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Fakultät für Physik - Digitale Hochschulschriften der LMU - Teil 01/05 Podcast
Elemente einer q-Analysis für physikalisch relevante Quantenräume

Elemente einer q-Analysis für physikalisch relevante Quantenräume

Fakultät für Physik - Digitale Hochschulschriften der LMU - Teil 01/05 vor 22 Jahren

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In dieser Arbeit betrachten wir spezielle Quantenräume, die für die
Physik eine besondere Bedeutung haben könnten. Zu diesen zählen der
q-deformierte Euklidische Raum mit drei bzw. vier Dimensionen sowie
der q-deformierte Minkowski Raum. Für jeden dieser Räume
konstruieren wir die zur Formulierung physikalischer Theorien
wichtigen Elemente einer q-Analysis, die als eine mehrdimensionale
Verallgemeinerung des bekannten q-Kalküls für q-Funktionen
angesehen werden kann. Diese Elemente ermöglichen in ihrer
Gesamtheit ein modulares Konzept, das die Basis zur Reformulierung
bekannter physikalischer Theorien bilden kann und gleichzeitig
deren numerische Auswertung erlaubt. Zu diesem Zweck werden die
nichtkommutativen Quantenräume durch Vereinbarung einer
Normalordnung mit kommutativen Räumen identifiziert. Für diese
kommutativen Räumen berechnen wir das Sternprodukt zweier
kommutativer Funktionen, die Operatordarstellungen für die
partiellen Anleitungen des kovarianten Differentialkalküls und
ebenso jene für die Generatoren der zugehörigen Quantenalgebren.
Des Weiteren führen wir einen Integralbegriff ein, der als
Umkehrung der Differentiation aufgefasst werden kann und daher die
Formulierung translations- und rotationsinvarianter Integrale
gestattet. Um Koordinatenfunktionen, die zu verschiedenen
Quantenräume gehören, miteinander multiplizieren bzw.
Tensorprodukte von Quantenräumen bilden zu können, berechnen wir
ausserdem explizite Ausdrücke für das Zopfprodukt. Schliesslich
betrachten wir die untersuchten Quantenräume in Anlehnung an S.
Majid als verzopfte Hopf-Algebren und bestimmen explizite Ausdrücke
für das Coprodukt und die Antipode allgemeiner
Koordinatenfunktionen. Auf diese Weise gelangen wir zu einem mit
der Quantengruppensymmetrie verträglichen Translationsbegriff, der
ausserdem zu mehrdimensionalen Versionen der q-Taylor-Regeln führt.
Als Letztes berechnen wir Verallgemeinerungen von q-Exponentialen,
die in einem erweiterten Sinne Eigenfunktionen der
Ableitungsoperatoren darstellen und somit als q-deformierte
Versionen ebener Wellen aufgefasst werden können.