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Modellansatz vor 11 Jahren

Modellansatz 063

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Catherine Bandle war bis 2003 Professorin am Mathematischen
Institut der Universität in Basel. Aber auch über die Emeritierung
hinaus ist sie sehr rege in der Forschung zu elliptischen und
parabolischen partiellen Differentialgleichungen. Das zeigt sich an
einer beeindruckenden Zahl von Publikationen, der Teilnahme an
Tagungen und im Einbringen ihrer Erfahrung in die Tätigkeit von
Gremien wie dem Landeshochschulrat Brandenburg und dem Steering
Committee of the European Science Foundation program: Global and
Geometric Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations.

Ihre Faszination für die Vielseitigkeit dieses Themas in den
Anwendungen und die Zusammenhänge zur Geometrie haben sich über
viele Jahrzehnte erhalten. Für den Workshop Nonlinear Days 2015
wurde sie für einen Hauptvortrag nach Karlsruhe eingeladen. Wir
haben diese Gelegenheit genutzt, das Thema der Modellbildung mit
Hilfe von partiellen Differentialgleichungen mit ihr etwas
allgemeiner zu beleuchten.

Traditionell stehen elliptische wie parabolische Gleichungen am
Beginn der modernen Modellbildung von Prozessen in der Physik,
der Biologie und Chemie. Hier sind es Diffusions-, Reaktions-,
Transport- und Wachstumsprozesse, die zunächst durch gewöhnliche
Differentialgleichungen beschrieben wurden. Allerdings waren vor
etwa 150 Jahren die Anwendungen in Teilen schon zu komplex für
dieses zu einfache Modell. Abhängigkeiten von Veränderungen in
allen Raum- und der Zeitrichtung sollten interagierend erfasst
werden. Das führte zwingend auf die partiellen
Differentialgleichungen.

Mit dem Aufstellen der Gleichungen verband sich die Hoffnung,
durch die zugehörigen Lösungen Vorhersagen treffen zu können. Um
diese Lösungen zu finden, brauchte es aber ganz neue Konzepte. Am
Anfang der Entwicklung standen beispielsweise die Fourierreihen,
die (unter den richtigen Voraussetzungen) eine Darstellung
solcher Lösungen sein können. Werkzeuge wie Fourier- und
Lapalacetransformation konnten zumindest für bestimmte Geometrien
hilfreiche Antworten geben. Später wurder der Begriff der
schwachen Lösung bzw. schwachen Formulierung geprägt und die
damit verbundenen Sobolevräume auf verschiedenen Wegen entwickelt
und untersucht. Die Suche nach den Lösungen der Gleichungen hat
damit die theoretische Entwicklung in der Mathematik stark
vorangetrieben.

Heute sind wir froh, dass wir in der linearen Theorie (siehe auch
Lemma von Lax-Milgram) vieles verstanden haben und versuchen uns
Stück für Stück nichtlineare Modellen anzueignen. Ein erster
Schritt ist häufig eine lokale Linearisierung oder das Zulassen
von Nichtlinearitäten in untergeordneten Termen (semilineare
Probleme). Ein integraler Bestandteil ist hier jedoch auch die
Möglichkeit, mehr als eine Lösung der Gleichung zu haben und wir
brauchen deshalb Konzepte, die physikalisch relevante unter ihnen
zu finden. Hier sind Konzepte der Stabilität wichtig. Nur stabile
Lösungen sind solche, die zu beobachtbaren Phänomenen führen.

Wichtige Werkzeuge in der Lösungstheorie sind auch die Normen, in
denen wir unsere Lösungen messen. Am überzeugendsten ist es, wenn
sich Normen in Energien des Systems übersetzen lassen. Dann kann
man auch die Stabilität im Rahmen von Energieerhaltung und
Energieminimierung diskutieren.

Literatur und Zusatzinformationen

Catherine Bandle: Die Mathematik als moderne Weltsprache - Am
Beispiel der Differenzialgleichungen, UniNova
Wissenschaftsmagazin der Universität Basel, Band 87, 2000.

R.Farwig: Skript zu Elementaren Differentialgleichungen,
Technische Universität Darmstadt, 2008.

Videos zu PDEs (in Englisch)

Video zur Fourierreihenidee auf Deutsch