stattfand.
Die Idee des Projektes ist es, dass Designstudenten von der HfG im Rahmen ihres Studiums die Promotionsprojekte von Mathematikern als Vorlage nehmen, um deren (Teil-)Inhalte kommunizierend zu gestalten. Vorgängerprojekt und zum Teil Anleihe für die Idee war das Projekt Science Vision von Jill Enders und Chris Spatchek.
Die Motivation des SFB für die Teilnahme war, die mathematische Forschungsarbeit auf ungewohntem Weg zu kommunizieren. Es waren schließlich sechs Mathematik-Doktoranden und acht Designstudierende an dem Projekt beteiligt.
Der Ablauf gestaltete sich wie folgt: An zwei Terminen hielten die Mathematiker Vorträge über ihre Arbeit. Später teilten sich die Designer bestimmte mathematischen Themen (und damit einem der Promovenden) zu und bearbeiteten es in diesen Gruppen weiter.
Johannes Eilinghoff hat mit Christina Vinke zusammengearbeitet. Sie hatte die Idee, zunächst einen für ein Laienpublikum verständlichen Text zu schreiben, der die Grundideen der Arbeit von Johannes beinhaltet. Johannes hatte bis dahin schon Erfahrungen mit Vorträgen für mathematisch Vorgebildete, aber hier war es eine besondere Herausforderung den Spagat zwischen der Korrektheit des Textes und seiner Verständlichkeit zu meistern.
Die endgültige Version entstand in Zusammenarbeit der beiden (auch mit den beiden Betreuern) und in mehreren Iterationsstufen. Sie wurde im Soundstudio von Johannes eingesprochen und in Abschnitte zu je 2-3 Sätzen unterteilt.
Als Visualisiserung des Forschungsgebietes dient außerdem eine auf den Boden gezeichnete Zickzack-Linie, die das Thema von Johannes (Splitting-Verfahren) symbolisiert. Wenn man diese Linie entlangeht, werden jeweils an den Ecken die Teilstrecken die mathematischen Ideen per Kopfhörer vom Band vorgelesen.
Johannes schätzt im Rückblick auch den Einblick in die Arbeit an der Hochschule für Gestaltung.
Text zum Vorsprechen beim Kunstprojekt „Cooking Math“ mit der Hochschule für Gestaltung.
Station 1:
Lieber Zuhörer, mein Name ist Johannes Eilinghoff. Ich bin Doktorand im Fach Mathematik an der technischen Universität in Karlsruhe. Während Sie der Linie vor Ihnen folgen, erkläre ich Ihnen, was ich erforsche und warum Sie auf einer Linie laufen. Ich bin beteiligt an einem großen Rätsel der Wissenschaft: Wir wollen Teilchen aus der Quantenmechanik besser verstehen. Dafür würden wir gerne wissen, wie sich kleinste Teilchen, wie zum Beispiel Elektronen, im Raum bewegen.
Station 2:
Wenn ich mit meiner Arbeit anfange, weiß ich eines so gut wie Sie: Wenn Sie jetzt auf die Uhr schauen, können Sie genau sagen, zu welcher Zeit Sie auf dem Ausgangspunkt gestanden sind. Auch ich kenne die Ausgangszeit und Anfangsposition meiner Elektronen. Was Sie noch nicht wissen, ist, mit welcher Geschwindigkeit Sie sich bewegen werden und zu welchem Zeitpunkt Sie in der Mitte oder am Ende der Linie angelangt sein werden. Genau das interessiert mich in meiner Forschung.
Station 3:
Leider betrachte ich nicht Sie als Forschungsgegenstand. Sie sind schön groß, wunderbar langsam und auf der ausgewiesenen Linie relativ berechenbar. Meine Elektronen sind so klein, dass es so ist als ob Sie, lieber Zuhörer, versuchen würden, eine Maus auf dem Mond zu beobachten. Sie sind flink und tanzen so unberechenbar, dass wir einen Computer und eine mathematische Gleichung brauchen, um das Unmögliche für uns möglich zu machen.
Station 4:
Wir wollen wissen: Zu welcher Zeit ist das Elektron an welchem Ort? Und mit welcher Geschwindigkeit bewegt es sich? Für die Lösung dieser Fragen verfolge ich folgenden Ansatz: Meine Gleichung besteht aus zwei Teilen. Ich weiß, dass jeder meiner beiden Teile mit dem Computer einfach und schnell zu lösen ist. Die Idee ist nun, die gute Lösbarkeit der beiden Teile für mein ursprüngliches Problem zu nutzen. Mein Vorgehen kann man sich vorstellen wie diese Linie auf dem Boden. Es ist einfach, einen Teil eines geraden Wegstücks entlang zu gehen. Wenn Sie das Wegstück immer weiter geradeaus laufen würden, würden Sie die Linie verlassen und nicht ans Ziel kommen.
Station 5:
Um ans Ziel zu kommen, macht mein Computer das Folgende: Er berechnet die Lösung des einen Teils. Diese verwendet er um den anderen Teil zu lösen. Dessen Lösung verwendet er wieder für den ersten Teil und so weiter. Bildlich können Sie sich das wie einen Gang auf dieser Linie vorstellen: Erst nach vorne, dann entlang der Linie nach rechts, dann wieder nach vorne, und wieder nach rechts. So schicke ich meinen Computer über Umwege ans Ziel. Das Schöne an den Umwegen ist, dass er sie wesentlich schneller und leichter berechnen kann.
Station 6:
Dieses Verfahren ist nicht exakt, denn es berechnet nicht die Lösung der ursprünglichen Gleichung, sondern nur die Lösung der beiden Teile. In meiner Forschung versuche ich nun zu beweisen, dass diese Abweichung gering ist. Damit kennen Sie die Thematik meiner Doktorarbeit.
Station 7:
Nun sind Sie am Ende der roten Linie und damit am Ziel angekommen. Hier möchte ich mich für Ihre Aufmerksamkeit bedanken und Ihnen zum Schluss noch verraten: Die Art von Gleichungen, die ich in meiner Forschung betrachte, nennt man Differentialgleichungen.
Literatur und Zusatzinformationen
J. Eilinghoff, R. Schnaubelt, K. Schratz: Fractional error estimates of splitting schemes for the nonlinear Schrödinger Equation.
Wikipediaeintrag zu Splitting-Verfahren
Übersichtsartikel zu Splittingverfahren
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Analysis, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 36, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/analysis
Die Idee des Projektes ist es, dass Designstudenten von der HfG im Rahmen ihres Studiums die Promotionsprojekte von Mathematikern als Vorlage nehmen, um deren (Teil-)Inhalte kommunizierend zu gestalten. Vorgängerprojekt und zum Teil Anleihe für die Idee war das Projekt Science Vision von Jill Enders und Chris Spatchek.
Die Motivation des SFB für die Teilnahme war, die mathematische Forschungsarbeit auf ungewohntem Weg zu kommunizieren. Es waren schließlich sechs Mathematik-Doktoranden und acht Designstudierende an dem Projekt beteiligt.
Der Ablauf gestaltete sich wie folgt: An zwei Terminen hielten die Mathematiker Vorträge über ihre Arbeit. Später teilten sich die Designer bestimmte mathematischen Themen (und damit einem der Promovenden) zu und bearbeiteten es in diesen Gruppen weiter.
Johannes Eilinghoff hat mit Christina Vinke zusammengearbeitet. Sie hatte die Idee, zunächst einen für ein Laienpublikum verständlichen Text zu schreiben, der die Grundideen der Arbeit von Johannes beinhaltet. Johannes hatte bis dahin schon Erfahrungen mit Vorträgen für mathematisch Vorgebildete, aber hier war es eine besondere Herausforderung den Spagat zwischen der Korrektheit des Textes und seiner Verständlichkeit zu meistern.
Die endgültige Version entstand in Zusammenarbeit der beiden (auch mit den beiden Betreuern) und in mehreren Iterationsstufen. Sie wurde im Soundstudio von Johannes eingesprochen und in Abschnitte zu je 2-3 Sätzen unterteilt.
Als Visualisiserung des Forschungsgebietes dient außerdem eine auf den Boden gezeichnete Zickzack-Linie, die das Thema von Johannes (Splitting-Verfahren) symbolisiert. Wenn man diese Linie entlangeht, werden jeweils an den Ecken die Teilstrecken die mathematischen Ideen per Kopfhörer vom Band vorgelesen.
Johannes schätzt im Rückblick auch den Einblick in die Arbeit an der Hochschule für Gestaltung.
Text zum Vorsprechen beim Kunstprojekt „Cooking Math“ mit der Hochschule für Gestaltung.
Station 1:
Lieber Zuhörer, mein Name ist Johannes Eilinghoff. Ich bin Doktorand im Fach Mathematik an der technischen Universität in Karlsruhe. Während Sie der Linie vor Ihnen folgen, erkläre ich Ihnen, was ich erforsche und warum Sie auf einer Linie laufen. Ich bin beteiligt an einem großen Rätsel der Wissenschaft: Wir wollen Teilchen aus der Quantenmechanik besser verstehen. Dafür würden wir gerne wissen, wie sich kleinste Teilchen, wie zum Beispiel Elektronen, im Raum bewegen.
Station 2:
Wenn ich mit meiner Arbeit anfange, weiß ich eines so gut wie Sie: Wenn Sie jetzt auf die Uhr schauen, können Sie genau sagen, zu welcher Zeit Sie auf dem Ausgangspunkt gestanden sind. Auch ich kenne die Ausgangszeit und Anfangsposition meiner Elektronen. Was Sie noch nicht wissen, ist, mit welcher Geschwindigkeit Sie sich bewegen werden und zu welchem Zeitpunkt Sie in der Mitte oder am Ende der Linie angelangt sein werden. Genau das interessiert mich in meiner Forschung.
Station 3:
Leider betrachte ich nicht Sie als Forschungsgegenstand. Sie sind schön groß, wunderbar langsam und auf der ausgewiesenen Linie relativ berechenbar. Meine Elektronen sind so klein, dass es so ist als ob Sie, lieber Zuhörer, versuchen würden, eine Maus auf dem Mond zu beobachten. Sie sind flink und tanzen so unberechenbar, dass wir einen Computer und eine mathematische Gleichung brauchen, um das Unmögliche für uns möglich zu machen.
Station 4:
Wir wollen wissen: Zu welcher Zeit ist das Elektron an welchem Ort? Und mit welcher Geschwindigkeit bewegt es sich? Für die Lösung dieser Fragen verfolge ich folgenden Ansatz: Meine Gleichung besteht aus zwei Teilen. Ich weiß, dass jeder meiner beiden Teile mit dem Computer einfach und schnell zu lösen ist. Die Idee ist nun, die gute Lösbarkeit der beiden Teile für mein ursprüngliches Problem zu nutzen. Mein Vorgehen kann man sich vorstellen wie diese Linie auf dem Boden. Es ist einfach, einen Teil eines geraden Wegstücks entlang zu gehen. Wenn Sie das Wegstück immer weiter geradeaus laufen würden, würden Sie die Linie verlassen und nicht ans Ziel kommen.
Station 5:
Um ans Ziel zu kommen, macht mein Computer das Folgende: Er berechnet die Lösung des einen Teils. Diese verwendet er um den anderen Teil zu lösen. Dessen Lösung verwendet er wieder für den ersten Teil und so weiter. Bildlich können Sie sich das wie einen Gang auf dieser Linie vorstellen: Erst nach vorne, dann entlang der Linie nach rechts, dann wieder nach vorne, und wieder nach rechts. So schicke ich meinen Computer über Umwege ans Ziel. Das Schöne an den Umwegen ist, dass er sie wesentlich schneller und leichter berechnen kann.
Station 6:
Dieses Verfahren ist nicht exakt, denn es berechnet nicht die Lösung der ursprünglichen Gleichung, sondern nur die Lösung der beiden Teile. In meiner Forschung versuche ich nun zu beweisen, dass diese Abweichung gering ist. Damit kennen Sie die Thematik meiner Doktorarbeit.
Station 7:
Nun sind Sie am Ende der roten Linie und damit am Ziel angekommen. Hier möchte ich mich für Ihre Aufmerksamkeit bedanken und Ihnen zum Schluss noch verraten: Die Art von Gleichungen, die ich in meiner Forschung betrachte, nennt man Differentialgleichungen.
Literatur und Zusatzinformationen
J. Eilinghoff, R. Schnaubelt, K. Schratz: Fractional error estimates of splitting schemes for the nonlinear Schrödinger Equation.
Wikipediaeintrag zu Splitting-Verfahren
Übersichtsartikel zu Splittingverfahren
Podcasts
J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
J. Eilinghoff: Analysis, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 36, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/analysis
43 Minuten
Mathematik mit Kunst und Design erklären- das war ein Ziel des Kurses von Jill Enders und Chris Spatschek im Cooking Math-Projekt über das uns die beiden im Gespräch mit Gudrun Thäter und Sebastian Ritterbusch berichten.
Jill und Chris haben an der Hochschule für Gestaltung (HfG) Karlsruhe studiert und mit Science Vision dort ihr Diplom abgeschlossen. Bei Science Vision ging es darum, dass Wissenschaftler und Designer für je eine 10-minütige Präsentation zusammen gebracht wurden, wo die wissenschaftlichen Inhalte ansprechend dargestellt wurden. Das Thema war Jill gut bekannt, da sie das Design der sehr erfolgreichen Science Slams ihrer Schwester Guilia Enders entworfen hatte und schließlich auch die Illustrationen im Bestseller Darm mit Charme erstellte.
Im Rahmen des SFB für Wellenphänomene gab es dann die Initiative ein entsprechendes Projekt als Kurs an der HfG für Doktoranden an der Fakultät für Mathematik zu starten. Im Gegensatz zur Science Vision wurde hier die Art der Darstellung offen gelassen. Gestartet hat das Projekt mit Workshops, bei denen die Designergruppen in die mathematischen Inhalte von den Doktoranden eingeführt wurden. Im Anschluss arbeiteten die von Jill und Chris betreuten Teams aus meisst zwei Designern und einem Mathematiker in Kleingruppen selbstständig.
Eine erste Vorführung der Ergebnisse gab es beim Sommerloch der HfG und die Schlusspräsentation fand anlässlich des 16. Science Slam in Karlsruhe am 5. November 2015 im Jubez Karlsruhe statt.
Eine Ausstellung im Kollegiengebäude Mathematik (und eine weitere Kooperation mit dem SFB) ist für das Jahr 2016 geplant.
Literatur und Zusatzinformationen
Desiree Kabis und Wendy Fox: GRAFIK/NUMERIK, Formeln verwandeln sich in famose Formen, Hochschule für Gestaltung Karlsruhe (HfG), Karlsruher Institut für Technologie (KIT), Cooking Math, 2016.
SFB 1173 Wellenphänomene: Analysis und Numerik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
J. Enders, C. Spatschek: Science Vision Conference, Hochschule für Gestaltung Karlsruhe (HfG), Kalsruher Institut für Technologie (KIT), Universität Heidelberg, 2013.
Jill und Chris haben an der Hochschule für Gestaltung (HfG) Karlsruhe studiert und mit Science Vision dort ihr Diplom abgeschlossen. Bei Science Vision ging es darum, dass Wissenschaftler und Designer für je eine 10-minütige Präsentation zusammen gebracht wurden, wo die wissenschaftlichen Inhalte ansprechend dargestellt wurden. Das Thema war Jill gut bekannt, da sie das Design der sehr erfolgreichen Science Slams ihrer Schwester Guilia Enders entworfen hatte und schließlich auch die Illustrationen im Bestseller Darm mit Charme erstellte.
Im Rahmen des SFB für Wellenphänomene gab es dann die Initiative ein entsprechendes Projekt als Kurs an der HfG für Doktoranden an der Fakultät für Mathematik zu starten. Im Gegensatz zur Science Vision wurde hier die Art der Darstellung offen gelassen. Gestartet hat das Projekt mit Workshops, bei denen die Designergruppen in die mathematischen Inhalte von den Doktoranden eingeführt wurden. Im Anschluss arbeiteten die von Jill und Chris betreuten Teams aus meisst zwei Designern und einem Mathematiker in Kleingruppen selbstständig.
Eine erste Vorführung der Ergebnisse gab es beim Sommerloch der HfG und die Schlusspräsentation fand anlässlich des 16. Science Slam in Karlsruhe am 5. November 2015 im Jubez Karlsruhe statt.
Eine Ausstellung im Kollegiengebäude Mathematik (und eine weitere Kooperation mit dem SFB) ist für das Jahr 2016 geplant.
Literatur und Zusatzinformationen
Desiree Kabis und Wendy Fox: GRAFIK/NUMERIK, Formeln verwandeln sich in famose Formen, Hochschule für Gestaltung Karlsruhe (HfG), Karlsruher Institut für Technologie (KIT), Cooking Math, 2016.
SFB 1173 Wellenphänomene: Analysis und Numerik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.
J. Enders, C. Spatschek: Science Vision Conference, Hochschule für Gestaltung Karlsruhe (HfG), Kalsruher Institut für Technologie (KIT), Universität Heidelberg, 2013.
31 Minuten
Diesmal traf sich Gudrun zum Gespräch mit Anke Pohl, die zur Zeit am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn arbeitet. Das Thema der Unterhaltung ist Mathematisches Quantenchaos. Anke Pohl untersucht nämlich, welchen Zusammenhang die geometrischen und spektralen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben.
Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Flächeninhalt einer Membran (die ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)töne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit später gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenhänge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenhängt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend für mathematische Ansätze.
Aktuelle große Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung über eindeutige Quantenergodizität auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; für den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizität wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung über die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung über das Größenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sjöstrandsche Vermutung über die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Flächen unendlichen Inhalts. Details und weiterführende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den Übersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten.
Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Flüssen, den sogenannten geodätischen Flüssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Als erste, recht elementare, Beispiele für Mannigfaltigkeiten kann man sich zunächst Oberflächen vorstellen. Wenn man auf ihnen Größen definiert hat, die zum Messen von Abständen und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geodäten.
Mathematisch werden die Schwingungen als Lösungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben bzw. mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators. Aus der Anschauung ist klar, dass die Schwingungen von den geometrischen Eigenschaften der Fläche abhängen. Wenn z.B. die Fläche oder Membran eingerissen ist oder ein Loch hat, klingt sie anders als wenn sie geschlossen ist bzw. gut eingespannt ist. Für kompakte Flächen ist bekannt, dass es unendlich viele solcher Eigenfunktionen gibt. Je nach Grad der Offenheit (also z.B. eine Fläche mit Riss oder Loch) ist es jedoch schwierig zu sagen, wie sich die Schar der Lösungen verändert. Ein interessantes Beispiel wäre z.B. zu betrachten, dass an einer Stelle die eingespannte Fläche im Unendlichen verankert ist, aber das darunterliegende Volumen endlich ist. Vorstellen kann man sich das etwa so, dass man an dieser Stelle die Fläche samt ihren Abständen unendlich weit zieht. Man fragt sich dann, ob eine Welle auf der Fläche auch diese Singularität überlebt.
Ein methodischer Ansatz, solche und andere Fragen zu studieren, ist es, Beziehungen zu anderen Objekten, vor allem rein geometrischen, zu finden. Selbergs Beweis zur Unendlichkeit der Anzahl der Eigenfunktionen auf gewissen hyperbolischen Flächen zeigt zunächst, dass die Eigenwerte der Eigenfunktionen (spektrale Objekte) durch die Längen der geschlossenen Geodäten (geometrische Objekte) bestimmt sind. Genauer, sie sind unter den Nullstellen einer generierenden Zetafunktion für das Längenspektrum der Geodäten. Ausnutzung zusätzlicher Eigenschaften der Flächen, wie z.B. Kompaktheit oder zusätzliche Symmetrien, erlaubt dann (manchmal) zu bestimmen, ob Nullstellen existieren und ob sie von Eigenwerten stammen.
Anke Pohl schaut sich die Geodäten auf bestimmten hyperbolischen Flächen an, diskretisiert sie und findet ein assoziiertes diskretes dynamisches System auf dem reellen Zahlenstrahl. Für dieses diskrete System sucht sie gewisse invariante Größen, z. B. invariante Maße oder Dichten. Genauer fragt sie nach Eigenfunktionen des assoziierten Transferoperators mit gewissen Parametern (inversen Temperaturen). An dieser Stelle sieht man wieder einen Einfluss aus der Physik: Transferoperatoren entstammen dem thermodynamischen Formalismus der statistischen Mechanik. Sie zeigt dann, dass die Eigenfunktionen dieser Transferoperatoren bijektiv zu den L_2 Eigenfunktionen des Laplaceoperators der hyperbolischen Flächen sind. Da die Eigenfunktionen der Transferoperatoren alleine durch die geschlossenen Geodäten bestimmt sind und somit also geometrische Objekte der Fläche sind, stellt auch sie eine Beziehung zwischen gewissen geometrischen und gewissen spektralen Objekten dieser Flächen her.
Zum Abschluss noch eine kurze Erklärung zur Bezeichnung "Quantenchaos" für dieses Themengebiet: Der Laplaceoperator ist gerade, bis auf Skalierung, der Schrödingeroperator in der Physik. Quantenmechanisch werden seine L_2 Eigenfunktionen als gebundene Zustände verstanden. Das zugehörige Objekt in der klassischen Mechanik ist gerade das Hamiltonsche Vektorfeld des geodätischen Flusses, d. h. die Bildungsvorschrift für die Geodäten oder die Bewegungsvorschrift für Kugeln auf der Fläche. Das Korrespondenzprinzip der Physik besagt nun, dass im Grenzfall (hier: Eigenwerte der Eigenfunktionen gehen gegen unendlich) die Gesetze der Quantenmechanik in die der klassischen Mechanik übergehen sollten. Hier fragt man also gerade danach, wie die spektralen und die geometrischen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigen wechselwirken. Daraus ergibt sich der Bestandteil "Quanten" in "Quantenchaos".
Der Bestandteil "Chaos" ist wie folgt motiviert: Bei den in diesem Gebiet studierten Flüssen verhalten sich Bahnen, die sehr nah beieinander starten, typischerweise nach recht kurzer Zeit sehr unterschiedlich. Mit anderen Worten, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen wirken sich typischerweise sehr stark aus, d.h., das System ist in gewisser Weise chaotisch.
Frau Pohl hat Mathematik an der TU Clausthal studiert, an der Universität Paderborn promoviert und habilitiert gerade an der Universität Göttingen.
Literatur und Zusatzinformationen
William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Mathematical Sciences Research Institute, 2002.
A. Pohl: Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one, Dissertation Uni Paderborn, 2009.
A.Pohl: A dynamical approach to Maass cusp forms, arXiv preprint arXiv:1208.6178, 2012.
M. Möller und A. Pohl: Period functions for Hecke triangle groups, and the Selberg zeta function as a Fredholm determinant, Ergodic Theory and Dynamical Systems 33.01: 247-283, 2013.
P. Sarnak: Recent progress on the quantum unique ergodicity conjecture, Bull. Amer. Math. Soc 48: 211-228, 2012.
S. Zelditch: Recent developments in mathematical quantum chaos, Current developments in mathematics 2009: 115-204, 2010.
Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Flächeninhalt einer Membran (die ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)töne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit später gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenhänge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenhängt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend für mathematische Ansätze.
Aktuelle große Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung über eindeutige Quantenergodizität auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; für den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizität wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung über die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung über das Größenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sjöstrandsche Vermutung über die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Flächen unendlichen Inhalts. Details und weiterführende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den Übersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten.
Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Flüssen, den sogenannten geodätischen Flüssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Als erste, recht elementare, Beispiele für Mannigfaltigkeiten kann man sich zunächst Oberflächen vorstellen. Wenn man auf ihnen Größen definiert hat, die zum Messen von Abständen und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geodäten.
Mathematisch werden die Schwingungen als Lösungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben bzw. mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators. Aus der Anschauung ist klar, dass die Schwingungen von den geometrischen Eigenschaften der Fläche abhängen. Wenn z.B. die Fläche oder Membran eingerissen ist oder ein Loch hat, klingt sie anders als wenn sie geschlossen ist bzw. gut eingespannt ist. Für kompakte Flächen ist bekannt, dass es unendlich viele solcher Eigenfunktionen gibt. Je nach Grad der Offenheit (also z.B. eine Fläche mit Riss oder Loch) ist es jedoch schwierig zu sagen, wie sich die Schar der Lösungen verändert. Ein interessantes Beispiel wäre z.B. zu betrachten, dass an einer Stelle die eingespannte Fläche im Unendlichen verankert ist, aber das darunterliegende Volumen endlich ist. Vorstellen kann man sich das etwa so, dass man an dieser Stelle die Fläche samt ihren Abständen unendlich weit zieht. Man fragt sich dann, ob eine Welle auf der Fläche auch diese Singularität überlebt.
Ein methodischer Ansatz, solche und andere Fragen zu studieren, ist es, Beziehungen zu anderen Objekten, vor allem rein geometrischen, zu finden. Selbergs Beweis zur Unendlichkeit der Anzahl der Eigenfunktionen auf gewissen hyperbolischen Flächen zeigt zunächst, dass die Eigenwerte der Eigenfunktionen (spektrale Objekte) durch die Längen der geschlossenen Geodäten (geometrische Objekte) bestimmt sind. Genauer, sie sind unter den Nullstellen einer generierenden Zetafunktion für das Längenspektrum der Geodäten. Ausnutzung zusätzlicher Eigenschaften der Flächen, wie z.B. Kompaktheit oder zusätzliche Symmetrien, erlaubt dann (manchmal) zu bestimmen, ob Nullstellen existieren und ob sie von Eigenwerten stammen.
Anke Pohl schaut sich die Geodäten auf bestimmten hyperbolischen Flächen an, diskretisiert sie und findet ein assoziiertes diskretes dynamisches System auf dem reellen Zahlenstrahl. Für dieses diskrete System sucht sie gewisse invariante Größen, z. B. invariante Maße oder Dichten. Genauer fragt sie nach Eigenfunktionen des assoziierten Transferoperators mit gewissen Parametern (inversen Temperaturen). An dieser Stelle sieht man wieder einen Einfluss aus der Physik: Transferoperatoren entstammen dem thermodynamischen Formalismus der statistischen Mechanik. Sie zeigt dann, dass die Eigenfunktionen dieser Transferoperatoren bijektiv zu den L_2 Eigenfunktionen des Laplaceoperators der hyperbolischen Flächen sind. Da die Eigenfunktionen der Transferoperatoren alleine durch die geschlossenen Geodäten bestimmt sind und somit also geometrische Objekte der Fläche sind, stellt auch sie eine Beziehung zwischen gewissen geometrischen und gewissen spektralen Objekten dieser Flächen her.
Zum Abschluss noch eine kurze Erklärung zur Bezeichnung "Quantenchaos" für dieses Themengebiet: Der Laplaceoperator ist gerade, bis auf Skalierung, der Schrödingeroperator in der Physik. Quantenmechanisch werden seine L_2 Eigenfunktionen als gebundene Zustände verstanden. Das zugehörige Objekt in der klassischen Mechanik ist gerade das Hamiltonsche Vektorfeld des geodätischen Flusses, d. h. die Bildungsvorschrift für die Geodäten oder die Bewegungsvorschrift für Kugeln auf der Fläche. Das Korrespondenzprinzip der Physik besagt nun, dass im Grenzfall (hier: Eigenwerte der Eigenfunktionen gehen gegen unendlich) die Gesetze der Quantenmechanik in die der klassischen Mechanik übergehen sollten. Hier fragt man also gerade danach, wie die spektralen und die geometrischen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigen wechselwirken. Daraus ergibt sich der Bestandteil "Quanten" in "Quantenchaos".
Der Bestandteil "Chaos" ist wie folgt motiviert: Bei den in diesem Gebiet studierten Flüssen verhalten sich Bahnen, die sehr nah beieinander starten, typischerweise nach recht kurzer Zeit sehr unterschiedlich. Mit anderen Worten, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen wirken sich typischerweise sehr stark aus, d.h., das System ist in gewisser Weise chaotisch.
Frau Pohl hat Mathematik an der TU Clausthal studiert, an der Universität Paderborn promoviert und habilitiert gerade an der Universität Göttingen.
Literatur und Zusatzinformationen
William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Mathematical Sciences Research Institute, 2002.
A. Pohl: Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one, Dissertation Uni Paderborn, 2009.
A.Pohl: A dynamical approach to Maass cusp forms, arXiv preprint arXiv:1208.6178, 2012.
M. Möller und A. Pohl: Period functions for Hecke triangle groups, and the Selberg zeta function as a Fredholm determinant, Ergodic Theory and Dynamical Systems 33.01: 247-283, 2013.
P. Sarnak: Recent progress on the quantum unique ergodicity conjecture, Bull. Amer. Math. Soc 48: 211-228, 2012.
S. Zelditch: Recent developments in mathematical quantum chaos, Current developments in mathematics 2009: 115-204, 2010.
2 Stunden 57 Minuten
In den Räumen des Entropia e.V. traf sich Joachim Breitner mit Sebastian Ritterbusch, um ihm von Computerbeweisen und der Incredible Proof Machine (http://incredible.pm/) zu erzählen. Diese hatte er mit Unterstützung von Kollegen und Freunden für einen dreitägigen Workshop im Oktober 2015 am Science College Jülich mit Schülerinnen und Schülern im Start-Stipendium für motivierte und neu zugewanderte Jugendliche in Mittel- und Oberstufe unter Unterstützung der Deutsche Telekom Stiftung entworfen.
Der mathematische Beweis ist grundlegender Bestandteil der Mathematik und die Technik des Beweisen wird im Mathematik- oder Informatikstudium vielfach geübt, wie es auch im Modell036 Podcast zur Analysis beschrieben wurde. Dennoch wird das wichtige Thema nur selten in der Schule angesprochen, da korrekte Beweise sehr formal und abstrakt sind. Mit einem spielerischen Zugang wird der Einstieg in die exakte Beweistheorie für Schüler und Mathematik-Interessierte nicht nur möglich, sondern ermöglicht auch neue Formen der Lehre wie den Modell051 Flipped Classroom.
Beweise gehen von bestehenden Aussagen und festgelegten Axiomen aus, um neue Aussagen oder Erkenntnisse zu belegen. Von der Aussage "es regnet" kann man beispielsweise mit einem fiktiven Axiom "wenn es regnet, werden Straßen nass" schließen, dass gilt: "die Straße ist nass". Und man kann daraus mit der Technik des Widerspruch-Beweis zeigen, dass aus der Aussage "die Straße ist trocken" folgt, dass "es regnet nicht" gilt. Denn (und das ist der Beweis), würde es regnen, so wäre die Straße nass, also nicht trocken.
Wann ist aber nun ein Beweis richtig? Diese Frage kann sich jeder selbst beantworten, in dem man einen vorliegenden Beweis versucht nachzuvollziehen. Eine Alternative ist die Beweisprüfung mit dem Computer, wie beispielsweise mit Isabelle. Diese Art von Software richtet sich allerdings in erster Linie an fortgeschrittene Nutzer und setzt Kentnisse in sowohl in der Logik als auch in der (funktionalen) Programmierung voraus, und so suchte Joachim nach einer einfachereren Methode, beweisen zu lernen und die Ergebnisse maschinell zu prüfen.
Mit der von ihm kreierten Incredible Proof Machine werden Beweise durch Ziehen und Setzen bildlich erstellt, in der Form eines Graphen. So wird das Beweisen zu einem Puzzle-Spiel mit Erfolgserlebnis, das man nach und nach lösen kann, ohne dabei die exakte Mathematik zu verlassen.
In dem Spiel gibt es viele Aufgaben, die zu lösen sind. In der Übersicht sind diese in Lektionen geordnet und zeigen jeweils durch einen breiten Strich, dem Inferenzstrich getrennt, von welchen Aussagen oben man welche Aussagen unten beweisen soll. Wählt man eine Aufgabe aus, so sieht man die gegebenen Aussagen, die oberhalb des Striches waren, als Quellen auf einem Arbeitsblatt. Die zu beweisenden Aussagen erscheinen als Senken. Von den Quellen kann man nun per Maus Verbindungen zu den Senken ziehen- entweder direkt, oder mit Hilfe zusätzlicher Blöcke, bzw. gegebener Beweisregeln, aus einer Toolbox links, die ebenfalls zur Verfügung stehen und weitere gegebene Axiome darstellen. Sind alle offenen Senken bewiesen, so leuchtet unten eine Zeile grün auf, als Bestätigung für einen geschafften Level- eine positive Bestärkung, die nicht ganz so spektakulär ist, wie bei Populous.
Während man auf dem Arbeitsblatt spielt, gibt die Incredible Proof Machine unmittelbar Rückmeldung, falls eine Verbindung so keinen Sinn macht: Will man die Aussage B mit Aussage A beweisen, so wird die Linie zwischen den beiden sofort rot, und gibt dem Spielenden die Hilfestellung, wo mindestens ein Fehler steckt.
Die logischen Aussagen und die gegebenen Beweisregeln verwenden eine gängige Notation zur Beschreibung logischer Verknüpfungen. Ein ∨ (sieht wie der kleine Buchstabe v aus), steht für die logische Oder-Verknüpfung und die Notation stammt vom lateinischen Wort vel. Das umgekehrte Symbol ∧ steht für die logische Und-Verknüpfung. In der ersten Lektion gibt es zwei Blöcke bzw. Beweisregeln für die Und-Verknüpfung: Einmal ein Block mit zwei Eingängen X und Y und einem Ausgang X∧Y, sowie einem Block mit einem Eingang X∧Y und zwei Ausgängen X und Y. Die Lektion 1 behandelt damit den grundlegenden Umgang mit dem System und die Konjugation.
Die Lektion 2 führt die Implikation ein. Eine Implikation, oder auch Folge, beschreibt die Aussage, dass aus einer Aussage eine zweite zwingend folgt. Zur Anwendung einer Implikation gibt es in dieser Lektion eine Beweisregel, die eine Implikation anwendet.
Ein weiterer Block ermöglicht eine Implikation zu erzeugen, in dem die Vorbedingung in einem Einschub angenommen bzw. angeboten wird, und man daraus das Zielereignis dann herleiten muss.
Die Prüfung der Beweise in der Incredible Proof Machine erfolgt durch einen Beweisprüfer in Haskell, einer funktionalen Programmiersprache, die auch schon im Modell047 Podcast zum Tiptoi zur Sprache kam. Der Beweisprüfer wurde mit ghcjs nach JavaScript kompiliert und läuft damit komplett im Browser. Über einen Compiler von Haskell zu Redstone wie in dem Modell056 Podcast zu Minecraft ist leider noch nichts bekannt.
Ein lehrreicher Zusammenhang ist hier, dass aus logischer Sicht Implikationen vollkommen korrekt sind, wenn die rechte Seite wahr ist – ohne dass ein ursächlicher Zusammenhang bestehen muss. Wenn also jemand nach Einnahme von offensichtlich unwirksamen Mitteln gesund geworden ist, so ist der logische Schluss, dass nach der Einnahme die Person gesund ist, korrekt. Doch darf man daraus keinesfalls schließen, dass die unwirksamen Mittel dafür der Grund gewesen wären. Das ist ein ähnlicher Fehlschluss wie Cum hoc ergo propter hoc – aus Korrelation folgt keine Kausalität.
Die Lektion 3 führt die Disjunktion bzw. Oder-Verknüpfung mit drei neuen Beweisregeln-Blöcken ein, zwei zur Erzeugung einer Aussage mit einer Disjunktion, eine zur Zerlegung einer Disjunktion. Interessant ist dabei besonders die Zerlegung der Disjunktion, da sie auf eine Fallunterscheidung führt.
Man kann auch frei weitere Aufgaben innerhalb der Incredible Proof Machine für sich selbst hinzufügen, neue Vorschläge aber auch auf Github einreichen.
Die Lektion 4 behandelt die abstrakte falsche Aussage ⊥. Aus dieser kann man alles folgern, ex falso quodlibet, was dann auch in der ersten Aufgabe zu zeigen ist. Eine besondere Notation ist dabei, dass aus einer Aussage falsch folgt, wie A⊥. Dies bedeutet einfach nur, dass A nicht gilt, also falsch ist – die Negation von A.
In Lektion 5 verlassen wir dann die intuitionistische Logik, die von einer konstruktiven Mathematik ausgeht, hinein in die allgemeinere klassische Logik. Hier wird die Beweisregel vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur) eingeführt. Dabei sind konstruktive Beweise, die also ohne tertium non datur auskommen, leichter automatisiert zu führen.
Für die Aussage "Es gibt eine irrationale Zahl, die mit einer irrationalen Zahl potenziert rational ist" gibt es als Beispiel einen nicht-konstruktiven Beweis: Entweder ist Quadratwurzel von 2 mit sich selbst potenziert rational, oder spätestens das Ergebnis potenziert mit der Quadratwurzel von zwei ist rational, denn das ist 2. Es ist nicht klar, welche Basis die Lösung ist, sondern hier nur, dass es eine der beiden ist.
Einen Zusammenhang von der konstruktiven Logik zur Programmierung liefert die Theorie der Curry-Howard-Korrespondenz – man kann Programmieren auch als eine Art Beweisen sehen, und daher sind auch ähnliche graphische Darstellungen als Flussdiagramm möglich.
In Lektion 6 werden Quantoren und Prädikate eingeführt. Man kann hier beispielsweise zeigen, wann der Existenzquantor und der Allquantor vertauscht werden dürfen:
Die Lektion 7 behandelt zwei weitergehende Beispiele, die auch umgangssprachlich verständlich sind: Die erste Aufgabe behandelt das Bar-Paradox: Hier gilt es zu beweisen, dass es in jeder nicht-leeren Bar immer eine Person gibt, dass wenn sie trinkt, alle in der Bar trinken. Die zweite Aussage lautet: Wenn jeder Mann einen reichen Vater hat, dann gibt es einen reichen Mann mit einem reichen Großvater.
Die klassische Aussagenlogik kann aber auch über andere Kalküle definiert werden: So demonstriert die Incredible Proof Machine die Verwendung des Hilbert-Kalküls und das NAND-Kalküls. Während das Hilbert-Kalkül besonders theoretisch verwendet wird, liefert das NAND-Gatter als einfacher Logikbaustein Anwendungen bis hin zum Volladierer aus NAND-Gattern.
Man kann auch jederzeit neue Beweisregeln oder Lemmas definieren, in dem man alle Bausteine logischer Diagramme mit offenen Ein- und Ausgängen mit gedrückter Shift-Taste anwählt und links zu einem neuen Baustein zusammenführt. Das folgende Bild zeigt die Definition des Beweis durch Widerspruch, und die anschließende Verwendung zu Lösung einer Aufgabe in Lektion 5:
Im Gegensatz zur Incredible Proof Machine soll die Software Isabelle nicht vom Nutzer verlangen, alle Beweise selbst zu führen, sondern unterstützt dabei, Beweise auf einem hohen Abstraktionsgrad zu formulieren und zu beweisen. Ein kleines Beispiel für die Nutzung von Isabelle ist der humorvolle Versuch das allgemeine Dreieck zu definieren – und letzlich die eindeutige Existenz zu beweisen.
Eine wichtige Anwendungen für Computerbeweise ist die formale Prüfung und der Beweis von Computersoftware, wie sie beispielsweise durch die Launchbury Semantik möglich wird. Sehr bekannt ist die Nutzung von rechnerunterstützten Beweisen für das Vier-Farben-Problem, das Hermann Minkowski in einer Topologie-Anfängervorlesung vergeblich versuchte nebenbei zu lösen. Der erste Beweis war noch sehr umstritten, da die Korrektheit der verwendeten Software nicht gesichert war. Erst mit einer formalen Prüfung in Coq wurde der Beweis 2005 allgemein akzeptiert.
Eine andere gängige Methode ist auch die Verwendung spezialisierter Verifikationsnumerik, um die Existenz von Lösungen zu beweisen, wie dies auch im Modell019 Podcast zum computerunterstützten Beweisen behandelt wird.
Auch die dichteste Kugelpackung, bzw. die Keplersche Vermutung, wurde erst 1998 mit Computerhilfe bewiesen, der zunächst ebenso umstritten war. Erst mit dem Projekt Flyspec konnte 2014 die Korrektheit des Beweises formal bewiesen werden.
Im Hintergrund der Aufnahme hört man den Freifunk Karlsruhe, der parallel zu unserem Gespräch ein Treffen in den Räumen des Entropia e.V. hatte. Kinder und Jugendliche, die sich für Programmieren interessieren, sollten sich ein CoderDojo, wie das CoderDojo in Karlsruhe, genauer ansehen.
Literatur und Zusatzinformationen
Einführender Blog-Eintrag zur Incredible Proof Machine mit einer Sammlung von ähnlichen Projekten.
J. Breitner: The Correctness of Launchbury's Natural Semantics for Lazy Evaluation, arXiv preprint arXiv:1405.3099, 2014.
J. Breitner: The Safety of Call Arity, Archive of Formal Proofs, 2015.
J. Breitner: Formally Proving a Compiler Transformation Safe, Haskell '15 Proceedings of the 2015 ACM SIGPLAN Symposium on Haskell, Pages 35-46, ACM New York, NY, USA, 2015.
T. Nipkow, L. Paulson, M. Wenzel: Isabelle HOL- A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer-Verlag, 2015.
Podcasts
T. Schwentick: Logik, Gespräch mit N. Ludewig im Omega Tau Podcast, Folge 101, Omega Tau, 2012. http://omegataupodcast.net/2012/08/101-logik/
D. Rütters: Computerunterstütztes Beweisen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 19, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/beweisen
J. Eilinghoff: Analysis, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 36, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/analysis
J. Breitner: Papierrechner, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 47, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/papierrechner
C. Spannagel: Flipped Classroom, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 51, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/flipped-classroom
F. Gilges: Spielcomputer, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 56, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/spielcomputer
Der mathematische Beweis ist grundlegender Bestandteil der Mathematik und die Technik des Beweisen wird im Mathematik- oder Informatikstudium vielfach geübt, wie es auch im Modell036 Podcast zur Analysis beschrieben wurde. Dennoch wird das wichtige Thema nur selten in der Schule angesprochen, da korrekte Beweise sehr formal und abstrakt sind. Mit einem spielerischen Zugang wird der Einstieg in die exakte Beweistheorie für Schüler und Mathematik-Interessierte nicht nur möglich, sondern ermöglicht auch neue Formen der Lehre wie den Modell051 Flipped Classroom.
Beweise gehen von bestehenden Aussagen und festgelegten Axiomen aus, um neue Aussagen oder Erkenntnisse zu belegen. Von der Aussage "es regnet" kann man beispielsweise mit einem fiktiven Axiom "wenn es regnet, werden Straßen nass" schließen, dass gilt: "die Straße ist nass". Und man kann daraus mit der Technik des Widerspruch-Beweis zeigen, dass aus der Aussage "die Straße ist trocken" folgt, dass "es regnet nicht" gilt. Denn (und das ist der Beweis), würde es regnen, so wäre die Straße nass, also nicht trocken.
Wann ist aber nun ein Beweis richtig? Diese Frage kann sich jeder selbst beantworten, in dem man einen vorliegenden Beweis versucht nachzuvollziehen. Eine Alternative ist die Beweisprüfung mit dem Computer, wie beispielsweise mit Isabelle. Diese Art von Software richtet sich allerdings in erster Linie an fortgeschrittene Nutzer und setzt Kentnisse in sowohl in der Logik als auch in der (funktionalen) Programmierung voraus, und so suchte Joachim nach einer einfachereren Methode, beweisen zu lernen und die Ergebnisse maschinell zu prüfen.
Mit der von ihm kreierten Incredible Proof Machine werden Beweise durch Ziehen und Setzen bildlich erstellt, in der Form eines Graphen. So wird das Beweisen zu einem Puzzle-Spiel mit Erfolgserlebnis, das man nach und nach lösen kann, ohne dabei die exakte Mathematik zu verlassen.
In dem Spiel gibt es viele Aufgaben, die zu lösen sind. In der Übersicht sind diese in Lektionen geordnet und zeigen jeweils durch einen breiten Strich, dem Inferenzstrich getrennt, von welchen Aussagen oben man welche Aussagen unten beweisen soll. Wählt man eine Aufgabe aus, so sieht man die gegebenen Aussagen, die oberhalb des Striches waren, als Quellen auf einem Arbeitsblatt. Die zu beweisenden Aussagen erscheinen als Senken. Von den Quellen kann man nun per Maus Verbindungen zu den Senken ziehen- entweder direkt, oder mit Hilfe zusätzlicher Blöcke, bzw. gegebener Beweisregeln, aus einer Toolbox links, die ebenfalls zur Verfügung stehen und weitere gegebene Axiome darstellen. Sind alle offenen Senken bewiesen, so leuchtet unten eine Zeile grün auf, als Bestätigung für einen geschafften Level- eine positive Bestärkung, die nicht ganz so spektakulär ist, wie bei Populous.
Während man auf dem Arbeitsblatt spielt, gibt die Incredible Proof Machine unmittelbar Rückmeldung, falls eine Verbindung so keinen Sinn macht: Will man die Aussage B mit Aussage A beweisen, so wird die Linie zwischen den beiden sofort rot, und gibt dem Spielenden die Hilfestellung, wo mindestens ein Fehler steckt.
Die logischen Aussagen und die gegebenen Beweisregeln verwenden eine gängige Notation zur Beschreibung logischer Verknüpfungen. Ein ∨ (sieht wie der kleine Buchstabe v aus), steht für die logische Oder-Verknüpfung und die Notation stammt vom lateinischen Wort vel. Das umgekehrte Symbol ∧ steht für die logische Und-Verknüpfung. In der ersten Lektion gibt es zwei Blöcke bzw. Beweisregeln für die Und-Verknüpfung: Einmal ein Block mit zwei Eingängen X und Y und einem Ausgang X∧Y, sowie einem Block mit einem Eingang X∧Y und zwei Ausgängen X und Y. Die Lektion 1 behandelt damit den grundlegenden Umgang mit dem System und die Konjugation.
Die Lektion 2 führt die Implikation ein. Eine Implikation, oder auch Folge, beschreibt die Aussage, dass aus einer Aussage eine zweite zwingend folgt. Zur Anwendung einer Implikation gibt es in dieser Lektion eine Beweisregel, die eine Implikation anwendet.
Ein weiterer Block ermöglicht eine Implikation zu erzeugen, in dem die Vorbedingung in einem Einschub angenommen bzw. angeboten wird, und man daraus das Zielereignis dann herleiten muss.
Die Prüfung der Beweise in der Incredible Proof Machine erfolgt durch einen Beweisprüfer in Haskell, einer funktionalen Programmiersprache, die auch schon im Modell047 Podcast zum Tiptoi zur Sprache kam. Der Beweisprüfer wurde mit ghcjs nach JavaScript kompiliert und läuft damit komplett im Browser. Über einen Compiler von Haskell zu Redstone wie in dem Modell056 Podcast zu Minecraft ist leider noch nichts bekannt.
Ein lehrreicher Zusammenhang ist hier, dass aus logischer Sicht Implikationen vollkommen korrekt sind, wenn die rechte Seite wahr ist – ohne dass ein ursächlicher Zusammenhang bestehen muss. Wenn also jemand nach Einnahme von offensichtlich unwirksamen Mitteln gesund geworden ist, so ist der logische Schluss, dass nach der Einnahme die Person gesund ist, korrekt. Doch darf man daraus keinesfalls schließen, dass die unwirksamen Mittel dafür der Grund gewesen wären. Das ist ein ähnlicher Fehlschluss wie Cum hoc ergo propter hoc – aus Korrelation folgt keine Kausalität.
Die Lektion 3 führt die Disjunktion bzw. Oder-Verknüpfung mit drei neuen Beweisregeln-Blöcken ein, zwei zur Erzeugung einer Aussage mit einer Disjunktion, eine zur Zerlegung einer Disjunktion. Interessant ist dabei besonders die Zerlegung der Disjunktion, da sie auf eine Fallunterscheidung führt.
Man kann auch frei weitere Aufgaben innerhalb der Incredible Proof Machine für sich selbst hinzufügen, neue Vorschläge aber auch auf Github einreichen.
Die Lektion 4 behandelt die abstrakte falsche Aussage ⊥. Aus dieser kann man alles folgern, ex falso quodlibet, was dann auch in der ersten Aufgabe zu zeigen ist. Eine besondere Notation ist dabei, dass aus einer Aussage falsch folgt, wie A⊥. Dies bedeutet einfach nur, dass A nicht gilt, also falsch ist – die Negation von A.
In Lektion 5 verlassen wir dann die intuitionistische Logik, die von einer konstruktiven Mathematik ausgeht, hinein in die allgemeinere klassische Logik. Hier wird die Beweisregel vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur) eingeführt. Dabei sind konstruktive Beweise, die also ohne tertium non datur auskommen, leichter automatisiert zu führen.
Für die Aussage "Es gibt eine irrationale Zahl, die mit einer irrationalen Zahl potenziert rational ist" gibt es als Beispiel einen nicht-konstruktiven Beweis: Entweder ist Quadratwurzel von 2 mit sich selbst potenziert rational, oder spätestens das Ergebnis potenziert mit der Quadratwurzel von zwei ist rational, denn das ist 2. Es ist nicht klar, welche Basis die Lösung ist, sondern hier nur, dass es eine der beiden ist.
Einen Zusammenhang von der konstruktiven Logik zur Programmierung liefert die Theorie der Curry-Howard-Korrespondenz – man kann Programmieren auch als eine Art Beweisen sehen, und daher sind auch ähnliche graphische Darstellungen als Flussdiagramm möglich.
In Lektion 6 werden Quantoren und Prädikate eingeführt. Man kann hier beispielsweise zeigen, wann der Existenzquantor und der Allquantor vertauscht werden dürfen:
Die Lektion 7 behandelt zwei weitergehende Beispiele, die auch umgangssprachlich verständlich sind: Die erste Aufgabe behandelt das Bar-Paradox: Hier gilt es zu beweisen, dass es in jeder nicht-leeren Bar immer eine Person gibt, dass wenn sie trinkt, alle in der Bar trinken. Die zweite Aussage lautet: Wenn jeder Mann einen reichen Vater hat, dann gibt es einen reichen Mann mit einem reichen Großvater.
Die klassische Aussagenlogik kann aber auch über andere Kalküle definiert werden: So demonstriert die Incredible Proof Machine die Verwendung des Hilbert-Kalküls und das NAND-Kalküls. Während das Hilbert-Kalkül besonders theoretisch verwendet wird, liefert das NAND-Gatter als einfacher Logikbaustein Anwendungen bis hin zum Volladierer aus NAND-Gattern.
Man kann auch jederzeit neue Beweisregeln oder Lemmas definieren, in dem man alle Bausteine logischer Diagramme mit offenen Ein- und Ausgängen mit gedrückter Shift-Taste anwählt und links zu einem neuen Baustein zusammenführt. Das folgende Bild zeigt die Definition des Beweis durch Widerspruch, und die anschließende Verwendung zu Lösung einer Aufgabe in Lektion 5:
Im Gegensatz zur Incredible Proof Machine soll die Software Isabelle nicht vom Nutzer verlangen, alle Beweise selbst zu führen, sondern unterstützt dabei, Beweise auf einem hohen Abstraktionsgrad zu formulieren und zu beweisen. Ein kleines Beispiel für die Nutzung von Isabelle ist der humorvolle Versuch das allgemeine Dreieck zu definieren – und letzlich die eindeutige Existenz zu beweisen.
Eine wichtige Anwendungen für Computerbeweise ist die formale Prüfung und der Beweis von Computersoftware, wie sie beispielsweise durch die Launchbury Semantik möglich wird. Sehr bekannt ist die Nutzung von rechnerunterstützten Beweisen für das Vier-Farben-Problem, das Hermann Minkowski in einer Topologie-Anfängervorlesung vergeblich versuchte nebenbei zu lösen. Der erste Beweis war noch sehr umstritten, da die Korrektheit der verwendeten Software nicht gesichert war. Erst mit einer formalen Prüfung in Coq wurde der Beweis 2005 allgemein akzeptiert.
Eine andere gängige Methode ist auch die Verwendung spezialisierter Verifikationsnumerik, um die Existenz von Lösungen zu beweisen, wie dies auch im Modell019 Podcast zum computerunterstützten Beweisen behandelt wird.
Auch die dichteste Kugelpackung, bzw. die Keplersche Vermutung, wurde erst 1998 mit Computerhilfe bewiesen, der zunächst ebenso umstritten war. Erst mit dem Projekt Flyspec konnte 2014 die Korrektheit des Beweises formal bewiesen werden.
Im Hintergrund der Aufnahme hört man den Freifunk Karlsruhe, der parallel zu unserem Gespräch ein Treffen in den Räumen des Entropia e.V. hatte. Kinder und Jugendliche, die sich für Programmieren interessieren, sollten sich ein CoderDojo, wie das CoderDojo in Karlsruhe, genauer ansehen.
Literatur und Zusatzinformationen
Einführender Blog-Eintrag zur Incredible Proof Machine mit einer Sammlung von ähnlichen Projekten.
J. Breitner: The Correctness of Launchbury's Natural Semantics for Lazy Evaluation, arXiv preprint arXiv:1405.3099, 2014.
J. Breitner: The Safety of Call Arity, Archive of Formal Proofs, 2015.
J. Breitner: Formally Proving a Compiler Transformation Safe, Haskell '15 Proceedings of the 2015 ACM SIGPLAN Symposium on Haskell, Pages 35-46, ACM New York, NY, USA, 2015.
T. Nipkow, L. Paulson, M. Wenzel: Isabelle HOL- A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer-Verlag, 2015.
Podcasts
T. Schwentick: Logik, Gespräch mit N. Ludewig im Omega Tau Podcast, Folge 101, Omega Tau, 2012. http://omegataupodcast.net/2012/08/101-logik/
D. Rütters: Computerunterstütztes Beweisen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 19, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/beweisen
J. Eilinghoff: Analysis, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 36, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/analysis
J. Breitner: Papierrechner, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 47, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/papierrechner
C. Spannagel: Flipped Classroom, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 51, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/flipped-classroom
F. Gilges: Spielcomputer, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 56, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/spielcomputer
