Analysis und die Abschnittskontrolle

Im Herbst beginnen die neuen Studiengänge der Mathematik am KIT
und neben den Vorlesungen zur Linearen Algebra, Stochastik oder
Numerik gehört die Analysis zu den mathematischen Vorlesungen,
mit dem das Studium der Mathematik in den ersten Semestern
beginnt. Dazu spricht Sebastian Ritterbusch mit Johannes
Eilinghoff, der im letzten Jahr den Übungsbetrieb der
Analysis-Vorlesungen mit großem Anklang organisiert hat.


Die Analysis befasst sich besonders mit der Mathematik um
Funktionen auf reellen Zahlen, welche Eigenschaften sie haben,
und wie man diese differenzieren oder integrieren kann. Vieles
zur Geschichte der Analysis findet man besonders in den Büchern
von Prof. Dr. Michael von Renteln, der unter anderem über die
Geschichte der Analysis im 18. Jahrhundert von Euler bis Laplace,
die Geschichte der Analysis im 19. Jahrhundert von Cauchy bis
Cantor, über Aspekte zur Geschichte der Analysis im 20.
Jahrhundert von Hilbert bis J. v. Neumann und über die Die
Mathematiker an der Technischen Hochschule Karlsruhe 1825-1945
geschrieben hat.


Grundlage für die Mathematik in der Analysis sind die
Zahlenmengen, wie die abzählbaren natürlichen Zahlen ℕ, ganzen
Zahlen ℤ, rationale Zahlen ℚ und schließlich die überabzählbaren
reellen Zahlen ℝ. Während die natürlichen Zahlen direkt mit dem
Beweisprinzip der vollständigen Induktion in Verbindung stehen
und für sich schon ein Thema der Zahlentheorie sind, benötigt man
für die Analysis mindestens die reellen Zahlen. Diese kann man
über konvergente Folgen bzw. Cauchy-Folgen rationaler Zahlen
einführen. Für den Beweis der Äquivalenz dieser beiden
Konvergenzbegriffe kann man die Dreiecksungleichung sehr gut
gebrauchen.


Ein Beispiel für eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine
irrationale Zahl konvergieren ist an=(1+1n)n, die gegen die
Eulersche Zahl e konvergiert, d.h. limn∞an=e. Aus jeder Folge
kann man eine Reihe bilden, indem man die Folgenglieder
aufsummiert. Wichtige Reihen sind die geometrische Reihe mit
Summenwert ∑k=0∞qk=11−q, wenn |q|