Topologieoptimierung

Margarita An hat ihre Masterarbeit im Rahmen einer Zusammenarbeit
mit Dassault Systèms Deutschland (mit Sitz im Technologiepark in
Karlsruhe) geschrieben. Sie hat Technomathematik mit dem
technischen Nebenfach Maschinenbau studiert. Deshalb war sie
daran interessiert für ihre Abschlußarbeit eine mathematische
Fragestellung für eine möglichst konkretes Problem im
Maschinenbau zu finden.


Nun hat sie eine neue Optimierungsstrategie entwickelt und
implementiert, die Eulersche Formoptimierung mit
Topologieoptimierung kombiniert. Formoptimierung bedeutet, ein
Modell in seiner Form so zu verändern, dass ein bestimmtes
Zielfunktional - z.B. die Spannungsbilanz im Körper - minimal
wird. De Facto bedeutet das, dass die Oberfläche des Körpers bzw.
sein Rand im Optimierungsprozess verändert wird. Eulersch heißt
hierbei, dass die Geometrie des Randes mit Hilfe von
Kontrollpunkten auf einem festen Netz definiert wird, während
sich in der Lagrange-Formulierung das Netz während des
Optimierungsprozesses verändert. Letzteres führt jedoch zu einer
Abhängigkeit aller Algorithmen und Rechnungen von den
Rechengitterknotenkoordinaten.


Hierfür dienen insbesondere regelmäßige Finite Elemente (kurz FE)
Netze aus Quadraten bzw. Würfeln als Rechengitter. Die
Kontrollpunkte sind dann die Designvariablen. Die Idee ist es,
die Beschreibung des Randes vom FE-Netz zu trennen, d.h. die
Oberfläche kann sich durch das Rechengitter "bewegen", ohne es zu
beachten. Anstatt im Rechengitter Knoten mit dem Rand zu
verändern, wird in dem betroffenen Teilgebiet des Modells ein
Pseudodichtefeld wie von Topologieoptimierung bekannt, bestimmt.
Dementsprechend kann die topologische Sensitivität mit einem
Topologieoptimierungs-Werkzeug (z.B. Tosca Structure oder anderer
CAD-Software) berechnet werden. Entscheidend dafür dass das gut
funktioniert ist, dass die Abbildungsfunktion, welche
topologische Sensitivität in Formoptimierungs-Sensitivität
transformieren kann, linear ist.


Falls sich während des Optimierungsprozesses die FE-Netze ändern
dürfen, vereinfacht das die Optimierung erheblich - vor allem die
Sensitivitäts-Analyse. Auf der anderen Seite, ist die
Beschreibung der Geometrie in Bezug auf die Randkurven oder
Oberflächen natürlich etwas komplizierter. Wie die in der Arbeit
vorgestellten Beispiele zeigen, ermöglicht der modifizierte
Ansatz für Eulersche Formoptimierung jedoch durchaus optimale
Lösungen ohne Gitter-Verformungen. Es gibt sogar ein recht
einfaches Beispiel dafür, dass der Lagrange-Ansatz versagt,
während der Eulersche Ansatz schnell die gewünschte Lösung
findet.
Literatur und weiterführende Informationen

K. Bandara, T. Rüberg & F. Cirak Shape: Optimisation with
Multiresolution Subdivision Surfaces and Immersed Finite Elements
Computer, Methods in Applied Mechanics and Engineering 300,
510-539, 2016.

N.H. Kim & Y. Chang: Eulerian Shape Design Sensitivity
Analysis and Optimization with a Fixed Grid Computer Method in
Applied Mechanics and Engineering 194, 3291-3314, 2005.

Kimmich: Strukturoptimierung und Sensibilitätsanalyse mit
finiten Elementen Berich Nr. 12, Institut für Baustatik der
Universität Stuttgart, 1990.

Podcasts

P. Allinger und N. Stockelkamp: Strukturoptimierung, Gespräch
mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 053, Fakultät für
Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.