Matrixfunktionen

Modellansatz vor 12 Jahren

Modellansatz 031

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Eine Funktion, die eine Matrix auf eine Matrix abbilden kann, ist
eine Matrixfunktion. Diese Funktionen finden besonders bei der
numerischen Behandlung von Evolutionsgleichungen wie zum Beispiel
der Wärmeleitungsgleichung ihre Anwendung. Dazu bändigt Tanja
Göckler die komplizierten partiellen Differentialgleichungen, die
aus der mathematischen Modellbildung entstehen, durch
Diskretisierung und weiteren Methoden zu gewöhnlichen
Differentialgleichungen. Diese können durch Potenzreihen gelöst
werden, die auch als Matrixfunktionen eingesetzt werden können. So
kann man beispielsweise auch die Exponentialfunktion als
Potenzreihe auf eine Matrix anwenden, um lineare
Differentialgleichungen zu lösen. Im Gespräch mit Gudrun Thäter
erklärt sie, wie man diese Aufgaben aber mit rationalen
Krylov-Verfahren noch viel effizienter lösen kann. Literatur und
Zusatzinformationen

T. Göckler, V. Grimm: Convergence Analysis of an Extended
Krylov Subspace Method for the Approximation of Operator
Functions in Exponential Integrators, SIAM J. Numer. Anal.,
51(4), 2189-2213, 2013.

S. Güttel: Rational Krylov approximation of matrix functions:
Numerical methods and optimal pole selection, GAMM‐Mitteilungen
36.1: 8-31, 2013.

N. J. Higham: Functions of Matrices: Theory and Computation,
Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia,
2008.

S. Ritterbusch: Warum funktioniert das CG-Verfahren? Eine
Einführung in das wohl bekannteste Krylovraum-Verfahren.