»Streuspanne-Lexikon« – B wie Binomialverteilung

Im heutigen »Streuspanne-Lexikon«-Eintrag geht es darum, wofür
man die Binomialverteilung braucht und was das überhaupt ist. Wie
gewohnt: kurz und knapp verständlich erklärt – in unter fünf
Minuten. 


»Eine Figur in jedem siebten Ei!« – Im Beispiel des
Lexikonbeitrags interessiert sich das »Streuspanne«-Team dafür,
wie oft eine Happy-Hippo-Figur in einem Überraschungsei zu finden
ist, wenn jemand einen Monat lang jeden Tag ein Ei kaufen würde.
Hier wäre die individuelle Erfolgswahrscheinlichkeit »p« genau
ein Siebtel, die Anzahl der Wiederholungen »N« wäre 30 Tage und
»k« ist das zufällige Ergebnis, nämlich die Anzahl der Erfolge.


Wie oft man nun welchen Wert von k erwarten darf, das regelt die
Binomialverteilung.


 


Neben Überraschungseiern kann man damit auch andere
Wahrscheinlichkeiten (zum Beispiel für einen Münz- oder
Würfelwurf) berechnen und Voraussagen über komplexe Vorgänge wie
dem Verbreiten von Krankheiten treffen.


 


Die Formel für die Binomialverteilung lautet


(N über k) mal p^k mal (1-p)^(N-k).


Auf den ersten Blick sieht das kompliziert aus, aber mit ein
bisschen Lesehilfe verliert die Formel ihren Schrecken.


p^k ist einfach zu verstehen: Wenn ich k Erfolge in N
Wiederholungen haben möchte, dann muss k-Mal der Erfolg
eintreten, was mit der Wahrscheinlichkeit p passiert. Also
schlicht die Wahrscheinlichkeit p, k-mal mit sich selbst
multipliziert.


 


Analog lässt sich gut nachvollziehen, wieso (1-p)^(N-k) in der
Formel steht. Denn ich muss bei k Erfolgen dann mit genau N-k
Misserfolgen rechnen, und jeder einzelne Misserfolg passiert mit
Wahrscheinlichkeit 1-p.


 


Der letzte Bestandteil (N über k) ist etwas abstrakter. Das ist
der sogenannte Binomialkoeffizient. Was das mathematisch heißt,
wäre zu ausufernd für einen Lexikon-Eintrag, aber es zählt
einfach, auf wie viele Möglichkeiten sich k Erfolge in N
Versuchen unterbringen lassen.


Schwere Worte, aber mit einfacher Bedeutung.


 


Aber wie sieht diese Binomialverteilung aus?


Wenn N immer größer wird, nähert sich die Binomialverteilung
immer weiter einer Normalverteilung an. Die Anzahl der Treffer
verteilen sich links und rechts symmetrisch zum Erwartungswert,
bei p=1/2 also genau der Mitte. Genau an diesem Erwartungswert
ist die Anzahl der Treffer am größten, in beide Richtungen wird
sie immer kleiner. 


 


Ganz in Kürze: Die Binomialverteilung zählt die Anzahl an
Erfolgen in einer festgelegten Anzahl von Wiederholungen. Was das
für die Überraschungseier und die Figuren heißt, hört Ihr im
»Streuspanne-Lexikon«.


 


Ihr habt eine seltsame Statistik in den Medien entdeckt und
wollt, dass wir sie im Podcast zum Thema machen? Oder Euch ist
ein mathematisches Zahlen- oder Gedankenspiel aufgefallen? Dann
meldet Euch gerne über presse@itwm.fraunhofer.de bei uns. Auch
Vorschläge für weitere Lexikon-Einträge sind willkommen.


 


Ihr seid gerade aus einer anderen langen, regulären
Streuspanne-Folge hierher gesprungen? Dann schnell wieder zurück
zur langen Folge!