Oszillationen

Diese Folge entstand im Rahmen eines Projekts zur
Modellbildungsvorlesung von Gudrun. Es ist eine Arbeit von Yannik
Brenner, Bastian Hasenclever und Urs Malottke, die das Ziel
haben, in einigen Jahren Mathematik und Physik am Gymnasium zu
unterrichten. Außerdem macht Yannik selbst Musik und hat sich
deshalb ganz praktisch mit Schwingungen an der Gitarre
beschäftigt. Die drei hatten die Idee, dass man das Thema
Schwingunge interessant für die Schule aufbereiten kann, wenn es
dazu auch Hörbeispiele gibt. Deshalb haben Sie sich an einen
Tisch gesetzt, das Gespräch und die Hörbeispiele aufgenommen und
schließlich den Text dazu aufgeschrieben.

Der harmonische Oszillator spielt eine wichtige Rolle zur
Modellierung verschiedenster physikalischer Sachverhalte. Daher
bietet es sich an, ihn schon in der Schule zu thematisieren, wo
er auch in der Oberstufe im Bildungsplan zu finden ist. Während
im Podcast der Versuch unternommen wurde, ein Grundverständnis
für das Thema ohne formale Zusammenhänge zu entwickeln, sollen
hier zusätzlich die mathematischen Hintergründe gemeinsam mit
einigen Abbildungen ergänzt werden. Die didaktischen Aspekte, die
in der Episode zur Sprache kommen, spielen im folgenden Text
jedoch nur eine untergeordnete Rolle.


Grundlegendes


Ein Oszillator ist ein System, das um einen bestimmten Punkt,
in der Regel Ruhepunkt oder auch die Ruhelage genannt,
schwingen kann. Befindet sich das System in Ruhe in dieser
Ruhelage, passiert ohne die Einwirkung äußerer Kräfte nichts;
wird das System von diesem Punkt ausgelenkt, wird es durch eine
rückstellende Kraft wieder Richtung Ruhepunkt beschleunigt. Der
Zusatz "harmonisch" bedeutet, dass die Rückstellkraft linear
von der Auslenkung zum Ruhepunkt abhängt, also proportional zur
Auslenkung zunimmt. Der Graph der Bewegungsfunktion ist eine
Sinus- oder Cosinus-Kurve.
Die einfachsten und wohl auch bekanntesten Beispiele eines
Oszillators im Bereich der Mechanik sind das Faden- und das
Federpendel. Beim Fadenpendel ist der niedrigste Punkt die
Ruhelage und die Rückstellkraft resultiert aus der
Gravitationskraft. Beim Federpendel stellt die Federkraft die
rückstellende Kraft dar.




Eigenschaften eines harmonischen Oszillators

Ein schwingfähiges System besitzt verschiedene Eigenschaften,
mit deren Hilfe das gesamte System beschrieben werden kann. Um
den harmonischen Oszillator zu verstehen, kann man sich zuerst
die Bewegungsgleichung ansehen, also die Gleichung, die die
aktuelle Lage des Systems beschreibt. Ausgangspunkt ist die
Rückstellkraft, die im mechanischen Fall linear von der
Auslenkung zur Ruhelage, also dem aktuellen Ort, abhängt (auf
nicht-mechanische Einsatzgebiete wird später eingegangen). Die
Rückstellkraft F kann mit einer Variablen k, die von
verschiedenen Merkmalen des Systems abhängt, gemeinsam mit dem
Ort also als


F(t)=−kx(t)


dargestellt werden. Die Kraft kann auch als Beschleunigung a,
also der zweifachen Ableitung des Ortes, mal der Masse m
ausgedrückt werden, wodurch die Formel auch folgendermaßen
aussehen kann:


F(t)=ma(t)=mx″(t)=−kx(t)mx″(t)+kx(t)=0x‘‘(t)+k/mx(t)=0


Diese Art von Formeln, in der eine Größe gemeinsam mit einer
ihrer Ableitungen auftritt, wird Differentialgleichung
genannt.
Das Erarbeiten einer Lösung ist leichter, wenn durch ω02=k/m
die Gleichung vereinfacht wird. ω0 wird die Eigenfrequenz des
Systems genannt und gibt außerdem an, wie viele Schwingungen
das System in einer bestimmten Zeit, oftmals einer Sekunde,
macht, wenn keine anderen Kräfte vorliegen. Somit ergibt
sich

x″(t)+ω02x(t)=0.


Die Lösung der Funktion für den Ort x(t) muss eine Funktion
sein, die nach zweimaligem Ableiten bis auf einen Vorfaktor und
das Vorzeichen wieder die Ursprungsfunktion ist. Deshalb sind
Sinus- und Cosinus-Funktionen, oder die äquivalente Darstellung
durch die e-Funktion (siehe Eulersche Formel), Lösungen. Werden
nun


x1(t)=Asin(ω0t),x2(t)=Bcos(ω0t)


gewählt, wobei A und B die Amplituden, also maximalen
Auslenkungen der Schwingungen darstellen, kann mit den
Ableitungsregeln überprüft werden, dass dies Lösungen für die
Bewegungsgleichung sind.


Als Summe zweier Lösungen ist auch


x(t):=x1(t)+x2(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t).


Eine Lösung, die die allgemeine Lösung genannt wird. Die beiden
Amplituden der einzelnen Sinus-/Kosinus-Funktion müssen dabei
aus Anfangsbedingungen bestimmt werden. Man sieht, dass B die
Amplitude der beobachtbaren Schwingung sein muss, also der
maximalen Auslenkung, die beim Zeitpunkt t=0 vorliegt, da die
Gesamtschwingung zum Zeitpunkt t=0 diese Auslenkung annehmen
muss und zu diesem Zeitpunkt der Sinus verschwindet:


B=x(t=0)=x2(t=0).


Die Amplitude der Sinus-Funktion bestimmt sich nach


A=1/ω0x’(t=0)


und spielt daher dann eine Rolle, wenn zum Zeitpunkt t=0
bereits eine Geschwindigkeit vorliegt, das System also nicht
aus der Ruhe losgelassen, sondern angestoßen wird.


Zu besprechen ist allerdings noch, wie die Gleichung bei einem
anderen Pendel als dem Federpendel aussieht. Das Prinzip des
Oszillators bleibt gleich und somit natürlich auch die
Mathematik, die ihn beschreibt. Allerdings setzt sich ω0 bei
anderen Pendeln anders zusammen, da bei ihnen andere
Rückstellkräfte und andere Systemeigenschaften eine Rolle
spielen und nicht die Federkonstante und Masse wie beim
Federpendel. So gilt beim Fadenpendel


ω02=g/(2lπ),


wobei g die klassische Gravitationskonstante ist, die beim
Fadenpendel eine große Rolle für die Rückstellkraft einnimmt,
und l die Fadenlänge darstellt. Werden Oszillatoren außerhalb
der Mechanik betrachtet, beispielsweise der elektrische
Schwingkreis, ergibt sich ω0 aus den Eigenschaften, die dieses
System beschreiben. Beim elektrischen Schwingkreis z.B. aus der
Induktivität L der Spule und der Kapazität C des Kondensators:


ω02=1/(LC).


Um die Sinus-förmige Schwingung eines Oszillators zu
beschreiben, werden noch weitere Begriffe verwendet, die jedoch
aus den bisher vorgestellten Eigenschaften bestimmt werden
können. So wird unter der Schwingungs- oder Periodendauer T die
Zeit verstanden, die das System für eine vollständige
Schwingung benötigt. Da sie als Informationen die Anzahl an
Schwingungen und eine Zeit enthält, muss sie eng mit der
Eigenfrequenz zusammenhängen: T=2π/ω0.




Überblick über die wichtigsten Begriffe zur Beschreibung
einer Schwingung (Quelle: leifiphysik.de)


Ungedämpfter harmonischer Oszillator

Immer dann, wenn ein schwingfähiges System mit der obigen
Gleichung beschrieben werden kann, handelt es sich um einen
ungedämpften harmonischen Oszillator. Denn an der Gleichung
wird klar, dass die Amplitude, also die maximale Auslenkung,
auch bei der 20ten, 100ten, 10.000ten Schwingung wieder
erreicht wird. Da sich die Systemeigenschaften ohne äußere
Einflüsse ebenfalls nicht ändern, ändert sich das Verhalten
dieses Oszillators nie und er schwingt stets gleich um die
Ruhelage.


Nach der mathematischen Herleitung ist schon fast alles zum
ungedämpften harmonischen Oszillator gesagt, denn: Reale
Beispiele und Anwendungen gibt es nicht! In der Realität gibt
es immer einen Widerstand, der den Oszillator ausbremst und die
Auslenkung langsam kleiner werden lässt. Aus diesem Grund ist
der ungedämpfte Oszillator nur zum Kennenlernen und Verstehen
des Verhaltens sowie als Näherungslösung geeignet.



Gedämpfter harmonischer Oszillator

Beim gedämpften harmonischen Oszillator existiert eine
bremsende Kraft. Das ändert die mathematische Beschreibung in
der Differentialgleichung. Die Bewegungsgleichung des
Federpendels (und äquivalent die Gleichungen anderer
Oszillatoren) wird um einen Term ergänzt, der im einfachen Fall
der Reibung in der Luft, also einem Reibungskoeffizienten α und
proportional zur Geschwindigkeit ist:


F=mx‘‘(t)=−kx−αx’(t)x‘‘(t)+α/mx’(t)+ω02x(t)=0.


Oft wird α/(2m) zu β zusammengefasst, um das rechnen zu
vereinfachen. Die zu lösende Differentialgleichung wird auf die
gleiche Art gelöst, wird aber natürlich komplizierter. Als
Lösungsansätze empfehlen sich wieder Sinus-, Cosinus- oder
e-Funktion. Mit dem Ansatz x(t)=e(λt) ergeben sich Lösungen,
wenn λ die folgende Gleichung erfüllt:


λ2+2βλ+ω02=0λ1,2=−β+−β2−ω02.


Je nachdem, wie das Verhältnis von Dämpfung und Eigenfrequenz
sind, werden verschiedene Fälle unterschieden:



Schwach gedämpfter Fall

Der schwach gedämpfte Fall tritt auf, wenn β