Automorphe Formen

Hans-Georg Rück ist Professor an der Universität in Kassel in der
Arbeitsgruppe Algorithmische Algebra und diskrete Mathematik. Im
Rahmen des diesjährigen Weihnachtsworkshops der Arbeitsgruppe
Zahlentheorie und Algebraische Geometrie an unserer Fakultät
sprach er zu Drinfeld automorphen Formen. In unserem Gespräch
gehen wir der Frage nach, was das ist und zu welchen
strukturellen Einsichten diese Werkzeuge dienen können.


Automorphe Form ist ein sehr alter Begriff. Ausgangspunkt sind
holomorphe Funktionen z.B. auf der oberen komplexen Halbebene.
Statt Funktionen in einer komplexen Variablen werden jedoch
Gruppen angewendet. Die automorphen Formen zeichnen sich dadurch
aus, dass sie Invarianzeigenschaften unter bestimmten Gruppen
haben. Ein einfaches Beispiel für so eine Invarianzeigenschaft
ist, wenn eine Funktion z.B. den gleichen Wert für die komplexen
Zahlenwerte z und z+1 hat - also periodisch ist. Ein Beispiel für
eine komplexere Operation ist es, die Zahl z nicht in eine
Funktion einzusetzen, sondern eine Matrix auf sie anzuwenden.


Historisch entstanden sind solche Fragestellungen z.B. dadurch,
dass man den Umfang von Ellipsen ausrechnen wollte. Gelöst wurde
diese Frage mit Hilfe der Weistraßschen ℘-Funktion. Diese erfüllt
eine algebraische Gleichung - die sogenannte elliptische
Funktion. Hiervon werden ganze Klassen von Funktionen abgeleitet.
Insbesondere auch die automorphen Funktionen.


Interessant daran ist, dass man gut mit automorphen Funktionen
rechnen kann. Die automorphen Formen haben die angenehme
Eigenschaft, dass Reihendarstellungen häufig nach einer endlichen
Zahl von Gliedern abbrechen und auch Integrale sich durch solche
endliche Reihen darstellen lassen. Außerdem hängen sie mit
elliptischen Kurven zusammen, die letztlich ein wesentlicher
Zugang waren, um den Satz von Fermat zu beweisen.


Im Kontext der hier betrachteten Drinfeld automorphen Formen
werden statt ganzer Zahlen als Argumente Funktionenkörper als
Werte eingesetzt.


Ein einfacher Funktionenkörper ist die Menge der Polynome in x.
Er lässt sich (so wie der Körper der ganzen Zahlen auf rationale
Zahlen erweitert wird) auf rationale Funktionen erweitern. Das
Rechnen mit meromorphen Funktionen und Potenzreihen kann man auf
Polynome übertragen.


Geometrische Interpretationen sind recht einfach. Für die Gruppe
GL(2) ist das Grundgebilde eine unterteilte Gerade also ein
endlicher Graph. Da es in der Regel Funktionen auf endlichen
Gebilden sind, kann man es gut mit Hilfe eines Computer
ausrechnen.


Die nächsten Schritte in der Untersuchung der Drinfeld
automorphen Formen müssen nun sein: Die L-Reihe bestimmen und
Werte an kritischen Stellen bestimmen. Hier besteht ein einger
Zusammenhang zur Riemannschen zeta-Funktion.
Literatur und Zusatzinformationen

J-P. Serre: A course in Arithmetic, Graduate Texts in
Mathematics, Springer-Verlag, 1973. Insbesondere ist das "Chapter
VII, Modular Forms" wichtig.

M. Waldschmidt (ed.): From Number Theory to Physics, 2nd ed,
Springer-Verlag, 2010. Wichtig ist besonders Kapitel 4 zu Modular
Forms.

D. Zagier: Modular Forms of One Variable, Sommerkurs, 1991.

E.-U. Gekeler et.al: Proceedings of a Workshop on Drinfeld
Modules, Modular Schemes and Applications, World Scientific,
1997.

J. Bruinier e.a. The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a
Summer School in Nordfjordeid, Norway, (ed. K. Ranestad)
Universitext, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2008.

F. Januszweski: L-Funktionen, Gespräch mit G. Thäter im
Modellansatz Podcast, Folge 53, Fakultät für Mathematik,
Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2015.