Modellansatz Archiv

Gudrun talks with Asher Zarth. He finished his Master thesis in the Lattice Boltzmann Research group at the Karlsruhe Institute for Technology (KIT) in April 2018.

Lattice Boltzmann methods (LBM) are an established method of computational fluid dynamics. Also, the solution of temperature-dependent problems - modeled by the Boussinesq approximation - with LBM has been done for some time. Moreover, LBM have been used to solve optimization problems, including parameter identification, shape optimization and topology optimization. Usual optimization approaches for partial differential equations are strongly based on using the corresponding adjoint problem. Especially since this method provides the sensitivities of quantities in the optimization process as well. This is very helpful. But it is also very hard to find the adjoint problem for each new problem. This needs a lot of experience and deep mathematical understanding.

For that, Asher uses automatic differentiation (AD) instead, which is very flexible and user friendly. His algorithm combines an extension of LBM to porous media models as part of the shape optimization framework. The main idea of that framework is to use the permeability as a geometric design parameter instead of a rigid object which changes its shape in the iterative process. The optimization itself is carried out with line search methods, whereby the sensitivities are calculated by AD instead of using the adjoint problem.

The method benefits from a straighforward and extensible implementation as the use of AD provides a way to obtain accurate derivatives with little knowledge of the mathematical formulation of the problem. Furthermore, the simplicity of the AD system allows optimization to be easily integrated into existing simulations - for example in the software package OpenLB which Asher used in his thesis.

One example to test the algorithm is the shape of an object under Stokes flow such that the drag becomes minimal. It is known that it looks like an american football ball. The new algorithm converges fast to that shape.

References

F. Klemens e.a.: CFD- MRI: A Coupled Measurement and Simulation Approach for Accurate Fluid Flow Characterisation and Domain Identification. Computers & Fluids 166, 218-224, 2018.

T. Dbouk: A review about the engineering design of optimal heat transfer systems using topology optimization. Applied Thermal Engineering 112, pp. 841-854, 2017.

C. Geiger and C. Kanzow. Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, 2013.

M. J. Krause and V. Heuveline: Parallel fluid flow control and optimisation with lattice Boltzmann methods and automatic differentiation. Computers & Fluids 80, pp. 28-36, 2013.

A. Kamikawa and M. Kawahara: Optimal control of thermal fluid flow using automatic differentiation. Computational Mechanics 43.6, pp. 839-846, 2009.

A. Griewank and A. Walther. Evaluating derivatives: principles and techniques of algorithmic differentiation. Vol. 105. SIAM, 2008.

Das Treffens des German Chapters of European Women in Mathematics fand am 3. und 4. Mai 2018 im Mathematikon in Heidelberg statt. Am Rande der Konferenz der Mathematikerinnen sprach Gudrun mit Susanne Krömker. Sie leitet seit 2004 die Computergrafik-Gruppe des Interdisziplinären Zentrums für Wissenschaftliches Rechnen(IWR) an der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg.

In der Computergrafik geht es grob gesagt um Analyse und Bearbeitung von Daten und ihre Darstellung als visuelle Information, d.h. es kommen sehr viele unterschiedliche Anforderungen zusammen. Andererseits sind die Themen, die jeweils dahinter stecken auch ganz besonders vielgestaltig. Für Susanne begann 1989 die Faszination mit der Darstellung einer reaktiven Strömung, bei der explosionsartig Wärme freigesetzt wird. Im Experiment ist die Apparatur geborsten, die Simulation liefert die Erklärung durch eine von den Wänden reflektierte Druckwelle und die Visualisierung macht den zeitlich enorm kurzen Explosionsvorgang mit Temperatur- und Druckverteilung im reaktiven Gemisch anschaulich.

Anschließend hat sie sich in ihrer Promotion mit partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung katalytischer Prozesse an Oberflächen beschäftigt, sich aber nie ganz von dem Thema Computergrafik getrennt, das in den 1990er Jahren dann richtig Fahrt aufnahm. Heute ist die Computergrafik technisch gesehen eine typische Anwendung für Hochleistungsrechnen. Außerdem gibt es immer wieder interessante Entwicklungen, die die Möglichkeiten von Grafikkarten unkonventionell ausnutzen. Aber es geht auch darum, geeignete Methoden zu entwicklen und zu implementieren, mit denen die von 3D-Scannern erfassten Messdaten auf ihren Informationsgehalt reduziert werden können. Grundsätzlich müssen dabei immer dreidimensionale Vorgänge auf dem zweidimensionalen Bildschirm dargestellt werden. Dazu braucht man projektive Geometrie - ein Thema, das in der Vorlesung mitunter abstrakt und von der Realität weit entfernt scheint. In ihrer Geometrie-Vorlesung für Sudierende der Mathematik kann Susanne ihre Erfahrungen aus der Informatik sehr anschaulich einbringen wie hier im Video für die Fano Ebene: (YouTube)

Etwa seit dem Jahr 2000 gab es in der Arbeitsgruppe von Susanne viele besonders interessante und sehr unterschiedliche Projekte. Ein Forschungsschwerpunkt lag dabei in der Kombination von Computertomographie und Oberflächendaten, um aus beiden Bildgebungsverfahren im Resultat ein verbessertes Bild zu erhalten: ILATO-Projekt (Improving Limited Angle computed Tomography by Optical data integration).

Außerdem hat sich die enge Zusammenarbeit mit Archäologen, Historikern und Geologen als besonders fruchtbar erwiesen. Beispiele dafür sind der theoriebildende Diskurs zum digitalen Modell des Klosters Lorsch (seit 1991 Weltkulturerbe der UNESCO) oder die Rekonstruktion von Inschriften in Tafeln und auf Grabsteinen, z.B. auf dem jüdischen Friedhof in Worms. Diese Analyse basiert auf Multiskalen Integralinvarianten, einem Filterverfahren, das in dem Softwareframework GigaMesh (Autor: Hubert Mara, IWR, Universität Heidelberg) implementiert ist. Oder die Rekonstruktion der Karten von barocken Globen, u.a. des Gottorfer Globus, mit HiIfe von anisotrop diffusiver Filterung.

Die Arbeitsgruppe hat Ausgrabungen im Tempelgebiet von Angkor in Kambodscha, dem größten Tempelgebiet der Welt, wissenschaftlich begleitet. Es gelang eine virtuelle architektonische Rekonstruktion des größten Tempels Angkor Wat oder die Rekonstruktion einer sechs Meter hohen Schiva-Statue aus Koh Ker, von der einzelne Puzzle-Teile über mehrere Museen der Welt verstreut sind.

Susanne hatte sich 1983 zunächst für ein Studium der Mathematik und Betriebswirtschaft in Osnabrück entschieden, hat dann aber den Wechsel nach Heidelberg verbunden mit der Hinwendungen zu anderen Natur- und Geisteswissenschaften nie bereut.

Literatur und weiterführende Informationen

Inschrift aus Gisela-Grab entziffert, Historisches Museum der Pfalz Speyer / Universität Heidelberg, 7. November 2016 damals.de

S. Krömker: Digitales Modell Kloster Lorsch - Ein Ladenburger Diskurs zum Thema virtueller Rekonstruktion in: Sonderheft Sehenswerte, Schlösser und Gärten Hessen, 1/2015.

A. Beyer, H. Mara and S. Krömker: ILATO Project: Fusion of Optical Surface Models and Volumetric CT Data in: arXiv:1404.6583, 2014.

S. Krömker: Neue Methoden zur besseren Lesbarkeit mittelalterlicher Grabsteine am Beispiel des Heiligen Sands in Worms, in: Die SchUM-Gemeinden Speyer - Worms - Mainz. Auf dem Weg zum Welterbe. Schnell & Steiner, pp. 167 - 188, 2013.

H. G. Bock, W. Jäger, M. J. Winckler (eds.), Scientific Computing and Cultural Heritage, Contributions in Mathematical and Computational Sciences, Volume 3, Springer, 2013.

A. Hoffmann, F. Zimmermann, H. Scharr, S. Krömker, C. Schulz: Instantaneous three-dimensional visualization of concentration distributions in turbulent flows with crossed-plane laser-induced fluorescence imaging, Applied Physics B: Lasers and Optics, 2004.

Fosdick, L.D., E.R. Jessup, C.J.C. Schauble, and G. Domik, An Introduction to High-Performance Scientific Computing, MIT Press, 0-262-06181-3, 750 pp, 1995.

Gudrun hat sich mit Kirsten Wohak unterhalten. Sie ist seit Januar 2018 in der Arbeitsgruppe Computational Science and Mathematical Methods von Prof. Frank tätig. Diese Gruppe schlägt eine Brücke zwischen dem Steinbuch Center for Computing und der KIT-Fakultät für Mathematik.

Thema des Gespräches war jedoch ein ganz besonderes Angebot für Schülerinnen und Schüler: Das Computational and Mathematical Modeling Program (CAMMP) . Zusammen mit Maren Hattebuhr kümmert sie sich um das schon an der RWTH Aachen erprobte Konzept nun auch in Karlsruhe.

Beantwortet wird die Frage: Wie funktionieren eigentlich...

Animationsfilme

Fitnesstracker

Google

GPS

mp3

Shazam

Solarkraftwerke

Sicherung der Privatsphäre in Sozialen Netzwerken...

... und was hat das mit Mathe zu tun?

Anhand solchen praxisorientierter Fragestellungen aus dem eigenen Alltag werden Schüler und Schülerinnen in die Grundlagen der mathematischen Modellierung eingeführt. Dabei finden mathematische Inhalte, wie beispielsweise Winkelsätze oder Matrizenrechnung Anwendung, die bereits aus dem Unterricht bekannt sind. Neben inhaltlicher Arbeit werden in den Workshops vor allem prozessbezogene Kompetenzen gefördert.

Das typische Format ist ein sogenannter CAMMP-day. Er findet jeweils am Schülerlabor Mathematik im Mathebau statt und wird auf Anfrage je nach Themenwahl mit Oberstufen- bzw. Mittelstufenkursen von ein bis zwei wissenschaftlichen Mitarbeitern/-innen durchgeführt.

Die Schüler/innen erhalten morgens zunächst eine Einführung, die die Bedeutung von mathematischer Modellierung und Simulation für Wissenschaft und Industrie anhand verschiedener Beispiele veranschaulicht. Anschließend finden die Workshops statt. Nachmittags werden die Ergebnisse von Schülerinnen und Schülern vorgestellt und im Bezug auf die Anfangssituation diskutiert.

Seit dem 23. April 2018 läuft für sechs Montage der Schnupperkurs Mathematik zum Thema GPS und Navigation und am heutigen Girls' day findet der Shazam-Kurs statt.

Podcasts

B. Böttcher: Meisterklasse, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 158, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018.

E. Dittrich: Schülerlabor, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 103, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

A. Kirsch: Lehramtsausbildung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 104, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

Gudrun hatte zwei Podcast-Gespräche beim FEniCS18 Workshop in Oxford (21.-23. März 2018). FEniCS ist eine Open-Source-Plattform zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit Finite-Elemente-Methoden.

Dies ist die zweite der beiden 2018er Folgen aus Oxford.

Susanne Claus ist zur Zeit NRN Early Career Personal Research Fellow an der Cardiff University in Wales. Sie hat sich schon immer für Mathematik, Physik, Informatik und Ingenieursthemen interesseirt und diese Interessen in einem Studium der Technomathematik in Kaiserlautern verbunden. Mit dem Vordiplom in der Tasche entschied sie sich für einen einjährigen Aufenthalt an der Universität Kyoto. Sie war dort ein Research exchange student und hat neben der Teilnahme an Vorlesungen vor allem eine Forschungsarbeit zu Verdunstungsprozessen geschrieben. Damit waren die Weichen in Richtung Strömungsrechnung gestellt. Dieses Interesse vertiefte sie im Hauptstudium (bis zum Diplom) an der Uni in Bonn, wo sie auch als studentische Hilfskraft in der Numerik mitarbeitete. Die dabei erwachte Begeisterung für nicht-Newtonsche Fluid-Modelle führte sie schließlich für die Promotion nach Cardiff. Dort werden schon in langer Tradition sogenannte viskoelastische Stoffe untersucht - das ist eine spezielle Klasse von nicht-Newtonschem Fluiden. Nach der Promotion arbeitet sie einige Zeit als Postdoc in London am University College London (kurz: UCL) zu Fehleranalyse für Finite Elemente Verfahren (*). Bis sie mit einer selbst eingeworbenen Fellowship in der Tasche wieder nach Cardiff zurückkehren konnte.

Im Moment beschäftigt sich Susanne vor allem mit Zweiphasenströmungen. In realen Strömungsprozessen liegen eigentlich immer mindestens zwei Phasen vor: z.B. Luft und Wasser. Das ist der Fall wenn wir den Wasserhahn aufdrehen oder die Strömung eines Flusses beobachten. Sehr häufig werden solche Prozesse vereinfacht modelliert, indem man sich nur eine Phase, nämlich die des Wassers genau ansieht und die andere als nicht so wichtig weglässt.

In der Modellbildung für Probleme, in denen beide Phasen betrachtet werden sollen, ist das erste Problem, dass das physikalische Verhalten der beiden Phasen sehr unterschiedlich ist, d.h. man braucht in der Regel zwei sehr unterschiedliche Modelle. Hinzu treten dann noch komplexe Vorgänge auf der Grenzflächen auf z.B. in der Wechselwirkung der Phasen. Wo die Grenzfläche zu jedem Zeitpunkt verläuft, ist selbst Teil der Lösung des Problems.

Noch interessanter aber auch besonders schwierig wird es, wenn auf der Grenzfläche Tenside wirken (engl. surfactant) - das sind Chemikalien die auch die Geometrie der Grenzfläche verändern, weil sie Einfluß auf die Oberflächenspannung nehmen. Ein Zwischenschritt ist es, wenn man nur eine Phase betrachtet, aber im Fließprozess eine freie Oberfläche erlaubt. Die Entwicklung dieser Oberfläche über die Zeit wird oft über die Minimierung von Oberflächenspannung modelliert und hängt deshalb u.a. mit der Krümmung der Fläche zusammen. D.h. man braucht im Modell lokale Informationen über zweite Ableitungen.

In der numerischen Bearbeitung des Prozesses benutzt Susanne das FEniCS Framework. Das hat sie auch konkret dieses Jahr nach Oxford zum Workshop geführt. Ihr Ansatz ist es, das Rechengitter um genug Knoten anzureichern, so dass Sprünge dargestellt werden können ohne eine zu hohe Auflösung insgesamt zu verursachen.

(*) an der UCL arbeitet auch Helen Wilson zu viscoelastischen Strömungen, mit der Gudrun 2016 in Oxford gesprochen hat.

Literatur und weiterführende Informationen

S. Claus & P. Kerfriden: A stable and optimally convergent LaTIn-Cut Finite Element Method for multiple unilateral contact problems, CoRR, 2017.

H. Oertel jr.(Ed.): Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-21803-8, 2004.

S. Gross, A. Reusken: Numerical Methods for Two-phase Incompressible Flows, Springer-Verlag, eBook: ISBN 978-3-642-19686-7, DOI 10.1007/978-3-642-19686-7, 2011.

E. Burman, S. Claus & A. Massing: A stabilized cut finite element method for the three field Stokes problem. SIAM Journal on Scientific Computing 37.4: A1705-A1726, 2015.

Podcasts

G. Thäter, R. Hill: Singular Pertubation, Gespräch im Modellansatz Podcast, Folge 162, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018.

H. Wilson: Viscoelastic Fluids, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 92, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

Gudrun unterhielt sich mit Meike Juliane Amtenbrink. Frau Amtenbrink hat von September 2017 bis Februar 2018 am Fraunhofer Institut für Solare Energiesysteme (ISE) in Freiburg Wasserstofftankstellen modelliert. Die Niederschrift der Ergebnisse bilden ihre Masterarbeit im Studiengang Energietechnik am KIT . Gudrun hat die Arbeit von Seiten des KIT als Erstgutachterin betreut.

Als kohlenstofffreier Energieträger ist Wasserstoff im weltweiten Fokus der Forschung. Tanken mit Wasserstoff verspricht, den CO2-Ausstoß des Verkehrssektors zu reduzieren, zusätzlich ermöglicht die Umwandlung überschüssiger Strommengen in Wasserstoff mittels Elektrolyse dringend benötigte Flexibilität für die zukünftige Energieversorgung. Dafür müssen Tankstellen zur Verfügung stehen. Auf dem noch jungen Markt hat sich auf der Kundenseite bereits ein Standard etabliert, sodass alle Besitzerinnen eines Brennstoffzellenfahrzeugs an jeder Wasserstofftankstelle nachtanken können. Der technische Aufbau der Tankstellentechnologie ist dabei, je nach Anwendung, unterschiedlich. Teil der Arbeit war es einzuschätzen, welche Konzepte für den zukünftigen Markt eine Rolle spielen. Aufgrund der Vergleichbarkeit zwischen den relevanten Konzepten und dem in der ISE-eigenen Tankstelle umgesetzten Aufbau, wurde die institutseigene Tankstelle modelliert und die vorhandenen Messdaten genutzt, um die Plausibilität der Ergebnisse zu überprüfen.

Im Rahmen vorangegangener Abschlussarbeiten wurde am Fraunhofer ISE ein Simulationsmodell eines Power-to-Gas-Systems auf Basis der PEM-Elektrolyse erstellt. Dieses Modell hatte zum Ziel, das dynamische Systemverhalten nachzubilden, Aussagen/Vorhersagen zum realen Wirkungsgrad der Anlage zu geben und die tatsächliche jährliche Wasserstofferzeugung zu prognostizieren. Darauf konnte Frau Amtenbrink aufbauen.

In ihrer Arbeit wurde ein nulldimensionales, thermodynamisches Realgasmodell einer Wasserstofftankstelle in MATLAB/Simulink erstellt. Dafür wurden für die Einzelkomponenten einer Wasserstofftankstelle die Enthalpie- und Stoffbilanzen aufgestellt, in Simulink implementiert und über eine Steuerungslogik zu einem Gesamtsystem verbunden. Mit dem Tankstellenmodell können das Stand-by-Verhalten der Tankstelle und der Betankungsvorgang sekundengenau simuliert werden. Ergebnis sind die Drücke, Temperaturen und Stoffströme des Wasserstoffs an den relevanten Stellen im Gesamtsystem und der Energieverbrauch der Tankstelle, aufgeschlüsselt nach den wichtigsten Einzelkomponenten.

Das Speichermodell kann auf Grundlage der Erhaltungsgleichungen über die zu- und abfließenden Stoffströme den sich ergebenden Druck und die Temperatur des Wasserstoffs im Speicher nachbilden, wobei die Realgasgleichung nach Redlich und Kwong benutzt wurde. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung durch Konvektion und Wärmeleitung ist berücksichtigt. Das Modell ist auf verschiedene Speicher parametrisierbar und kann über die Anpassung der Geometrie- und Materialwerte sowohl für die Druckbänke an der Tankstelle, als auch für den Fahrzeugtank genutzt werden.

Die Speichermodelle zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit der Realität. Die Drücke in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur und die Temperaturerhöhung, die sich als Resultat einer Speicherbefüllung ergibt, können nachgebildet werden, ebenso der nach einer Befüllung erfolgende Temperaturausgleich mit Druckreduzierung. Durch das Modell für die Rohrleitungen können die Druckverluste innerhalb der Tankstelle abgebildet werden. Das Modell ist durch die Wahl der Geometrieparameter auf unterschiedliche Tankstellenkonfigurationen anwendbar.

Der Kompressor wurde isentrop modelliert und die Verdichtungsarbeit mit einem isentropen Wirkungsgrad korrigiert. Der Druckanstieg, der sich durch den Kompressor beim Wiederbefüllen der Druckbank ergibt, ist durch die Simulation genau wiedergegeben. Dadurch ergibt sich, dass die Dauer der Speicherbefüllung zwischen Simulation und Messung übereinstimmt.

Zur Modellierung der Kältemaschine wurde der Kältemittelkreislauf stark vereinfacht und durch eine Kälteleistung ersetzt, die von der Umgebungstemperatur abhängt.

Für die wichtigsten Energieverbraucher an der Tankstelle, Kompressor und Kältemaschine, wurden Modelle erstellt, durch die der Energieverbrauch in Abhängigkeit der Betriebsführung berechnet werden kann. Nach der anschließenden Validierung kann das Modell dazu dienen, die Hauptenergieverbräuche an der Tankstelle zu quantifizieren und die Größe der einzelnen Komponeten optimal aufeinander auszulegen. Damit kann in Zukunft entschieden werden, ob zum Beispiel die Betriebsführung der Kältemaschine zur Optimierung des Gesamtwirkungsgrades verändert werden sollte.

Literatur und weiterführende Informationen

Pressemitteilung des H2-Tankstellen-Konsortiums

App zum Auffinden von Wasserstofftankstellen sowie Karte mit Wasserstofftankstellen in Deutschland

Informationen zur ersten H2-Tankstelle in Karlsruhe

https://pem-electrolysis.de Homepage des Bereichs Wasserstofftechnologien am Fraunhofer ISE

H.D. Baehr und S. Kabelac. Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2012. 978-3-642- 24160-4. doi: 10.1007/978-3-642-24161-1, 2012.

E. Rothuizen e.a: Optimization of hydrogen vehicle refueling via dynamic simulation. International Journal of Hydrogen Energy Vol. 38, No. 11, p. 4221-4231, 2013.

A. Huss und M. Corneille. Wasserstoff-Tankstellen. Ein Leitfaden für Anwender und Entscheider. Wiesbaden: Hessisches Ministerium für Umwelt, Energie, Landwirtschaft und Verbraucherschutz, 2011.

Podcasts

F. Schueth, T. Pritlove: Energieforschung, Episode 12 im Forschergeist Podcast, Stifterverband/Metaebene, 2015.

M. Voelter, D. Schumann: Elektromobilität, Episode 163 im omega tau Podcast, 2015.

Gudrun had two podcast conversations at the FEniCS18 workshop in Oxford (21.-23. March 2018). FEniCS is an open source computing platform for solving partial differential equations with Finite Element methods.

This is the first of the two episodes from Oxford in 2018.

Roisin Hill works at the National University of Ireland in Galway on the west coast of Ireland. The university has 19.000 students and 2.000 staff. Roisin is a PhD student in Numerical Analysis at the School of Mathematics, Statistics & Applied Mathematics. Gudrun met her at her poster about Balanced norms and mesh generation for singularly perturbed reaction-diffusion problems. This is a collaboration with Niall Madden who is her supervisor in Galway.

The name of the poster refers to three topics which are interlinked in their research. Firstly, water flow is modelled as a singularly perturbed equation in a one-dimensional channel. Due to the fact that at the fluid does not move at the boundary there has to be a boundary layer in which the flow properties change. This might occur very rapidly. So, the second topic is that depending on the boundary layer the problem is singularly perturbed and in the limit it is even ill-posed. When solving this equation numerically, it would be best, to have a fine mesh at places where the error is large. Roisin uses a posteriori information to see where the largest errors occur and changes the mesh accordingly. To choose the best norm for errors is the third topic in the mix and strongly depends on the type of singularity.

More precisely as their prototypical test case they look for u(x) as the numerical solution of the problem

−ε2u″(x)+b(x)u(x) = f(x)onΩ=(0,1)

u(0) = u(1) = 0

for given functions b(x) and f(x). It is singularly perturbed in the sense that the positive real parameter ε may be arbitrarily small. If we formally set ε = 0, then it is ill-posed. The numercial schemes of choice are finite element methods - implemented in FEniCS with linear and quadratic elements. The numerical solution and its generalisations to higher-dimensional problems, and to the closely related convection-diffusion problem, presents numerous mathematical and computational challenges, particularly as ε 0. The development of algorithms for robust solution is the subject of intense mathematical investigation. Here “robust” means two things:

The algorithm should yield a “reasonable” solution for all ranges of ε, including resolving any layers present; The mathematical analysis of the method should be valid for all ranges of ε.

In order to measure the error, the energy norm sounds like a good basis - but as ε^2 0 the norm 0 with order ε . They were looking for an alternative which they found in the literature as the so-called balanced norm. That remains O(1) as ε 0. Therefore, it turns out that the balanced norm is indeed a better basis for error measurement.

After she finished school Roisin became an accountant. She believed what she was told: if you are good at mathematics, accountancy is the right career. Later her daughter became ill and had to be partially schooled at home. This was the moment when Roisin first encountered applied mathematics and fell in love with the topic. Inspired by her daughter - who did a degree in general science specialising in applied mathematics - Roisin studied mathematics and is a PhD student now (since Sept. 2017). Her enthusiasm has created impressive results: She won a prestigious Postgraduate Scholarship from the Irish Research Council for her four year PhD program.

References

R. Lin, M. Stynes: A balanced finite element method for singularly perturbed reaction diffusion problems. SIAM J. Numer. Anal., 50(5):2729–2743, 2012.

T. Linß: Layer-adapted meshes for reaction-convection-diffusion problems, volume 1985 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2010.

H.-G. Roos, M. Stynes, L. Tobiska: Robust Numerical Methods for Singularly Perturbed Differential Equations, volume 24 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2nd edition, 2008.

Podcasts

M. E. Rognes: Cerebral Fluid Flow, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 134, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017.

In March 2018 Gudrun visited University College London and recorded three conversations with mathematicians working there.

Her first partner was Karen Page. She works in Mathematical Biology and is interested in mathematical models for pattern formation. An example would be the question why (and how) a human embryo develops five fingers on each hand. The basic information for that is coded into the DNA but how the pattern develops over time is a very complicated process which we understand only partly. Another example is the patterning of neurons within the vertebrate nervous system. The neurons are specified by levels of proteins. Binding of other proteins at the enhancer region of DNA decides whether a gene produces protein or not. This type of work needs a strong collaboration with biologists who observe certain behaviours and do experiments. Ideally they are interested in the mathematical tools as well.

One focus of Karen's work is the development of the nervous system in its embryonic form as the neural tube. She models it with the help of dynamical systems. At the moment they contain three ordinary differential equations for the temporal changes in levels of three proteins. Since they influence each other the system is coupled. Moreover a fourth protein enters the system as an external parameter. It is called sonic hedgehog (Shh). It plays a key role in regulating the growth of digits on limbs and organization of the brain. It has different effects on the cells of the developing embryo depending on its concentration.

Concerning the mathematical theory the Poincaré Bendixson theorem completely characterizes the long-time behaviour of two-dimensional dynamical systems. Working with three equations there is room for more interesting long-term scenarios. For example it is possible to observe chaotic behaviour.

Karen was introduced to questions of Mathematical Biology when starting to work on her DPhil. Her topic was Turing patterns. These are possible solutions to systems of Partial differential equations that are thermodynamically non-equilibrium. They develop from random perturbations about a homogeneous state, with the help of an input of energy.

Prof. Page studied mathematics and physics in Cambridge and did her DPhil in Oxford in 1999. After that she spent two years at the Institute for Advanced Study in Princeton and has been working at UCL since 2001.

References

A. Turing: The Chemical Basis of Morphogenesis Philosophical Transactions of the Royal Society of London B. 237 (641): 37–72.1952

J.D. Murray: Mathematical Biology. Springer Science & Business Media, 2013. ISBN 978-3-662-08539-4

M. Cohen, K.M. Page e.a: A theoretical framework for the regulation of Shh morphogen-controlled gene expression. Development, 141(20), 3868-3878, 2014.

N. Balaskas e.a.: Gene regulatory logic for reading the Sonic Hedgehog signaling gradient in the vertebrate neural tube. Cell. 148, 273-284, 2012.

J. Panovska-Griffiths e.a.: A gene regulatory motif that generates oscillatory or multiway switch outputs. J. Roy. Soc. Interface. 10.79, 2013.

Podcasts

L. Adlung: Systembiologie, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 39, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

Omega Tau-Podcast 069: Grundlagen der Zellbiologie

Omega Tau-Podcast 072: Forschung in der Zellbiologie

Konscience-Podcast 024, Kapitel 5: Das Hochlandgen aus "Wie kam das bloß durch die Ethikkommission?"

Gudrun sprach mit Veronika Auinger, die in ihrer Masterarbeit Ladevorgänge für Akkumulatoren (Akkus) optimal regelt. Die Arbeit entstand in enger Zusammenarbeit mit Christian Fleck und Andrea Flexeder von der Firma BOSCH (Abt. Control Theory).

In einer Zeit, in der klar wird, das Erdöl als Energielieferant sehr bald ersetzt werden muss, ist die Suche nach alternativen Antriebsarten im Transport von hoher Priorität. Die populärste ist das Elektrofahrzeug, auch wenn es noch immer darum kämpft, sich in den Köpfen der Menschen zu etablieren. Ein wesentlicher Grund dafür ist die sehr begrenzte Speicherkapazität und die lange Ladezeit der in diesen Fahrzeugen eingebauten Akkumulatoren (*). Wir sind von Verbrennungsmotoren an eine große Reichweite und große Flexibilität gewöhnt. Wenn Elektroautos dieselben Anforderungen erfüllen sollen wie Benzinautos, spielen die Akkus und deren Laderegime(s) eine zentrale Rolle. Automobilzulieferer wie BOSCH oder MAHLE entwickeln schon jetzt einen beträchtlichen Teil der Technologie und Software, die in modernen Fahrzeugen steckt. Nun kommt die Entwicklung von zukunftsträchtigen Akkus als neues Thema und Produkt hinzu.

Das Ziel der Masterarbeit von Frau Auinger war es, eine intelligente Ladestrategie zu finden, die zwei Aspekte des Batteriesystems minimiert: die Zeit, die benötigt wird, um die Batterie vollständig aufzuladen, und den Kapazitätsverlust des Akkus, der durch die Ladung verursacht wird. Eine gleichzeitige Minimierung ist jedoch problematisch, da beide Ziele im Allgemeinen nicht gemeinsam erreicht werden können: Eine minimale Ladezeit führt in der Regel zu einem hohen Kapazitätsverlust und umgekehrt.

Der Grund hierfür ist, dass zur Verkürzung der Ladezeit mit höheren Strömen aufgeladen werden muss, was wiederum zu einer kürzeren Lebensdauer der Akkus führt. So gewinnen intelligente Ladestrategien an Bedeutung, bei denen der Ladestrom einem vorgegebenen Profil folgt, der den Verlust der Lebensdauer minimiert und die Ladezeit akzeptabel kurz hält. Diese Protokolle lassen sich als Lösungen für optimale Steuerungsprobleme bestimmen. In der Praxis erfordert dies Algorithmen, die Lösungen in Echtzeit liefern, was das Ziel dieser Masterarbeit war.

Zu Beginn dieses Projektes lag eine Formulierung des Steuerungsproblem von Carolin Eckhard vor, das von ihr durch eine einfache Implementierung in Matlab gelöst worden war. Das Modell der Lithium-Ionen-Batterie besteht darin aus drei Teilen: Ein Zellspannungsmodell, ein Zelltemperaturmodell und ein Alterungsmodell, das den Kapazitätsverlust in der Zelle beschreibt. Da der Code nicht für Echtzeitzwecke taugte, wurde er von Adrian Tardieu beschleunigt, indem er Gradientenprojektionsmethoden einsetzte. In der Arbeit von Frau Auinger wurde ein vereinfachtes optimales Ladeproblem hergeleitet für das eine analytische Lösung mit Hilfe von Pontrjagin's Satz berechnet werden kann. Diese dient als erste Trajektorie im iterativen Algorithmus, was das Verfahren in der Regel beschleunigt.

Die analytisch abgeleiteten Trajektorien haben sich als sehr nahe an den numerisch berechneten Lösungen des ursprünglichen Problems erwiesen und wurden daher als Ausgangsbasis für den existierenden Algorithmus verwendet.

(*) Man spricht - eigentlich unzutreffend - auch gern von Batterien, weil es im englischen battery heißt.

Literatur und weiterführende Informationen

L.S. Pontrjagin, W.Boltjanski, R.V. Gamkrelidze, E.F. Mishchenko: Mathematische Theorie optimaler Prozesse. Oldenbourg 1967.

N. Tauchnitz. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip für eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschränkungen und seine Anwendung. Doktorarbeit, Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg, 2010.

J. Yan e.a.: Model Predictive Control-Based Fast Charging for Vehicular Batteries. Energies 2011, 4, 1178-1196; doi:10.3390/en4081178.

A. Barré, B. Deguilhem, S. Grolleau, M. Gérard, F. Suard, and D. Riu. A review on lithium-ion battery ageing mechanisms and estimations for automotive applications. Journal of Power Sources, 241:680 689, 2013.

J. Sabatier, J. M. Francisco, F. Guillemard, L. Lavigne, M. Moze, and M. Merveillaut. Lithium-ion batteries modeling: A simple fractional differentiation based model and its associated parameters estimation method. Signal Processing, 107 290 301, 2015.

C. Eckard. Model predictive control for intelligent charging strategies of high-voltage batteries. Master's thesis, Universität Stuttgart, May 2016.

Podcasts

M. Maier: Akkumulatoren, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 123, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017. http://modellansatz.de/akkumulatoren

A. Jossen: Batterien, Gespräch mit Markus Völter im Omega Tau Podcast, Folge 222, 2016.

D. Schumann: Elektromobilität, Gespräch mit Markus Voelter im Omega Tau Podcast, Folge 163, 2015.

J. Holthaus: Batterien für morgen und übermorgen, KIT.Audio Podcast, Folge 2, 2016.

D. Breitenbach, U. Gebhardt, S. Gaedtke: Elektrochemie, Laser, Radio, Proton Podcast, Folge 15, 2016.

Cleanelectric - Der Podcast rund um das Thema Elektromobilität

Guntram Scheithauer ist Mathematiker und forscht an der TU Dresden. Seit seiner Promotion gilt sein Interesse der diskreten Mathematik und der Optimierung. Sein Einstieg in dieses Teilgebiet der Mathematik waren Rundreiseprobleme. Anfang der 1980er Jahre verschob sich das Hauptarbeitsgebiet dann auf Zuschnittsoptimierung und Packungsprobleme. Ausgangspunkt hierfür waren konkrete Anfragen aus der Holzindustrie.

Ein noch sehr einfach formulierbares eindimensionales Zuschnittsproblem ist: Man hat Material der Länge l vorliegen und möchte daraus Teile einer bestimmten Länge so zuschneiden, dass der Abfall minimiert wird. Die Anzahl der Teile ist dabei nicht fest vorgegeben. Mathematisch lässt sich das auf das sogenannte Rucksackproblem zurückführen. Typisch ist, dass eine Nebenbedingung (die Länge) auftritt und nur ganzzahlige Werte sinnvoll sind, also ein ganzahliges lineares Optimierungsproblem vorliegt.

Prinzipiell geht es im Rucksackproblem darum, dass man ein vorgegebenes Volumen des Rucksackes (seine Kapazität) gegeben hat, in das man beliebig verformbare Teile einpackt. In der Praxis so etwas wie Kleidung und Wanderutensilien, die man alle mehr oder weniger nötig braucht. Das heißt, jedes potentiell mitzunehmenden Teil hat zwei relevante Eigenschaften: Es braucht ein bestimmtes Volumen im Rucksack und es hat einen bestimmten Wert an Nützlichkeit. Das Problem ist gelöst, wenn man die Packung mit dem größten Nützlichkeits-Wert gefunden hat.

Theoretisch kann man natürlich alle Möglichkeiten durchgehen, den Rucksack zu packen und dann aus allen die nützlichste aussuchen, aber in der Praxis ist die Anzahl an Möglichkeiten für Packungen sehr schnell so groß, dass auch ein schneller Computer zu lange braucht, um alle Fälle in akzeptabler Zeit zu betrachten. Hier setzt die Idee des Branch-and-Bound-Verfahrens an. Der sogenannte zulässige Bereich, d.h. die Menge der Lösungen, die alle Bedingungen erfüllen, wird zunächst schrittweise in Teilbereiche zerlegt. Auf diesen Teilbereichen werden die Optimierungsprobleme gelöst und dann aus allen die beste Variante gesucht. Leider können dies extrem viele Teilprobleme sein, weshalb der "Bound"-Teil des Verfahrens versucht, möglichst viele der Teilprobleme von vornherein als nicht aussichtsreich zu verwerfen. Der Erfolg des Branch-and-Bound steht und fällt mit guten Ideen für die Zerlegung und die zugehörigen Schranken. Der Rechenaufwand ist für einen konkreten Fall jeweils schwer schätzbar.

Ein weiteres Verfahren für ganzzahlige Optimierungsprobleme ist Dynamische Optimierung. Ursprünglich wurde es für die Optimierung von sequentiellen Entscheidungsprozessen entwickelt. Diese Technik zur mehrstufigen Problemlösung kann auf Probleme angewendet werden, die als verschachtelte Familie von Teilproblemen beschrieben werden können. Das ursprüngliche Problem wird rekursiv aus den Lösungen der Teilprobleme gelöst. Deshalb ist der Aufwand pseudopolynomial und es erfordert etwa gleichen Rechenaufwand für gleich große Probleme.

Weitere Verfahren zur Lösung von ganzzahligen Optimierungsproblemen sind bekannt unter dem Namen Schnittebenenverfahren und Branch-and-Cut. Nach der Berechnung des Optimums der stetigen Relaxation werden Schritt für Schritt neue Nebenbedingungen zum Problem hinzugefügt. Mit Hilfe dieser zusätzlichen Ungleichungen werden nicht ganzzahlige Variablen der kontinuierlichen Lösungen gezwungen, ganzzahlige Werte anzunehmen. Oftmals ist eine Kombination mit einer Verzweigungsstrategie erforderlich.

Eine nahe liegende Verallgemeinerung des oben beschriebenen einfachsten Zuschnittsproblems ist der Zuschnitt von rechteckigen Teilen aus einer Spanplatte. In der Holzindustrie macht eine Kreissäge das meist mit Schnitten von einem Rand der Platte zum gegenüberliegenden. Das sind sogenannte Guillotine-Schnitte. Das trifft auch für Zuschnitt von Glas und Fliesen zu. Hier ist die Anpassung der eindimensionalen Algorithmen noch relativ einfach auf den zweidimensionalen Fall möglich. Richtig schwierig wird es aber, wenn beliebige Polygone als Teile auftreten oder gar solche mit krummlinigen Rändern.

Ein typisches Anwendungsproblem ist, dass eine optimale Anordnung von Einzelteilen eines Kleidungsstück auf einer Stoffbahn in der Regel nicht übertragbar auf eine andere Konfektionsgröße ist.

Eine weitere Familie von Fragestellungen ist: Wie groß muss ein Quadrat sein, um Platz für eine vorgegebene Anzahl von Kreise mit Durchmesser 1 zu bieten? Das ist mathematisch sehr einfach zu formulieren aber in der Regel schwierig zu lösen, da das zugehörige Optimierungsproblem nicht konvex ist.

Literatur und weiterführende Informationen

Rucksackproblem

Algorithmen für Rucksackproblem

Rucksackproblem in Anwendungen

Josef Kallrath: Gemischt-Ganzzahlige Optimierung. Modellierung in der Praxis. Vieweg/Springer 2013.

Guntram Scheithauer: Zuschnitt- und Packungsoptimierung - Problemstellungen, Modellierungstechniken, Lösungsmethoden. Vieweg/Springer 2008.

Guntram Scheithauer: Introduction to Cutting and Packing Optimization - Problems, Modeling Approaches, Solution Methods Springer 2018.

Podcasts

M. Lübbecke: Operations Research, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 110, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/operations-research

M. An: Topologieoptimierung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 125, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017. http://modellansatz.de/topologieoptimierung

K. Berude: Sensoreinsatzplanung, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 154, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2018. http://modellansatz.de/sensoreinsatzplanung

Gudrun war im März 2018 an der TU Dresden zu Gast. Sie bot dort einen Workshop in der Meisterklasse Mathematik an. Außerdem nutzte sie den Aufenthalt in Dresden für ein Gespräch mit Björn Böttcher. Er ist Initiator dieser Veranstaltungsreihe und koordiniert die Schülerförderung an der Fakultät für Mathematik an der TU Dresden.

Die Meisterklasse Mathematik in Dresden ist ein Angebot für Schülerinnen und Schüler der siebten Klassen. Mathelehrerinnen und Lehrer aus Dresden und Umgebung dürfen ihre Mathematik-interessierten Schülerinnen und Schüler vorschlagen, und aus der Gruppe der nominierten werden von der Fakultät 60 Kinder ausgesucht. An drei Samstagen im März werden diese in den Willers-Bau eingeladen. Sie erleben dort Mathematik von einer neuen und überraschenden Seite und befassen sich am Vormittag und Nachmittag mit je einem Thema, das der Dozent oder die Dozentin für sie aufbereitet hat.

Wichtig dabei ist auch, dass sich in der Gruppenarbeit zwischen den Kindern ganz natürlich Kontakte ergeben und sie erleben, dass es viele Gleichgesinnte gibt die ihre Freude an Mathematik, dem Knobeln und dem forschenden Denken teilen.

Auf die Idee, eine Meisterklasse in Dresden zu etablieren kam Björn durch ein Buch über solche Masterclasses in Großbritannien (von Michael J. Sewell herausgegeben). Unkenrufen zum Trotz hat er es im Jahr 2014 zum ersten Mal probiert und hatte mit der Idee Erfolg. Es werden seitdem jedes Jahr mehr als genug Kinder nominiert und die Atmosphäre in den Workshops ist einzigartig. Alle sind mit Begeisterung dabei und selbst für eigentlich rethorisch gemeinte Fragen finden sich stets einige Wortmeldungen im Publikum.

Wer auch einmal einen Kurs anbieten möchte, sollte sich einfach bei ihm melden: bjoern.boettcher@tu-dresden.de

Neben den Meisterklassen gibt es auch andere Angebote für Mathe-Interessierte in Dresden. Besonders bekannt ist wahrscheinlich die Mathematische Schülergesellschaft für die Klassen 6-12.

Literatur und weiterführende Informationen

Michael J. Sewell (ed): Mathematics Masterclasses: Stretching the Imagination, Oxford University Press, 1997.

Aufgabensammlung für Schülerzirkel Mathematik

Schülerförderung der Fakultät Mathematik TU Dresden

Über die Lebensdauer von Seifenblasen - eine Exponentialverteilung im Experiment?. Erscheint im MNU-Journal

Björn Böttcher und die Seifenblasen.

Podcasts

E. Dittrich: Schülerlabor, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 103, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/schuelerlabor

A. Kirsch: Lehramtsausbildung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 104, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/lehramtsausbildung

C. Spannagel: Flipped Classroom, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 51, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015. http://modellansatz.de/flipped-classroom

Christina Lienstromberg von der Leibniz Universität in Hannover war im Februar 2018 zu Gast an unserer Fakultät. In einem Vortrag stellte sie mathematische Forschungsergebnisse zu Modellen für Mikrosysteme (auch mikroelektromechanische Systemen bzw. MEMS) vor. Christina hat in Hannover Mathematik studiert und auch promoviert und ist dort als Postdoc tätig.

MEMS ist eine Technologie mikroskopisch kleiner Apparate mit beweglichen Teilen. Die Geräte bestehen aus Bauteilen mit einer Größe zwischen 1 und 100 Mikrometern (d.h. 0,001 bis 0,1 mm), und MEMS-Bauteile haben in der Regel eine Größe von 20 Mikrometern bis zu einem Millimeter (d.h. 0,02 bis 1,0 mm). Sie bestehen in der Regel aus einer Zentraleinheit, die Daten verarbeitet - dem Mikroprozessor - und mehreren Komponenten, die mit der Umgebung interagieren, wie beispielsweise winzigen Sensoren. Aufgrund des großen Flächen-Volumen-Verhältnisses von MEMS sind die Kräfte, die durch den umgebenden Elektromagnetismus (z.B. elektrostatische Aufladungen und magnetische Momente) und die Fluiddynamik (z.B. Oberflächenspannung und Viskosität) hervorgerufen werden, wichtiger als bei größeren mechanischen Geräten.

MEMS befinden sich unter anderem in Airbags und Laptops und beobachten die Beschleunigung, um entsprechend reagieren zu können. So stellen sie fest, dass sich ein Computer im freien Fall befindet und setzen während des Sturzes den Lesekopf der Festplatte in Parkposition. Oder sie dienen der mechanische Bildstabilisierung in Fotoapparaten. Interessante Weiterentwicklungen werden unter dem Namen Mikrofluidik zusammengefaßt und sind schon jetzt im Einsatz in Tintenstrahl-Druckköpfen oder Lab-on-a-Chip-Systemen.

Die mathematischen Modelle, die Christina und ihre Kollegen betrachten, sind zweidimensionale Schnitte durch ein Gebiet, das eine feste Bodenplatte hat und eine bewegliche Membran darüber, die auf beiden Seiten fest eingespannt ist, aber auf ein elektrisches Potential durch Bewegung reagiert. Viel Information über das System wird in der Durchlässigkeit der Membran ausgedrückt, auch Permittivitätsprofil genannt. Unterschiedliche Systeme von Differentialgleichungen dienen als Modelle, je nach physikalischer Herleitung. In jedem Fall ist ein entweder semi- oder quasilineares hyperbolisches oder parabolisches Evolutionsproblem für die Auslenkung einer elastischen Membran mit einem elliptischen Problem gekoppelt, das das elektrostatische Potential im Bereich zwischen der elastischen Membran und der starren Grundplatte bestimmt.

Von besonderem Interesse bei allen Modellen ist der Einfluss verschiedener Klassen von Permittivitätsprofilen. Außerdem ist das mögliche Auftreten von Singularitäten nach endlicher Zeit spannend, wenn sich z.B. die Membran und die Bodenplatte treffen.

Es zeigt sich, dass das System für alle Werte der angelegten Spannung räumlich und zeitlich wohlgestellt ist. Darüber hinaus wird überprüft, dass die Lösung auch global in der Zeit existiert, vorausgesetzt, dass die angelegte Spannung einen bestimmten kritischen Wert nicht überschreitet.

Literatur und weiterführende Informationen

J. Escher, P. Laurençot, C. Walker: A parabolic free boundary problem modeling electrostatic MEMS, Arch. Rational Mech. Anal., 211,389-417, 2014.

C. Lienstromberg, J. Escher: A survey on second-order free boundary value problems modelling MEMS with general permittivity profile, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 10, no. 4, 745–771, 2017.

C. Lienstromberg, J. Escher: Finite-time singularities of solutions to microelectromechanical systems with general permittivity, Ann. Mat. Pura Appl. (4) 195 (2016), no. 6, 1961–1976.

J.A. Pelesko, D.H. Bernstein: Modeling MEMS and NEMS, CRC Press Inc, ISBN 1584883065, 2002.

X. Zhao: Modeling and Simulation of MEMS Devices, PhD-Dissertation submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University, 2004.

Jonathan Fröhlich hat im Juli 2017 seine Masterarbeit zum Thema "Heterogeneous Multiscale Methods for Poroelastic Media" eingereicht. Sie wurde von Professor Christian Wieners in unserem Institut betreut. Strömungs- und Transportphänomene in sogenannten porösen Medien spielen eine wichtige Rolle in einem breiten Spektrum von Bereichen und Anwendungen, wie zum Beispiel in der Landwirtschaft, der Biomedizin, der Baugeologie und der Erdöltechnik. Betrachtet man beispielsweise den Boden, so stellt man fest, dass der Sand, das Gestein oder der Kies keine homogene Masse ist mit homogenen Materialeigenschaften, sondern aus unzähligen unterschiedlich großen und in den physikalischen Eigenschaften variierenden Teilen bestehen. Die hohe Heterogenität solcher Medien führt auf eine große Komplexität, die im Modell des porösen Mediums stark vereinfacht betrachtet wird. Es liegt deshalb die Frage nahe: Wie verallgemeinert man herkömmliche Modelle für poröse Medien so, dass nicht gleich die komplette Zusammensetzung benötigt wird, aber mehr von der Struktur berücksichtigt wird?

Die vorliegende Arbeit und unser Gespräch konzentrieren sich auf einen Spezialfall, nämlich die einphasige Strömung durch poroelastische Medien. Sie sind gekennzeichnet durch die Wechselwirkung zwischen der Beanspruchung der intrinisischen Struktur und der Strömung der Flüssigkeit. Konkret erzwingt die Änderung des Flüssigkeitsdrucks eine Beanspruchung des Materials, wodurch es beschleunigt und bewegt wird. Ein Beispiel hierfür ist der Blutfluß durch Adern. Das Blut verändert im Fließen ständig die konkrete Geometrie der elastisch verformbaren Adern und gleichzeitig ändern die Adern die Fließrichtung und -geschwindigkeit des Blutes. Dieser Prozeß wird mit bestimmten partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Jonathan verwendete das von Biot (1941) eingeführte linearisierte Modell und erweitert es zu einem quasistatischen Konsolidationsmodell für die Bodenmechanik.

Solche Probleme sind charakterisiert durch die enorme Größe des betrachteten Gebietes, beispielsweise mehrere Kilometer an Flussbett. Dies steht im Kontrast zu den sehr kleineskaligen geometrischen Informationen, wie Sandkorngrößen und -formen, die einen Einfluss auf das System haben. Die standardmäßige Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung dieses Systems von PDEs wird nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn die Auflösung des Netzes wirklich extrem hoch ist. Dies würde zu nicht realisierbaren Rechenzeiten führen. Deshalb wird eine Idee von E und Engquist benutzt, die sogenannte Finite Element Heterogene Multiskalen Methode (FE-HMM) von 2003. Sie entkoppelt den heterogenen Teil und löst ihn durch ein mikroskopisch modelliertes Problem. Das makroskopische Problem braucht dann nur ein viel gröberes Netz und benutzt die Informationen aus dem mikroskopischen Teil als Daten.

Mathematisch gesehen verwendet die Theorie eine schwache Formulierung mit Hilfe von Bilinearformen und sucht nach Lösungen in Sobolev-Räumen. Die passende Numerik für das makroskopische Problem ist eine gemischte Finite-Elemente-Methode für ein gestörtes Sattelpunktproblem. Deshalb müssen für Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen bestimmte Bedingungen erfüllt sein, die der klassischen LBB-Bedingung (auch inf-sup-Bedingung genannt) ähnlich sind. Das zu lösende mikroskopische Problem ist elliptisch und wird mithilfe klassischer Homogenisierungstheorie hergeleitet, wobei zusätzliche Bedingungen zur Sicherung der Zwei-Skalen Konvergenz erfüllt werden müssen.

Literatur und weiterführende Informationen

Maurice A. Biot: General Theory of Three‐Dimensional Consolidation Journal of Applied Physics 12, 155, 1941.

E. Weinan, Björn Engquist: The Heterogeneous Multiscale MethodsCommunications in Mathematical Sciences, Volume 1, Number 1, 87-132, 2003.

M. Sahimi: Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock Wiley Weinheim, 2011.

Assyr Abdulle e.a.: The heterogeneous multiscale method Acta Numerica Volume 21, pp. 1-87, 2012.

Podcasts

J. Fröhlich: Getriebeauswahl, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 028, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.

L.L.X. Augusto: Filters, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

Martina Hofmanová has been working as a professor at the University of Bielefeld since October 2017. Previously, she was a Junior Professor at TU Berlin from February 2016 onwards, and before that an Assistant Lecturer, there.

She studied at the Charles University in Prague, and got her PhD in 2013 at the École normale supérieure de Cachan in Rennes. Her time in Germany started in 2013 when she moved to the Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences in Leipzig as a postdoc.

Gudrun and Martina talk about randomness in the modeling of fluid motion. This topic is connected to the study of turbulent flow. Of course, we observe turbulence all around us, i.e. chaotic behaviour of the pressure and the velocity field in fluid flow. One example is the smoke pattern of a freshly extinguished candle. Its first part is laminar, then we observe transitional turbulent flow and fully turbulent one the further away the smoke travels. A second example is Rayleigh Bénard convection. Under the influence of a temperature gradient and gravity, one observes convection rolls when the temperature difference between bottom and top becomes large enough. If we look more closely, one can prescribe the motion as a mean flow plus random fluctuations. These fluctuations are difficult to measure but their statistical properties are reproduced more easily.

A general procedure in physics and science is to replace expensive time averages by ensemble averages, which can be calculated together on a parallel computer. The concept why this often works is the so-called ergodic hypothesis. To justify this from the mathematical side, the main problem is to find the right measure in the ensemble average.

In the model problem y′=b(y) one can see that the solution is continuously dependent on the initial condition and the solution operator has a semigroup property. For random initial conditions, one can construct the solution operator correspondingly.

Already with this toy problem one sees that the justification of using ensemble averages is connected to the well-posedness of the problem. In general, this is not apriori known. The focus of Martina's work is to find the existence of steady solutions for the compressible flow system, including stochastic forces with periodic boundary conditions (i.e. on the torus).

At the moment, we know that there are global weak solutions but only local (in time) strong solutions.

It turned out that the right setting to study the problem are so-called dissipative martingale solutions: Unfortunately, in this setting, the velocity is not smooth enough to be a stochastic process. But the energy inequality can be proved. The proof rests on introducing artificial dissipation in the mass conservation, and a small term with higher order regularity for the density. Then, the velocity is approximated through a Faedo-Galerkin approximation and a lot of independent limiting processes can be carried out successfully.

The project is a collaboration with Dominic Breit and Eduard Feireisl.

References

M. Hofmanová: Stochastic partial differential equations, Lecture notes, Technical University of Berlin, 2016.

D. Breit, E. Feireisl, M. Hofmanová, B. Maslowski: Stationary solutions to the compressible Navier-Stokes system driven by stochastic forces, preprint, 2016.

D. Breit, E. Feireisl, M. Hofmanová: Local strong solutions to the stochastic compressible Navier-Stokes system, preprint, 2016.

D. Breit, E. Feireisl, M. Hofmanová: Compressible fluids driven by stochastic forcing: The relative energy inequality and applications, Comm. Math. Physics 350, 443-473, 2017.

D. Breit, M. Hofmanová: Stochastic Navier-Stokes equations for compressible fluids, Indiana Univ. Math. J. 65 (4), 1183-1250, 2016.

Podcasts

N. Vercauteren: Lokale Turbulenzen, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 144, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2017. http://modellansatz.de/lokale-turbulenzen

B.Valsler, D. Ansell: The Science of Turbulence, The Naked Scientists Podcast, 2010.

Wenn Naturkatastrophen passieren, ist schnelle Hilfe gefragt. Besonders nach Überschwemmungen oder Erdbeben ist es sehr wichtig, so schnell wie möglich Informationen über das betroffene Gebiet zu erhalten. Dazu befasst sich Kim Berude mit dem mathematischen Modell und Optimierung zur Einsatzplanung von Sensoren und Geräten am IOSB, dem Fraunhofer-Institut für Optronik, Systemtechnik und Bildauswertung, in Karlsruhe und spricht mit Sebastian Ritterbusch darüber.

Ursprünglich hat Kim Berude in Freiberg an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg Angewandte Mathematik studiert, um dann auf eine Stellenausschreibung des IOSB die Chance zu nutzen, im Bereich der Operations Research etwas Praxisluft zu schnuppern.

Die Aufgabe der Sensoreinsatzplanung führt direkt auf ein Vehicle Routing Problem bzw. Tourenplanungsproblem, ähnlich wie es täglich Paketdienstleister erfüllen. Die Hauptaufgabe liegt darin die Sensoren oder Assets möglichst effizient an die verschiedenen Zielorte zu bringen, die Herausforderung liegt aber darin, gleichzeitig verschiedene Nebenbedingungen zu erfüllen. Im Falle der Sensoreinsatzplanung können die Nebenbedingungen durch Reihenfolgen der Abarbeitung, Zeitfenster oder in begrenzen Resourcen der Fahrzeuge liegen, alles das muss geeignet modelliert werden.

Eine vereinfachte Fassung des Tourenplanungsproblems ist das Traveling Salesperson Problem, bei dem die Aufgabe besteht, für eine handelnde Person, eine optimale kürzeste Route durch eine festgelegte Anzahl von Städten zu finden und jede dieser Städe nur einmal anzufahren. Schon dieses Problem ist in der Klasse der NP-Probleme, die nicht deterministisch in polynomialer Zeit lösbar erscheinen. Das bedeutet, dass die erforderliche Rechenleistung oder Rechenzeit für eine Lösung sehr schnell sehr extrem ansteigt. Entsprechend ist auch das allgemeinere Tourenplanungsproblem ebenso rechenintensiv. In der Sensoreinsatzplanung gibt es gegenüber dem Tourenplanungsproblem zusätzlich die besondere Herausforderung, dass eine sehr heterogene Flotte, also sehr unterschiedliche Sensoren und zugehörige Fahrzeuge, zum Einsatz kommen soll.

In der mathematischen Optimierungstheorie nehmen diskrete Probleme eine besondere Stellung ein. Zunächst einmal muss man sich bewusst werden, dass durch jedes Fahrzeug und jede Nebenbedingung weitere Variablen und Gleichungen entstehen, und damit eine höhere Detailtiefe der Modellierung sich unmittelbar auf die Dimension des zu lösenden Problems auswirkt. Ein Standardverfahren um lineare kontinuierliche Optimierungsprobleme zu lösen ist das Simplex-Verfahren. Das funktioniert aber nicht für diskrete Probleme, da es beliebige Zwischenwerte als Ergebnisse erhalten kann. Man könnte alle diskreten Möglichkeiten natürlich auch ausprobieren, das könnte aber sehr lange dauern.

Eine Lösung sind hier die Branch-and-Bound-Verfahren, die das Problem zunächst kontinuierlich lösen, um eine untere Grenze des erwartbaren Ergebnisses zu erhalten. Aus einer nicht ganzzahligen Lösungsvariable werden nun zunächst die nächsten ganzzahligen Varianten in einer Fallunterscheidung untersucht und das Problem in der reduzierten Fassung gelöst. Gibt es eine erste ganzzahlige Lösung, so gibt es nun Grenzen in beide Richtungen, die ermöglichen die Zahl der noch auszuprobierenden Varianten stark einzugrenzen. Sind alle Varianten probiert, bzw. durch die Abschätzungen ausgeschlossen, so erhält man deutlich effizienter eine Lösung als wenn man alle Varianten durchprobiert.

Der A*-Algorithmus ist sehr verwandt zum Branch-and-Bound-Verfahren und wird zum Routing auf Wegenetzen verwendet, beispielsweise im Terrain Projekt. Hier werden Grenzen durch Luftlinie und ebenso gefundene erste Lösungen bestimmt und ebenso recht schnell zum kürzesten Weg zwischen zwei Punkten zu gelangen. Eine Verfeinerung des Branch-and-Bound Verfahrens ist das Branch-and-Cut Verfahren, wo das durch lineare Ungleichungen entstehende Polyeder durch zusätzliche ganzzahlige Lösungen präferierende Einschränkungen weiter einschränkt, und damit das effiziente Simplex-Verfahren noch zielgerichteter einsetzt. Dieses Verfahren und weitere Verfeinerungen wurden im Podcast zu Operations Research mit Marco Lübbecke weiter erklärt.

Die bisher betrachteten Verfahren liefern immer exakt die optimale Lösung, sie sparen nur Zeit, in dem sie unnötige Berechnungen für schlechtere Varianten einsparen. Ist das Problem jedoch so komplex, dass die exakten Verfahren nicht in annehmbarer Zeit eine Lösung liefern, so können Heuristiken helfen, das Problem im Vorfeld in der Komplexität deutlich zu reduzieren. Ein Ansatz ist hier die Neighborhood Search, wo gerade in der Umgebung gefundener regulärer Lösungen nach besseren Varianten gesucht wird. Die spannende Frage ist hier, mit welchen Akzeptanzkriterien zielgerichtet nach passenden Lösungen in der Nachbarschaft gesucht werden.

Die Verfahren wurden an realitätsnahen Testfällen erprobt und evaluiert, wo Kim Berude in ihrer Diplomarbeit den Aspekt des Mehrfacheinsatzes gegenüber schon vorhandenen Optimierungslösungen hinzugefügt hat. Die Fragestellungen kommen keineswegs aus rein wissenschaftlichem Interesse, sondern werden am IOSB direkt benötigt. Die Messeinrichtungen kommen überall auf der Welt zum Einsatz, selbst bei Großveranstaltungen wie 'Das Fest' in Karlsruhe. Die Verfahren der Tourenplanung haben sehr viele Einsatzmöglichkeiten und ein berühmtes Beispiel ist, dass Speditionen durch Vermeiden von Linksabbiegen Zeit und Geld sparen.

Literatur und weiterführende Informationen

P. Toth, D. Vigo: The vehicle routing problem, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.

I. H. Osman: Metastrategy simulated annealing and tabu search algorithms for the vehicle routing problem, Annals of operations research 41.4: 421-451, 1993.

P. Shaw: Using constraint programming and local search methods to solve vehicle routing problems, International Conference on Principles and Practice of Constraint Programming. Springer, Berlin, Heidelberg, 1998.

D. Pisinger, S. Ropke: Large neighborhood search, Handbook of metaheuristics. Springer US, 399-419, 2010.

S. Ropke, D. Pisinger: An adaptive large neighborhood search heuristic for the pickup and delivery problem with time windows, Transportation science 40.4: 455-472, 2006.

Z. Wang, W. Liang, X. Hu: A metaheuristic based on a pool of routes for the vehicle routing problem with multiple trips and time windows, Journal of the Operational Research Society 65.1: 37-48, 2014.

D. Cattaruzza, N. Absi, D. Feillet: Vehicle routing problems with multiple trips, 4OR 14.3: 223-259, 2016.

Studiengang Angewandte Mathematik an der TU Freiberg

Podcasts

M. Lübbecke: Operations Research, Gespräch mit S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 110, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/operations-research

S. Müller: Schulwegoptimierung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 101, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/schulwegoptimierung

U.Leyn: Verkehrswesen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 88, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/verkehrswesen

L. Osovtsova: Logistik, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 33, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014. http://modellansatz.de/logistik