Stokes Operator

Peer Kunstmann hat in Kiel Mathematik studiert und 1995
promoviert. In seiner Zeit an der Fakultät für Mathematik in
Karlsruhe hat er sich 2002 habilitiert. Er arbeitet als
Akademischer Oberrat dauerhaft in der Arbeitsgruppe Angewandte
Analysis an unserer Fakultät.


Gudrun hat das Gespräch über ein für beide interessantes Thema -
das Stokesproblem - gesucht, weil beide schon über längere Zeit
mit unterschiedlichen Methoden zu dieser Gleichung forschen. Das
Stokesproblem ist der lineare Anteil der Navier-Stokes
Gleichungen, dem klassischen Modell für Strömungen. Sie haben
eine gewisse Faszination, da sie einfach genug erscheinen, um sie
in ihrer Struktur sehr eingehend verstehen zu können, zeigen aber
auch immer wieder, dass man sie nicht unterschätzen darf in ihrer
Komplexität.


Peers Interesse wurde zu Beginn seiner Zeit in Karlsruhe durch
Matthias Hieber geweckt, der inzwischen an der TU Darmstadt tätig
ist. Es zeigte sich seit damals als sehr aktives
Forschungsgebiet, weshalb er auch immer wieder neu zu diesen
Fragestellungen zurückgekehrt ist.


Mit den klassischen Randbedingungen (konkret, wenn auf dem Rand
vorgeschrieben wird, dass die Lösung dort verschwindet = homogene
Dirichletbedingung) ist das Stokesproblem auffassbar als
Laplaceoperator, der auf Räumen mit divergenzfreien Vektorfeldern
agiert. Der Laplaceoperator ist sehr gut verstanden und die
Einschränkung auf den abgeschlossenen Unterraum der Vektorfelder
mit der Eigenschaft, dass ihre Divergenz den Wert 0 ergibt, lässt
sich mit einer Orthogonalprojektion - der Helmholtzprojektion -
beschreiben. Im Hilbertraumfall, d.h. wenn die Räume auf einer
L^2-Struktur basieren und der Raum deshalb auch ein Skalarprodukt
hat, weiß man, dass diese Projektion immer existiert und gute
Eigenschaften hat.


Für andere Räume ohne diese Struktur (z.B. Lq-basiert für q nicht
2) hängt die Antwort auf die Frage, für welche q die Projektion
existiert, von der Geometrie des Gebietes ab. Für beschränkte
Gebiete geht vor allem die Glattheit des Randes ein.


Das spiegelt sich auch auf der Seite des Laplaceproblems, wo die
Regularität im Innern des Gebietes relativ elementar gezeigt
werden kann, aber in der Nähe des Randes und auf dem Rand gehen
in die Argumente direkt die Regularität des Randes ein.
Mathematisch wird das Gebiet dabei mit Kreisen überdeckt und mit
Hilfe einer sogenannten Zerlegung der Eins anschließend die
Lösung für das ganze Gebiet zusammengesetzt. Für die Kreise, die
ganz im Innern des Gebietes liegen, wird die Lösung auf den
ganzen Raum mit dem Wert 0 fortgesetzt, weil die Behandlung des
ganzen Raumes sehr einfach ist. Für Kreise am Rand, wird der Rand
lokal glatt gebogen zu einer geraden Linie und (ebenfalls nach
Fortsetzung mit 0) ein Halbraum-Problem gelöst. Natürlich liegt
es in der Glattheit des Randes, ob das "gerade biegen" nur kleine
Fehlerterme erzeugt, die sich "verstecken" lassen oder ob das
nicht funktioniert. Für einen Rand, der lokal durch zweimal
differenzierbare Funktion dargestellt werden kann, funktioniert
diese Technik gut. Für Gebiete, die einen Rand haben, der lokal
durch Lipschitzstetige Funktionen darstellbar ist, werden z.B.
Randintegraldarstellungen direkt untersucht. Dort existiert die
Helmholtzzerlegung für alle q im Intervall
3/2−\vareps