Impedanztomographie

Stefanie Hollborn arbeitet an der Universität Mainz am Thema
Elektrische Impedanztomographie, die im Vergleich zur
Röntgentomographie deutlich weniger schädlich ist und im
Vergleich zur Magnetresonanztomographie deutlich preiswerter ist.
Mit Hilfe von Elektroden auf der Oberfläche von Objekten wird
niedriger Strom auf den Rand des Objektes angelegt und
anschließend die resultierende Spannung und dadurch die Impedanz
gemessen. Mit Hilfe der daraus abgeleiteten
Leitfähigkeitsverteilung im Schnittbild kann man dann
Rückschlüsse darauf ziehen, ob im Körper Verunreinigungen
vorhanden sind. Dies findet beispielsweise Anwendung bei der
Sichtbarmachung, also der Tomographie, von Krebszellen oder beim
Auffinden von Blasen in Zement. Der Vorteil des Verfahrens ist,
dass es billig einsetzbar und nicht schädlich für lebende
Organismen ist. Außerdem sind Kontraste häufig sehr gut
auflösbar.


Mathematisch werden die Gleichungen für die Wechselwirkung von
Strom- und Magnetfeld als Modell zugrunde gelegt. Das
Spannungspotential, das als Reaktion auf den Input vom Rand
entsteht, lässt sich als Überlagerung von harmonischen Funktionen
darstellen. Die Verunreinigungen sind überall da, wo eine
harmonische Fortsetzung der Lösung vom Rand her nicht mehr
möglich ist. Dort weicht das Feld dann nämlich vom homogenen
Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen müsste.


Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar
eng nebeneinander liegende Elektroden entstehen. Die Hoffnung
ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen.
Mathematisch muss hier ein eindimensionales Randwertproblem
gelöst werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch
ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem Fehler
verstärkt werden. Dieser Begriff geht zurück auf Jacques
Hadamard, der den Begriff der gut gestellten Probleme eingeführt
hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die Lösungen
zu Regularisieren bzw. die regulären Lösungen aus der Schar aller
möglichen Lösungen auszuwählen.


Stefanie Hollborn hat sowohl Philosophie als auch Mathematik
studiert. Für beide Gebiete ist die Logik ein fundamentales
Konzept, wobei die formale mathematische Beschreibung ihre
Anwendung sehr erleichtert.
Literatur und weiterführende Informationen

L. Borcea: Electrical impedance tomography, Inverse Probl.
18, R99-R136, 2002.

M. Cheney, D. Isaacson, J. Newell: Electrical impedance
tomography, SIAM Rev. 41, No.1, 85-101, 1999.

M. Brühl, M. Hanke-Bourgeois: Kann die Mathematik der
elektrischen Impedanztomographie zum Durchbruch verhelfen?
Beitrag im Forschungsmagazin der Johannes Gutenberg-Universität
Mainz, 2000.

M. Hanke, S. Reusswig, N. Hyvönen: An inverse backscatter
problem for electric impedance tomography, SIAM J. Math. Anal.
41.5, 1948-1966, 2009.

S. Hollborn: Wie zwei Elektroden tiefe Einblicke gewähren