Geometrie und Analysis sind auf den ersten Blick zwei sehr
unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch
wunderbar zusammenpassen, erläutert Prof. Dr. Tobias Lamm im
Gespräch mit Gudrun Thäter.
Ein klassisches Beispiel für die geometrische Analysis ist das
Problem der Dido: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein
möglichst großes Gebiet abstecken? Es geht also darum den
Flächeninhalt unter einer Nebenbedingung zu maximieren, und das
ist ein typisches Variationsproblem, das stark von der gegebenen
Geometrie abhängt. Ein anderes Beispiel sind Minimalflächen, wie
man sie beim Olympiastadion in München und Seifenblasen sehen
kann.
Überraschenderweise sind Minimalflächen nicht immer eindeutig.
Ein Weg dies zu analysieren geht über die Beschreibung des
Problems durch Partielle Differentialgleichungen. Oft kann man
über das Maximumsprinzip die Eindeutigkeit beweisen: Bei linearen
elliptischen partiellen Differentialgleichungen sagt das Prinzip
aus, dass das Maximum entweder auf dem Rand angenommen wird oder
konstant ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen
unterschiedlicher Lösungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass
die Differenz wegen der Linearität auch eine Lösung ist, und
wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als
Resultat dieses Widerspruchbeweises die zwei Lösungen identisch.
Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss
dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren
Lösungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen.
Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind
der mittlere Krümmungsfluss und die geometrische
Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage,
mit welcher minimalen Regularität für die Anfangsdaten, noch eine
Lösung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet
sind die recht jungen Willmore-Flächen.
Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur
Plattengleichung, d.h. der Approximation des Durchbiegens von
Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der
Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der
allgemeinen Relativitätstheorie zum Einsatz.
Sehr aktuell ist der Beweis der Poincaré-Vermutung, die 2002 von
Perelman bewiesen werden konnte.
Literatur und Zusatzinformationen
T. Lamm: Geometric Variational Problems, Vorlesung gehalten
an der FU Berlin, 2007.
H. Koch, T. Lamm: Geometric flows with rough initial data,
Asian Journal of Mathematics 16.2: 209-235, 2012.
T. Lamm, J. Metzger, F. Schulze: Foliations of asymptotically
flat manifolds by surfaces of Willmore type, Mathematische
Annalen 350.1: 1-78, 2011.
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